Абсолютная величина

Абсолю́тная величина́ или мо́дуль числа <math>x</math> (в математике) — неотрицательное число, определение которого зависит от типа числа <math>x</math>. Обозначается: <math>|x|</math>.

В случае вещественного <math>x</math> абсолютная величина есть непрерывная кусочно-линейная функция, определённая следующим образом:

<math>\ |x| = \begin{cases} \ \ x, & x \geqslant 0 \\ -x, & \ x < 0 \end{cases} </math>

Обобщением этого понятия является модуль комплексного числа <math>z=x+iy,</math> также иногда называемый абсолютной величиной^[1]. Он определяется по формуле:

Содержание

1 Основные свойства
- 1.1 Вещественные числа
- 1.2 Комплексные числа
2 Алгебраические свойства
3 История
4 В языках программирования
5 Обобщение
6 См. также
7 Примечания

Основные свойства

С геометрической точки зрения, модуль вещественного или комплексного числа есть расстояние между числом и началом координат. В математике широко используется тот факт, что геометрически величина <math>|x_1 - x_2|</math> означает расстояние между точками <math>x_1</math> и <math>x_2</math> и, таким образом, может быть использована как мера близости одной (вещественной или комплексной) величины к другой.

Вещественные числа

Область определения: <math>(- \infty ; + \infty )</math>.
Область значений: <math>[0; + \infty )</math>.
Функция чётная.
Функция дифференцируема всюду, кроме нуля. В точке <math>x = 0</math> функция претерпевает излом.

Комплексные числа

Область определения: вся комплексная плоскость.
Область значений: <math>[0; + \infty )</math>.
Модуль как комплексная функция не дифференцируема ни в одной точке, поскольку условия Коши-Римана не выполнены.

Алгебраические свойства

Для любых вещественных чисел <math>a, b </math> имеют место следующие соотношения:

<math>\ |x| = \sqrt {x^2} = x \cdot \sgn x = {\rm max}\,\{x,\,-x \} </math> (см. Функция sgn(x)).
<math> a \leqslant |a| </math>
<math>-|a| \leqslant a </math>.
Квадрат модуля числа равен квадрату этого числа: <math>|a|^2 = a^2</math>

Как для вещественных, так и для комплексных <math>a, b </math> имеют место соотношения:

Модуль любого числа равен либо больше нуля: <math>|a| \geqslant 0</math>, причём <math>|a|=0</math> тогда и только тогда, когда <math>a=0</math>
Модули противоположных чисел равны: <math>|-a| = |a|</math>
Модуль произведения двух (и более) чисел равен произведению их модулей: <math>|ab| = |a||b|</math>
Модуль частного от деления двух чисел равен частному от деления модулей этих двух чисел: <math>\left| \frac {a} {b} \right| = \frac {|a|} {|b|}</math>
Постоянный положительный множитель можно выносить за знак модуля: <math>|ab| = a|b|, a>0</math>
<math>|a+b| \leqslant |a|+|b|</math> (неравенство треугольника).
<math>|a-b| \leqslant |a|+|b|</math>.
<math>|a|-|b| \leqslant |a+b| </math>.
<math>|a \pm b| \geqslant ||a|-|b|| </math>.
<math>|a^k| = |a|^k</math>, если <math>a^k</math> существует.

История

Считают, что термин предложил использовать Котс, ученик Ньютона. Лейбниц тоже использовал эту функцию, которую называл модулем и обозначал: mol x. Общепринятое обозначение абсолютной величины введено в 1841 году Вейерштрассом. Для комплексных чисел это понятие ввели Коши и Арган в начале XIX века.

В языках программирования

Поскольку эта функция вычисляется достаточно просто (только сравнениями и присваиванием), то обычно она входит в стандартный список функций во все языки программирования. Например, в Pascal есть функция abs(x), а в C fabs(x) для вещественного типа. В программе Wolfram Mathematica Abs[x].

Обобщение

Обобщением понятия модуля можно считать норму элемента многомерного векторного пространства, обозначаемую <math>\|x\|</math>. Норма вектора в евклидовом пространстве иногда тоже называется модулем. По аналогии с модулем разности чисел, норма разности двух векторов является мерой близости между ними. В отличие от модуля числа, норма вектора может определяться различными способами, однако в случае одномерного пространства норма вектора пропорциональна (часто и равна) модулю его единственной координаты.

См. также

Напишите отзыв о статье "Абсолютная величина"

Примечания

↑ [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.

