Числа Бернулли

<math>\displaystyle{B_0=1}</math>

<math>B_1=-\frac12</math>

<math>B_2=\frac16</math>

<math>\displaystyle{B_3=0}</math>

<math>B_4=-\frac1{30}</math>

<math>\displaystyle{B_5=0}</math>

<math>B_6=\frac1{42}</math>

<math>\displaystyle{B_7=0}</math>

<math>B_8=-\frac1{30}</math>

<math>\displaystyle{B_9=0}</math>

<math>B_{10}=\frac5{66}</math>

<math>\displaystyle{B_{11}=0}</math>

<math>B_{12}=-\frac{691}{2730}</math>

<math>\displaystyle{B_{13}=0}</math>

<math>B_{14}=1\frac16</math>

<math>\displaystyle{B_{15}=0}</math>

<math>B_{16}=-7\frac{47}{510}</math>

<math>\displaystyle{B_{17}=0}</math>

<math>B_{18}=54\frac{775}{798}</math>

<math>\displaystyle{B_{19}=0}</math>

<math>B_{20}=-529\frac{41}{330}</math>

Чи́сла Берну́лли — последовательность рациональных чисел <math>B_0, B_1, B_2, \dots</math>, впервые рассмотренная Якобом Бернулли в связи с вычислением суммы последовательных натуральных чисел, возведённых в одну и ту же степень:

<math>\sum_{n=0}^{N-1} n^k=\frac1{k+1}\sum_{s=0}^k \binom{k+1}{s} B_s N^{k+1-s},</math>

где <math>\tbinom{k+1}{s} = \tfrac{(k+1)!}{s!\cdot (k+1-s)!}</math> — биномиальный коэффициент.

Рекуррентная формула

Для чисел Бернулли существует следующая рекуррентная формула:

<math>\displaystyle{B_0=1\; ,}</math>

<math>B_n=\frac{-1}{n+1}\sum_{k=1}^n \binom{n+1}{k+1} B_{n-k},\quad n\in\mathbb{N}.</math>

Свойства

• Все числа Бернулли с нечётными номерами, кроме <math>{\textstyle{B_1}}</math>, равны нулю, а знаки чисел Бернулли с чётными номерами чередуются.
• Числа Бернулли являются значениями многочленов Бернулли <math>{\textstyle{B_n(x)}}</math> при <math>{\textstyle{x=0}}</math>:

<math>\displaystyle{B_n = B_n(0)\;.}</math>

• Числа Бернулли часто входят в коэффициенты разложения элементарных функций в степенной ряд. Например:
  • Экспоненциальная производящая функция для чисел Бернулли:

    <math>\frac x{e^x-1}=\sum_{n=0}^\infty\frac{B_n}{n!}x^n, |x|< 2\pi</math>,

  • <math>x\;\operatorname{ctg} x=\sum_{n=0}^\infty (-1)^nB_{2n}\frac{2^{2n}}{(2n)!}x^{2n}, |x|<\pi</math>,
  • <math>\operatorname{tg} x=\sum_{n=1}^\infty|B_{2n}|\frac{2^{2n}(2^{2n}-1)}{(2n)!}x^{2n-1}, |x|<\pi/2</math>.
• Эйлер установил связь между числами Бернулли и значениями дзета-функции Римана ζ(s) при четных s = 2k:

<math>B_{2k}=2(-1)^{k+1}\frac {\zeta(2k)\; (2k)!} {(2\pi)^{2k}}. </math>

А также:

<math>\displaystyle{B_n=-n\zeta(1-n)}\;\;</math> для всех натуральных n, больших 1.

• <math>\int\limits_0^\infty \frac{x^{2n-1}dx}{e^{2\pi x}-1}=\frac1{4n}|B_{2n}|,\quad n=1,2,\dots.</math>

Литература

• Бернуллиевы числа // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона : в 86 т. (82 т. и 4 доп.). — СПб., 1890—1907.
• Абрамович В. [kvant.mccme.ru/1974/06/chisla_bernulli.htm Числа Бернулли] // Квант. — 1974. — № 6. — С. 10-14.

Ссылки

• [ru.numberempire.com/bernoullinumbers.php Генератор Чисел Бернули]