Алгоритм Адлемана

Алгорим Адлемена — первый субэкспоненциальный алгоритм дискретного логарифмирования в кольце вычетов по модулю простого числа. Алгоритм был предложен Леонардом Макс Адлеманом (англ. Leonard Adleman — Эйдлмен) в 1979 году. Леонард Макс Адлеман (англ. Leonard Adleman — Эйдлмен; род. 31 декабря 1945) — американский учёный-теоретик в области компьютерных наук, профессор компьютерных наук и молекулярной биологии в Университете Южной Калифорнии. Он известен как соавтор системы шифрования RSA (Rivest — Shamir — Adleman, 1977 год) и ДНК-вычислений. RSA широко используется в приложениях компьютерной безопасности, включая протокол HTTPS.

Математический аппарат

Приведённая система вычетов по модулю m — множество всех чисел полной системы вычетов по модулю m, взаимно простых с m. Приведённая система вычетов по модулю m состоит из φ(m) чисел, где φ(·) — функция Эйлера. Любые φ(m) попарно несравнимых по модулю m и взаимно простых с этим модулем чисел представляют собой приведенную систему вычетов. В качестве приведённой системы вычетов по модулю m обычно берутся взаимно простые с m числа от 1 до <math>m-1</math>. Если <math>(a,m)=1</math> и x пробегает приведенную систему вычетов по модулю m, то ax также принимает значения, образующие приведенную систему вычетов по этому модулю.

Приведённая система вычетов с умножением по модулю m образует группу, называемую мультипликативной группой или группой обратимых элементов кольца вычетов по модулю m, которая обозначается <math>\mathbb{Z}_m^{\times}</math> или <math>U(\mathbb{Z}_m)</math>.

Факторизация многочлена — представление данного многочлена в виде произведения многочленов меньших степеней.

Основная теорема алгебры утверждает, что каждый многочлен над полем комплексных чисел представим в виде произведения линейных многочленов, причем единственным образом с точностью до постоянного множителя и порядка следования сомножителей.

Противоположностью факторизации полиномов является их расширение, перемножение полиномиальных множителей для получения «расширенного» многочлена, записанного в виде суммы слагаемых.

Формулировка задачи

Пусть заданы полиномы <math>\alpha, \beta, f\in GF(p^n),p\leqslant n</math> такие, что

<math>f</math> — неприводимый нормированный многочлен степени <math>n,</math>

<math>\alpha</math> — генератор мультипликативной группы степени меньше <math>n,</math>

<math>\beta\not\equiv0\pmod f.</math>

Необходимо найти (если такое существует) натуральное число <math>x</math>, удовлетворяющее сравнению

<math>\alpha^x\equiv \beta\pmod{f}.</math>

Описание алгоритма

1 этап. Положим

<math>m=\left\lceil\sqrt{\frac{n\log n}{\log p}}\right\rceil.</math>

2 этап. Найдем множество <math>T</math> неприводимых нормированных многочленов <math>f_i\in GF(p^n)</math> степени не выше <math>m</math> и пронумеруем их числами от <math>1</math> до <math>\omega,</math> где

<math>\omega=|T|.</math>

3 этап. Положим <math>z=1.</math> Случайным образом выберем числа <math>r</math> и <math>s</math> такие, что

<math>0\leqslant r,s < p^n-1,</math>

и вычислим полином <math>\gamma</math> такой, что

<math>\gamma\equiv\alpha^r\beta^s\pmod{f}.</math>

4 этап. Если полученный многочлен является произведением всех неприводимых полиномов <math>f_i</math> из множества <math>T,</math> то есть

<math>\gamma=\tilde{\gamma} \prod^\omega_{i=1}{f_i^{e_i}},</math>

где <math>\tilde{\gamma}</math> — старший коэффициент <math>\gamma</math> (для факторизации унитарных многочленов над конечным полем можно воспользоваться, например, алгоритмом Берлекэмпа), то положим <math>r_z=r,</math> <math>s_z=s,</math><math>v_z=\left \langle e_1, e_2, \dots , e_{\omega+1} \right \rangle.</math> В противном случае выберем другие случайные <math>r</math> и <math>s</math> и повторим этапы 3 и 4. После чего установим <math>z=z+1</math> и повторим этапы 3 и 4. Повторяем до тех пор, пока <math>z\leqslant\omega+1.</math> Таким образом мы получим множества <math>r_i</math>, <math>s_i</math> и <math>v_i</math> для <math>1\leqslant i\leqslant\omega+1.</math>

5 этап. Вычислим <math>a_1,a_2,\dots,a_{\omega+1}</math> такие, что НОД<math>(a_1,a_2,\dots,a_{\omega+1}) = 1</math> и

