Ряд Неймана

Ряд Неймана — это ряд элементов вида:

<math> \sum_{n=0}^{\infty} T^n,</math>

где T — это, например, некоторый оператор. В этом случае Tⁿ означает суперпозицию из n одинаковых операторов T. Если же T — элемент кольца, то Tⁿ будет означать n-ю степень элемента T.

Ряд Неймана является обобщением понятия суммы геометрической прогрессии.

Основным свойством ряда Неймана является то, что

<math>(I - T)^{-1} = \sum_{n=0}^{\infty}T^n,</math>

где I — единичный элемент. В случае операторов для этого достаточно того, чтобы линейный ограниченный оператор T, действующий в банаховом пространстве X, имел норму либо спектральный радиус, меньший единицы. Так, в случае матриц данный ряд позволяет обратить матрицу вида <math>I-F</math>, где <math>\lambda_{max}(F) < 1</math> — максимальное собственное значение матрицы F.

В случае кольца с единицей конструкция, аналогичная ряду Неймана, позволяет обращать элементы вида <math>1 - p</math>, где p — нильпотент. В этом случае ряд Неймана принимает вид конечной суммы

<math>\sum_{n=0}^{m-1} p^n,</math>

где m — индекс нильпотента p.

См. также

• Ряд Лиувилля — Неймана

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Отрывок, характеризующий Ряд Неймана

В отыскании законов исторического движения происходит совершенно то же.
Движение человечества, вытекая из бесчисленного количества людских произволов, совершается непрерывно.
Постижение законов этого движения есть цель истории. Но для того, чтобы постигнуть законы непрерывного движения суммы всех произволов людей, ум человеческий допускает произвольные, прерывные единицы. Первый прием истории состоит в том, чтобы, взяв произвольный ряд непрерывных событий, рассматривать его отдельно от других, тогда как нет и не может быть начала никакого события, а всегда одно событие непрерывно вытекает из другого. Второй прием состоит в том, чтобы рассматривать действие одного человека, царя, полководца, как сумму произволов людей, тогда как сумма произволов людских никогда не выражается в деятельности одного исторического лица.
Историческая наука в движении своем постоянно принимает все меньшие и меньшие единицы для рассмотрения и этим путем стремится приблизиться к истине. Но как ни мелки единицы, которые принимает история, мы чувствуем, что допущение единицы, отделенной от другой, допущение начала какого нибудь явления и допущение того, что произволы всех людей выражаются в действиях одного исторического лица, ложны сами в себе.
Всякий вывод истории, без малейшего усилия со стороны критики, распадается, как прах, ничего не оставляя за собой, только вследствие того, что критика избирает за предмет наблюдения большую или меньшую прерывную единицу; на что она всегда имеет право, так как взятая историческая единица всегда произвольна.