Обратный элемент

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Обра́тный элеме́нт — одно из понятий общей алгебры.





Определения

  • Пусть <math>(M,\cdot)</math> — множество <math>M</math> с определённой на нём бинарной операцией <math>\cdot</math>. Пусть <math>x \in M</math> — произвольный элемент множества <math>M</math>. Если справедливо равенство
        <math> x \cdot y = e,</math>
    где <math>y \in M</math>, а <math>e \in M</math> - нейтральный элемент относительно операции <math>\cdot</math>, то <math>y</math> называется обра́тным спра́ва к <math>x</math>.
  • Аналогичным образом, если выполнено
        <math>y \cdot x = e,</math>
    то <math>y</math> называется обра́тным сле́ва к <math>x</math>.
  • Элемент <math>y\in M</math>, являющийся обратным к <math>x</math> и справа, и слева, то есть такой, что
        <math> x \cdot y = y \cdot x = e,</math>
    называется просто обратным к <math>x</math> и обозначается <math>x^{-1}</math>.
  • Элемент, для которого существует обратный элемент, называется обратимым.

Замечания

  • Приведённое выше определение дано в мультипликативной нотации. Если используется аддитивная нотация <math>(M,+)</math>, то обратный элемент называется противополо́жным и обозначается <math>-x</math>.
  • Вообще говоря, один и тот же элемент <math>x\in M</math> может иметь несколько обратных слева элементов и несколько обратных справа элементов, и последние не обязаны пересекаться.

Свойства

  • Пусть операция <math>\cdot</math> ассоциативна. Тогда если для элемента <math>x\in M</math> определены обратный слева и обратный справа элементы, то они равны и единственны.

Примеры

Множество Бинарная операция Обратный элемент
Вещественные числа <math>+</math> (сложение) <math>-x</math> (противоположное число)
Вещественные числа не равные нулю <math>\cdot</math> (умножение) <math>1/x</math> (обратное число)
Функции вида <math>f:M\to M</math> <math>\circ</math> (композиция функций) <math>f^{-1}</math> (обратная функция)

См. также

Напишите отзыв о статье "Обратный элемент"

Отрывок, характеризующий Обратный элемент

– И как она танцует, какая г'ация! – помолчав немного, опять сказал он.
– Да про кого ты говоришь?
– Про сест'у п'о твою, – сердито крикнул Денисов.
Ростов усмехнулся.
– Mon cher comte; vous etes l'un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez, – сказал маленький Иогель, подходя к Николаю. – Voyez combien de jolies demoiselles. [Любезный граф, вы один из лучших моих учеников. Вам надо танцовать. Посмотрите, сколько хорошеньких девушек!] – Он с тою же просьбой обратился и к Денисову, тоже своему бывшему ученику.
– Non, mon cher, je fe'ai tapisse'ie, [Нет, мой милый, я посижу у стенки,] – сказал Денисов. – Разве вы не помните, как дурно я пользовался вашими уроками?
– О нет! – поспешно утешая его, сказал Иогель. – Вы только невнимательны были, а вы имели способности, да, вы имели способности.
Заиграли вновь вводившуюся мазурку; Николай не мог отказать Иогелю и пригласил Соню. Денисов подсел к старушкам и облокотившись на саблю, притопывая такт, что то весело рассказывал и смешил старых дам, поглядывая на танцующую молодежь. Иогель в первой паре танцовал с Наташей, своей гордостью и лучшей ученицей. Мягко, нежно перебирая своими ножками в башмачках, Иогель первым полетел по зале с робевшей, но старательно выделывающей па Наташей. Денисов не спускал с нее глаз и пристукивал саблей такт, с таким видом, который ясно говорил, что он сам не танцует только от того, что не хочет, а не от того, что не может. В середине фигуры он подозвал к себе проходившего мимо Ростова.
– Это совсем не то, – сказал он. – Разве это польская мазу'ка? А отлично танцует. – Зная, что Денисов и в Польше даже славился своим мастерством плясать польскую мазурку, Николай подбежал к Наташе:
– Поди, выбери Денисова. Вот танцует! Чудо! – сказал он.
Когда пришел опять черед Наташе, она встала и быстро перебирая своими с бантиками башмачками, робея, одна пробежала через залу к углу, где сидел Денисов. Она видела, что все смотрят на нее и ждут. Николай видел, что Денисов и Наташа улыбаясь спорили, и что Денисов отказывался, но радостно улыбался. Он подбежал.