<math>\sum\limits^{\omega+1}_{i=1} {a_iv_i}\equiv\left\langle 0,0,\dots,0\right\rangle\pmod{p^n-1}.</math>

6 этап. Вычислим число <math>l</math> такое, что

<math>l=\sum_{i=1}^{\omega+1}s_ia_i.</math>

7 этап. Если НОД<math>(l,p^n-1)\ne1,</math> то перейдем к этапу 3 и подберем новые множества <math>r_i</math>, <math>s_i</math> и <math>v_i</math> для <math>1\leqslant i\leqslant\omega+1.</math> В противном случае вычислим числа <math>k,y</math> и полином <math>s</math> такие, что

<math>k=\sum_{i=1}^{\omega+1}r_ia_i,</math>

<math>s\equiv\alpha^k\beta^l\pmod f,</math>

<math>\alpha^{y\frac{p^n-1}{p-1}}\equiv s\pmod f.</math>

8 этап. Вычислим искомое число <math>x</math>

<math>x\equiv\frac{y\frac{p^n-1}{p-1}-k}{l}\pmod {p^n-1}.</math>

Другая версия алгоритма

Исходные данные

Пусть задано сравнение

<math>a^x\equiv b\pmod{p},</math>

((1))

Необходимо найти натуральное число x, удовлетворяющее сравнению (1).

Описание алгоритма

1 этап. Сформировать факторную базу, состоящую из всех простых чисел q:

{{{1}}}

}}</math>}}

2 этап. С помощью перебора найти натуральные числа <math>r_i</math> такие, что

<math>a^{r_i}\equiv\prod\limits_{q\leq B} q^{\alpha_{iq

\pmod{p},</math>}}

то есть <math>a^{r_i}\mod{p}</math> раскладывается по факторной базе. Отсюда следует, что

<math>r_i\equiv\sum\limits_{q\leq B} \alpha_{iq}\log_a{q}\pmod{p-1}.</math>

((2))

3 этап. Набрав достаточно много соотношений (2), решить получившуюся систему линейных уравнений относительно неизвестных дискретных логарифмов элементов факторной базы (<math>\log_a{q}</math>).

4 этап. С помощью некоторого перебора найти одно начение r, для которого

<math>a^{r}\equiv\prod\limits_{q\leq B} q^{\beta_q}p_1\cdot...\cdot p_k\pmod{p},</math>

где <math>p_1,...,p_k\mod{p}</math> — простые числа «средней» величины, то есть <math>B<p_i<B_1</math>, где <math>B_1</math> — также некоторая субэкспоненциальная граница, <math>B_1 = e^{const\sqrt{\log{p}\log{\log{p}}}}.</math>

5 этап. С помощью вычислений, аналогичных этапам 2 и 3 найти дискретные логарифмы <math>\log_a{p_i}</math>.

6 этап. Определить искомый дискретный логарифм:

{{{1}}}

Вычислительная сложность

Алгоритм Адлемана имеет эвристическую оценку сложности <math>O(\exp{(c(\log{p}\log{\log{p}})^{1/2})})</math> арифметических операций, где <math>c</math> — некоторая константа. На практике он недостаточно эффективен.

Приложения

Задача дискретного логарифмирования является одной из основных задач, на которых базируется криптография с открытым ключом.

Дискретное логарифмирование

Дискретное логарифмирование (DLOG) — задача обращения функции <math>g^x</math> в некоторой конечной мультипликативной группе <math>G</math>.

Наиболее часто задачу дискретного логарифмирования рассматривают в мультипликативной группе кольца вычетов или конечного поля, а также в группе точек эллиптической кривой над конечным полем. Эффективные алгоритмы для решения задачи дискретного логарифмирования в общем случае неизвестны.

Для заданных g и a решение x уравнения <math>g^x = a</math> называется дискретным логарифмом элемента a по основанию g. В случае, когда G является мультипликативной группой кольца вычетов по модулю m, решение называют также индексом числа a по основанию g. Индекс числа a по основанию g гарантированно существует, если g является первообразным корнем по модулю m.

Криптография с открытым ключом

Криптографическая система с открытым ключом (или асимметричное шифрование, асимметричный шифр) — система шифрования и/или электронной подписи (ЭП), при которой открытый ключ передаётся по открытому (то есть незащищённому, доступному для наблюдения) каналу и используется для проверки ЭП и для шифрования сообщения. Для генерации ЭП и для расшифровки сообщения используется закрытый ключ. Криптографические системы с открытым ключом в настоящее время широко применяются в различных сетевых протоколах, в частности, в протоколах TLS и его предшественнике SSL (лежащих в основе HTTPS), в SSH. Также используется в PGP, S/MIME.Классическими криптографическими схемами на её основе являются схема выработки общего ключа Диффи-Хеллмана, схема электронной подписи Эль-Гамаля, криптосистема Мэсси-Омуры для передачи сообщений. Их криптостойкость основывается на предположительно высокой вычислительной сложности обращения показательной функции.