Отрывок, характеризующий Абсолютная величина

– Ну уж, вечно растеряет все, – сказала графиня. Наташа вошла с размягченным, взволнованным лицом и села, молча глядя на Пьера. Как только она вошла в комнату, лицо Пьера, до этого пасмурное, просияло, и он, продолжая отыскивать бумаги, несколько раз взглядывал на нее.
– Ей богу, я съезжу, я дома забыл. Непременно…
– Ну, к обеду опоздаете.
– Ах, и кучер уехал.
Но Соня, пошедшая в переднюю искать бумаги, нашла их в шляпе Пьера, куда он их старательно заложил за подкладку. Пьер было хотел читать.
– Нет, после обеда, – сказал старый граф, видимо, в этом чтении предвидевший большое удовольствие.
За обедом, за которым пили шампанское за здоровье нового Георгиевского кавалера, Шиншин рассказывал городские новости о болезни старой грузинской княгини, о том, что Метивье исчез из Москвы, и о том, что к Растопчину привели какого то немца и объявили ему, что это шампиньон (так рассказывал сам граф Растопчин), и как граф Растопчин велел шампиньона отпустить, сказав народу, что это не шампиньон, а просто старый гриб немец.
– Хватают, хватают, – сказал граф, – я графине и то говорю, чтобы поменьше говорила по французски. Теперь не время.
– А слышали? – сказал Шиншин. – Князь Голицын русского учителя взял, по русски учится – il commence a devenir dangereux de parler francais dans les rues. [становится опасным говорить по французски на улицах.]
– Ну что ж, граф Петр Кирилыч, как ополченье то собирать будут, и вам придется на коня? – сказал старый граф, обращаясь к Пьеру.
Пьер был молчалив и задумчив во все время этого обеда. Он, как бы не понимая, посмотрел на графа при этом обращении.
– Да, да, на войну, – сказал он, – нет! Какой я воин! А впрочем, все так странно, так странно! Да я и сам не понимаю. Я не знаю, я так далек от военных вкусов, но в теперешние времена никто за себя отвечать не может.
После обеда граф уселся покойно в кресло и с серьезным лицом попросил Соню, славившуюся мастерством чтения, читать.
– «Первопрестольной столице нашей Москве.
Неприятель вошел с великими силами в пределы России. Он идет разорять любезное наше отечество», – старательно читала Соня своим тоненьким голоском. Граф, закрыв глаза, слушал, порывисто вздыхая в некоторых местах.
Наташа сидела вытянувшись, испытующе и прямо глядя то на отца, то на Пьера.
Пьер чувствовал на себе ее взгляд и старался не оглядываться. Графиня неодобрительно и сердито покачивала головой против каждого торжественного выражения манифеста. Она во всех этих словах видела только то, что опасности, угрожающие ее сыну, еще не скоро прекратятся. Шиншин, сложив рот в насмешливую улыбку, очевидно приготовился насмехаться над тем, что первое представится для насмешки: над чтением Сони, над тем, что скажет граф, даже над самым воззванием, ежели не представится лучше предлога.
Прочтя об опасностях, угрожающих России, о надеждах, возлагаемых государем на Москву, и в особенности на знаменитое дворянство, Соня с дрожанием голоса, происходившим преимущественно от внимания, с которым ее слушали, прочла последние слова: «Мы не умедлим сами стать посреди народа своего в сей столице и в других государства нашего местах для совещания и руководствования всеми нашими ополчениями, как ныне преграждающими пути врагу, так и вновь устроенными на поражение оного, везде, где только появится. Да обратится погибель, в которую он мнит низринуть нас, на главу его, и освобожденная от рабства Европа да возвеличит имя России!»
– Вот это так! – вскрикнул граф, открывая мокрые глаза и несколько раз прерываясь от сопенья, как будто к носу ему подносили склянку с крепкой уксусной солью. – Только скажи государь, мы всем пожертвуем и ничего не пожалеем.
Шиншин еще не успел сказать приготовленную им шутку на патриотизм графа, как Наташа вскочила с своего места и подбежала к отцу.
– Что за прелесть, этот папа! – проговорила она, целуя его, и она опять взглянула на Пьера с тем бессознательным кокетством, которое вернулось к ней вместе с ее оживлением.
– Вот так патриотка! – сказал Шиншин.
– Совсем не патриотка, а просто… – обиженно отвечала Наташа. – Вам все смешно, а это совсем не шутка…
– Какие шутки! – повторил граф. – Только скажи он слово, мы все пойдем… Мы не немцы какие нибудь…

[1] [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Vinogradov_MatEnc_t1.djvu Математическая энциклопедия (в 5 томах)]. — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 1.

[1]