Первообразная

Первообрáзной или примити́вной функцией данной функции <math>f(x)</math> называют такую <math>F(x)</math>, производная которой (на всей области определения) равна <math>f</math>, то есть <math>F'(x) = f(x)</math>. Вычисление первообразной заключается в нахождении неопределённого интеграла, а сам процесс называется интегрированием.

Так, например, функция <math>F(x) = \frac{x^3}{3}</math> является первообразной <math>f(x) = x^2</math>. Так как производная константы равна нулю, <math>x^2</math> будет иметь бесконечное количество первообразных, таких как <math>x^3/3+45324</math> или <math>x^3/3-3232</math> и т.д.; таким образом, семейство первообразных функции <math>x^2</math> можно обозначить как <math>F(x) = x^3/3+C</math>, где <math>C</math> — любое число. Графики таких первообразных смещены вертикально относительно друг друга, и их положение зависит от значения <math>C</math>.

Первообразные важны тем, что позволяют вычислять интегралы. Если <math>F</math> — первообразная интегрируемой функции <math>f</math>, то:

<math>\int\limits_a^b f(x)\, dx = F(b) - F(a).</math>

Это соотношение называется формулой Ньютона — Лейбница.

Благодаря этой связи множество первообразных данной функции <math>f(x)</math> называют неопределённым интегралом (общим интегралом) <math>f</math> и записывают в виде интеграла без указания пределов:

<math>\int f(x)\, dx</math>

Если <math>F</math> — первообразная <math>f</math>, и функция <math>f</math> определена на каком-либо интервале, тогда каждая последующая первообразная <math>G</math> отличается от <math>F</math> на константу: всегда существует число <math>C</math>, такое что <math>G(x) = F(x) + C</math> для всех <math>x</math>. Число <math>C</math> называют постоянной интегрирования.

Каждая непрерывная функция <math>f</math> имеет первообразную <math>F</math>, одна из которых представляется в виде интеграла от <math>f</math> с переменным верхним пределом:

<math>F(x) = \int\limits_a^x f(t)\,dt.</math>

Также существуют не непрерывные (разрывные) функции, которые имеют первообразную. Например, <math>f(x) = 2x\sin\frac{1}{x}-\cos\frac{1}{x}</math> с <math>f(0) = 0</math> не непрерывна при <math>x = 0</math>, но имеет первообразную <math>F(x) = x^2 sin\frac{1}{x}</math> с <math>F(0) = 0</math>.

Некоторые первообразные, даже несмотря на то, что они существуют, не могут быть выражены через элементарные функции (такие как многочлены, экспоненциальные функции, логарифмы, тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции и их комбинации). Например:

<math>\int e^{-x^2}\,dx,\qquad \int \frac{\sin(x)}{x}\,dx,\qquad \int\frac{1}{\ln x}\,dx</math>.

Свойства первообразной

• Первообразная суммы равна сумме первообразных
• Первообразная произведения константы и функции равна произведению константы и первообразной функции
• Достаточным условием существования первообразной у заданной на отрезке функции <math>f</math> является непрерывность <math>f</math> на этом отрезке
• Необходимыми условиями существования являются принадлежность функции <math>f</math> первому классу Бэра и выполнение для неё свойства Дарбу
• У заданной на отрезке функции любые две первообразные отличаются на постоянную.

Техника интегрирования

Нахождение первообразных значительно сложнее, чем нахождение производных. Для этого имеется несколько методов:

• линейность интегрирования позволяет разбивать сложные интегралы на части,
• интегрирование через подстановку, часто применяемое вместе с тригонометрическими тождествами или натуральным логарифмом,
• интегрирование по частям для операций с произведениями функций,
• метод обратной цепочки, особый случай интегрирования по частям,
• метод интегрирования рациональных дробей позволяет интегрировать любые рациональные функции (дроби с полиномами в числителе и знаменателе),
• алгоритм Риша - алгоритм для интегрирования любых элементарных функций,
• некоторые интегралы можно найти в таблице интегралов,
• при многократном интегрировании можно использовать дополнительную технику, для примера см. двойной интеграл и полярные координаты, Якобиан и теорема Стокса,
• Системы компьютерной алгебры помогают автоматизировать некоторые вышеприведённые символьные операции (в частности алгоритм Риша), что очень удобно, когда алгебраические вычисления становятся слишком громоздкими,
• если функция не имеет элементарной первообразной (как, например, <math>\exp\left(-x^2\right)</math>), её интеграл может быть вычислен приближённо с помощью численного интегрирования.

Другие определения

Это определение является наиболее распространенным, но встречаются и другие, в которых ослаблены требования существования всюду конечной <math>F'</math> и выполнения всюду равенства <math>F'(x)=f(x)</math>, иногда в определении используют обобщения производной.

Определение первообразной через предел <math>n</math>-ой производной

Функция <math>F(x)</math> называется первообразной для функции <math>f(x),</math> если будет существовать предел для функции <math>f^{(n)}(x),</math> являющейся производной <math>n</math>-го порядка для функции <math>f(x),</math> то есть

<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right).</math>

Теорема. Данное определение эквивалентно основному определению.

В самом деле,

<math>F'(x) = (\lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right))' = \lim_{n \to -1} f^{(n+1)} \left( x \right) = f^{(0)}(x) = f(x).</math>

Пример 1. Вычислим первообразную для функции <math>f(x)=x^m.</math>

И так,

<math>f'(x)=mx^{m-1}, f(x)=m(m-1)x^{m-2}, f'(x)=m(m-1)(m-2)x^{m-3}, ..., f^{(n)}(x)=m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))x^{m-n}</math> при условии, что <math>m \geqslant n.</math>

Поскольку

<math>m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))=\frac{m(m-1)(m-2)...(m-(n-1))(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}{(m-n)(m-(n+1))...2\cdot 1}=\frac{m!}{(m-n)!}.</math>

Получаем

<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \frac{m!}{(m-n)!}x^{m-n}=\frac{x^{m+1}}{m+1}.</math>

Пример 2. Вычислим первообразную для функции <math>f(x)=\sin x.</math>

<math>f'(x)=\cos x = \sin(x+1\cdot \frac{\pi}{2}),</math>

<math>f(x)= -\sin x = \sin(x+2\cdot \frac{\pi}{2}),</math>

<math>f(x)= -\cos x = \sin(x+3\cdot \frac{\pi}{2}),</math>

<math>f^{IV}(x)= \sin x = \sin(x+4\cdot \frac{\pi}{2}),</math>

<math>...</math>

<math>f^{(n)}(x) = \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}).</math>

<math>F(x) = \lim_{n \to -1} f^{(n)} \left( x \right)=\lim_{n \to -1} \sin(x+n\cdot \frac{\pi}{2}) = \sin(x-\frac{\pi}{2}) = -\cos x.</math>

Ссылки

• [www.math4you.ru/theory/neopr/int-exmpl/ Интересные примеры нахождения неопределенных интегралов]
• [mathhelpplanet.com/static.php?p=integral-nyutona-lyeibnitsa Первообразная как интеграл Ньютона-Лейбница с переменным верхним пределом]
• [integrals.wolfram.com Wolfram Integrator — вычисление интегралов онлайн] с помощью системы Mathematica
• [user.mendelu.cz/marik/maw/index.php?lang=en&form=integral Mathematical Assistant on Web — символьные вычисления онлайн]
• [ru.numberempire.com/integralcalculator.php Онлайн Калькулятор Интегралов]

См. также

• Список интегралов элементарных функций