Мультисекция ряда
Поделись знанием:
– Tiens! [Вишь ты!] – сказал капитан.
Потом Пьер объяснил, что он любил эту женщину с самых юных лет; но не смел думать о ней, потому что она была слишком молода, а он был незаконный сын без имени. Потом же, когда он получил имя и богатство, он не смел думать о ней, потому что слишком любил ее, слишком высоко ставил ее над всем миром и потому, тем более, над самим собою. Дойдя до этого места своего рассказа, Пьер обратился к капитану с вопросом: понимает ли он это?
Капитан сделал жест, выражающий то, что ежели бы он не понимал, то он все таки просит продолжать.
– L'amour platonique, les nuages… [Платоническая любовь, облака…] – пробормотал он. Выпитое ли вино, или потребность откровенности, или мысль, что этот человек не знает и не узнает никого из действующих лиц его истории, или все вместе развязало язык Пьеру. И он шамкающим ртом и маслеными глазами, глядя куда то вдаль, рассказал всю свою историю: и свою женитьбу, и историю любви Наташи к его лучшему другу, и ее измену, и все свои несложные отношения к ней. Вызываемый вопросами Рамбаля, он рассказал и то, что скрывал сначала, – свое положение в свете и даже открыл ему свое имя.
Мультисекцией ряда называется ряд, составленный из членов исходного ряда, индексы которых образуют арифметическую прогрессию.
Для ряда:
- <math>\sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>
мультисекцией является всякий ряд вида:
- <math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d},</math>
где c, d — целые числа, 0 ⩽ d < c.
Мультисекция аналитических функций
Для мультисекции ряда аналитической функции
- <math>F(x) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} a_n\cdot x^n</math>
справедлива формула:
- <math>\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{cm+d}\cdot x^{cm+d} = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} w^{-kd}\cdot F(w^k\cdot x),</math>
где <math>w = e^{\frac{2\pi i}{c}}</math> — первообразный корень степени c из единицы.
Пример
Мультисекцией бинома Ньютона
- <math>(1+x)^q = {q\choose 0} x^0 + {q\choose 1} x + {q\choose 2} x^2 + \dots</math>
при x = 1 является следующее тождество для суммы биномиальных коэффициентов с шагом c:
- <math>{q\choose d} + {q\choose d+c} + {q\choose d+2c} + \dots = \frac{1}{c}\cdot \sum_{k=0}^{c-1} \left( 2\cos\frac{\pi k}{c}\right )^q\cdot \cos \frac{\pi(q-2d)k}{c}.</math>
Напишите отзыв о статье "Мультисекция ряда"
Ссылки
- Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/SeriesMultisection.html Series Multisection] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- Somos, M. [cis.csuohio.edu/~somos/multiq.html A Multisection of q-Series], 2006.
- Дж. Риордан. §4.3 Мультисекция рядов // Комбинаторные тождества = Combinatorial Identities. — М.: Наука, 1982. — С. 132—141.
- Ефремов Д. [www.vofem.ru/ru/articles/53002/ Решение задачи на премию № 3] // В.О.Ф.Э.М.. — 1911. — № 530. — С. 40—48.
Отрывок, характеризующий Мультисекция ряда
Вызванный этим вопросом, Пьер поднял голову и почувствовал необходимость высказать занимавшие его мысли; он стал объяснять, как он несколько иначе понимает любовь к женщине. Он сказал, что он во всю свою жизнь любил и любит только одну женщину и что эта женщина никогда не может принадлежать ему.– Tiens! [Вишь ты!] – сказал капитан.
Потом Пьер объяснил, что он любил эту женщину с самых юных лет; но не смел думать о ней, потому что она была слишком молода, а он был незаконный сын без имени. Потом же, когда он получил имя и богатство, он не смел думать о ней, потому что слишком любил ее, слишком высоко ставил ее над всем миром и потому, тем более, над самим собою. Дойдя до этого места своего рассказа, Пьер обратился к капитану с вопросом: понимает ли он это?
Капитан сделал жест, выражающий то, что ежели бы он не понимал, то он все таки просит продолжать.
– L'amour platonique, les nuages… [Платоническая любовь, облака…] – пробормотал он. Выпитое ли вино, или потребность откровенности, или мысль, что этот человек не знает и не узнает никого из действующих лиц его истории, или все вместе развязало язык Пьеру. И он шамкающим ртом и маслеными глазами, глядя куда то вдаль, рассказал всю свою историю: и свою женитьбу, и историю любви Наташи к его лучшему другу, и ее измену, и все свои несложные отношения к ней. Вызываемый вопросами Рамбаля, он рассказал и то, что скрывал сначала, – свое положение в свете и даже открыл ему свое имя.
