Мера иррациональности

Мера иррациональности действительного числа <math>\alpha</math> — это действительное число <math>\mu</math>, показывающее, насколько хорошо <math>\alpha</math> может быть приближено рациональными числами.

Определение

Пусть <math>\alpha</math> — действительное число, и пусть <math>M(\alpha)</math> — множество всех чисел <math>\mu</math> таких, что неравенство <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^{\mu}}</math> имеет лишь конечное число решений в целых числах <math>p</math> и <math>q>0</math>:

<math>M(\alpha)=\left\{\mu>0\colon(\exists q_0=q_0(\mu,\;\alpha))\;(\forall p,\;q\in\Z)\;q>q_0\Rightarrow\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{\mu}}\right\}.</math>

Тогда мера иррациональности <math>\mu(\alpha)</math> числа <math>\alpha</math> определяется как точная нижняя грань <math>M(\alpha)</math>:

<math>\mu(\alpha)=\inf M(\alpha).</math>

Если <math>M(\alpha)=\varnothing</math>, то полагают <math>\mu(\alpha)=+\infty</math>.

Другими словами, <math>\mu</math> — наименьшее число такое, что для любого <math>\varepsilon>0</math> для всех рациональных приближений <math>\frac{p}{q}</math> с достаточно большим знаменателем верно, что <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|>\frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}}</math>.

Возможные значения меры иррациональности

• <math>\mu(\alpha) = 1</math> тогда и только тогда, когда <math>\alpha</math> — рациональное число.
• Если <math>\alpha</math> — алгебраическое иррациональное число, то <math>\mu(\alpha) = 2</math>.
• Если <math>\alpha</math> — трансцендентное число, то <math>\mu(\alpha)\geqslant 2</math>. В частности, если <math>\mu(\alpha) = +\infty</math>, то число <math>\alpha</math> называют лиувиллевым числом.

Связь с цепными дробями

Если <math>\alpha=[a_0;\;a_1,\;a_2,\;\ldots]</math> — разложение числа <math>\alpha</math> в цепную дробь, и <math>\frac{p_n}{q_n}</math> — <math>n</math>-ая подходящая цепная дробь, то

<math>\mu(\alpha)=1+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln q_{n+1}}{\ln q_n}=2+\limsup\limits_{n\to+\infty}\frac{\ln a_{n+1}}{\ln q_n}.</math>

С помощью этой формулы особенно легко найти меру иррациональности для квадратичных иррациональностей, поскольку разложения их в цепные дроби периодичны. Например, для золотого сечения <math>\varphi=[1;\;1,\;1,\;\ldots]</math>, и тогда <math>\mu(\varphi)=2</math>.

Теорема Туэ — Зигеля — Рота

По лемме Дирихле, если <math>\alpha</math> иррационально, то <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{q^2}</math>, то есть <math>\mu(\alpha)\geqslant 2</math>. В 1844 году Лиувиллем была доказана теорема о том, что для любого алгебраического числа <math>\alpha</math> степени <math>n</math> можно подобрать константу <math>c=c(\alpha)</math> такую, что <math>\left|\alpha-\frac{p}{q}\right|\geqslant\frac{c}{q^n}</math>. В 1908 году Туэ усилил эту оценку. Дальнейшие результаты в этом направлении получили Зигель, Дайсон, Гельфонд, Шнайдер. Наиболее точная оценка была доказана Ротом в 1955 году, полученную теорему называют теоремой Туэ — Зигеля — Рота. Она утверждает, что если <math>\alpha</math> — алгебраическое иррациональное число, то <math>\mu(\alpha)=2</math>. Рот за её доказательство получил Филдсовскую премию.

Мера иррациональности некоторых трансцендентных чисел

Для почти всех трансцендентных чисел мера иррациональности равна 2. Хорошо известно, что <math>\mu\left(e\right)=2</math>, а числа Лиувилля имеют бесконечную меру иррациональности. Однако для многих других трансцендентных констант мера иррациональности неизвестна, в лучшем случае известна некоторая оценка сверху. Например:

• <math>\mu\left(e\right)=2</math>
• <math>\mu\left(\pi\right)\leqslant 7{,}6063</math>
• <math>\mu\left(\pi^2\right)\leqslant 5{,}162857</math>
• <math>\mu\left(\frac{\pi}{\sqrt{3}}\right)\leqslant 4{,}6016</math>
• <math>\mu\left(\ln 2\right)\leqslant 3{,}57455391</math>
• <math>\mu\left(\zeta\left(3\right)\right)\leqslant 5{,}513891</math>

См. также

• Теорема Лиувилля о приближении алгебраических чисел
• Число Лиувилля
• Цепная дробь

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/IrrationalityMeasure.html Irrationality Measure] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Мера иррациональности

В конце декабря, в черном шерстяном платье, с небрежно связанной пучком косой, худая и бледная, Наташа сидела с ногами в углу дивана, напряженно комкая и распуская концы пояса, и смотрела на угол двери.
Она смотрела туда, куда ушел он, на ту сторону жизни. И та сторона жизни, о которой она прежде никогда не думала, которая прежде ей казалась такою далекою, невероятною, теперь была ей ближе и роднее, понятнее, чем эта сторона жизни, в которой все было или пустота и разрушение, или страдание и оскорбление.
Она смотрела туда, где она знала, что был он; но она не могла его видеть иначе, как таким, каким он был здесь. Она видела его опять таким же, каким он был в Мытищах, у Троицы, в Ярославле.
Она видела его лицо, слышала его голос и повторяла его слова и свои слова, сказанные ему, и иногда придумывала за себя и за него новые слова, которые тогда могли бы быть сказаны.
Вот он лежит на кресле в своей бархатной шубке, облокотив голову на худую, бледную руку. Грудь его страшно низка и плечи подняты. Губы твердо сжаты, глаза блестят, и на бледном лбу вспрыгивает и исчезает морщина. Одна нога его чуть заметно быстро дрожит. Наташа знает, что он борется с мучительной болью. «Что такое эта боль? Зачем боль? Что он чувствует? Как у него болит!» – думает Наташа. Он заметил ее вниманье, поднял глаза и, не улыбаясь, стал говорить.
«Одно ужасно, – сказал он, – это связать себя навеки с страдающим человеком. Это вечное мученье». И он испытующим взглядом – Наташа видела теперь этот взгляд – посмотрел на нее. Наташа, как и всегда, ответила тогда прежде, чем успела подумать о том, что она отвечает; она сказала: «Это не может так продолжаться, этого не будет, вы будете здоровы – совсем».
Она теперь сначала видела его и переживала теперь все то, что она чувствовала тогда. Она вспомнила продолжительный, грустный, строгий взгляд его при этих словах и поняла значение упрека и отчаяния этого продолжительного взгляда.
«Я согласилась, – говорила себе теперь Наташа, – что было бы ужасно, если б он остался всегда страдающим. Я сказала это тогда так только потому, что для него это было бы ужасно, а он понял это иначе. Он подумал, что это для меня ужасно бы было. Он тогда еще хотел жить – боялся смерти. И я так грубо, глупо сказала ему. Я не думала этого. Я думала совсем другое. Если бы я сказала то, что думала, я бы сказала: пускай бы он умирал, все время умирал бы перед моими глазами, я была бы счастлива в сравнении с тем, что я теперь. Теперь… Ничего, никого нет. Знал ли он это? Нет. Не знал и никогда не узнает. И теперь никогда, никогда уже нельзя поправить этого». И опять он говорил ей те же слова, но теперь в воображении своем Наташа отвечала ему иначе. Она останавливала его и говорила: «Ужасно для вас, но не для меня. Вы знайте, что мне без вас нет ничего в жизни, и страдать с вами для меня лучшее счастие». И он брал ее руку и жал ее так, как он жал ее в тот страшный вечер, за четыре дня перед смертью. И в воображении своем она говорила ему еще другие нежные, любовные речи, которые она могла бы сказать тогда, которые она говорила теперь. «Я люблю тебя… тебя… люблю, люблю…» – говорила она, судорожно сжимая руки, стискивая зубы с ожесточенным усилием.
И сладкое горе охватывало ее, и слезы уже выступали в глаза, но вдруг она спрашивала себя: кому она говорит это? Где он и кто он теперь? И опять все застилалось сухим, жестким недоумением, и опять, напряженно сдвинув брови, она вглядывалась туда, где он был. И вот, вот, ей казалось, она проникает тайну… Но в ту минуту, как уж ей открывалось, казалось, непонятное, громкий стук ручки замка двери болезненно поразил ее слух. Быстро и неосторожно, с испуганным, незанятым ею выражением лица, в комнату вошла горничная Дуняша.