Протокол Диффи — Хеллмана

Протокол Ди́ффи-Хе́ллмана (англ. Diffie-Hellman, DH) — криптографический протокол, позволяющий двум и более сторонам получить общий секретный ключ, используя незащищенный от прослушивания канал связи. Полученный ключ используется для шифрования дальнейшего обмена с помощью алгоритмов симметричного шифрования.

Схема открытого распределения ключей, предложенная Диффи и Хеллманом, произвела настоящую революцию в мире шифрования, так как снимала основную проблему классической криптографии — проблему распределения ключей.

В чистом виде алгоритм Диффи-Хеллмана уязвим для модификации данных в канале связи, в том числе для атаки «Человек посередине», поэтому схемы с его использованием применяют дополнительные методы односторонней или двусторонней аутентификации.

Схема Эль-Гамаля

Схема Эль-Гамаля (Elgamal) — криптосистема с открытым ключом, основанная на трудности вычисления дискретных логарифмов в конечном поле. Криптосистема включает в себя алгоритм шифрования и алгоритм цифровой подписи. Схема Эль-Гамаля лежит в основе бывших стандартов электронной цифровой подписи в США (DSA) и России (ГОСТ Р 34.10-94).

Схема была предложена Тахером Эль-Гамалем в 1985 году. Эль-Гамаль разработал один из вариантов алгоритма Диффи-Хеллмана. Он усовершенствовал систему Диффи-Хеллмана и получил два алгоритма, которые использовались для шифрования и для обеспечения аутентификации. В отличие от RSA алгоритм Эль-Гамаля не был запатентован и, поэтому, стал более дешевой альтернативой, так как не требовалась оплата взносов за лицензию. Считается, что алгоритм попадает под действие патента Диффи-Хеллмана.

Литература

• Leonard M. Adleman, Jonathan Demarrais [www.ams.org/journals/mcom/1993-61-203/S0025-5718-1993-1225541-3/S0025-5718-1993-1225541-3.pdf A subexponential algorithm for discrete logarithms over all finite fields] (англ.) // Mathematics of computation. — 1993.
• Василенко О.Н. [window.edu.ru/resource/845/23845/files/book.pdf/S0025-5718-1993-1225541-3/S0025-5718-1993-1225541-3.pdf Теоретико-числовые алгоритмы в криптографии] (рус.). — 2003.
• Coppersmith D. Fast evaluation of discrete logarithms in fields of characteristic two (англ.). — 1984.

Отрывок, характеризующий Алгоритм Адлемана

У Анатоля были и паспорт, и подорожная, и десять тысяч денег, взятые у сестры, и десять тысяч, занятые через посредство Долохова.
Два свидетеля – Хвостиков, бывший приказный, которого употреблял для игры Долохов и Макарин, отставной гусар, добродушный и слабый человек, питавший беспредельную любовь к Курагину – сидели в первой комнате за чаем.
В большом кабинете Долохова, убранном от стен до потолка персидскими коврами, медвежьими шкурами и оружием, сидел Долохов в дорожном бешмете и сапогах перед раскрытым бюро, на котором лежали счеты и пачки денег. Анатоль в расстегнутом мундире ходил из той комнаты, где сидели свидетели, через кабинет в заднюю комнату, где его лакей француз с другими укладывал последние вещи. Долохов считал деньги и записывал.
– Ну, – сказал он, – Хвостикову надо дать две тысячи.
– Ну и дай, – сказал Анатоль.
– Макарка (они так звали Макарина), этот бескорыстно за тебя в огонь и в воду. Ну вот и кончены счеты, – сказал Долохов, показывая ему записку. – Так?
– Да, разумеется, так, – сказал Анатоль, видимо не слушавший Долохова и с улыбкой, не сходившей у него с лица, смотревший вперед себя.
Долохов захлопнул бюро и обратился к Анатолю с насмешливой улыбкой.
– А знаешь что – брось всё это: еще время есть! – сказал он.
– Дурак! – сказал Анатоль. – Перестань говорить глупости. Ежели бы ты знал… Это чорт знает, что такое!
– Право брось, – сказал Долохов. – Я тебе дело говорю. Разве это шутка, что ты затеял?
– Ну, опять, опять дразнить? Пошел к чорту! А?… – сморщившись сказал Анатоль. – Право не до твоих дурацких шуток. – И он ушел из комнаты.
Долохов презрительно и снисходительно улыбался, когда Анатоль вышел.
– Ты постой, – сказал он вслед Анатолю, – я не шучу, я дело говорю, поди, поди сюда.
Анатоль опять вошел в комнату и, стараясь сосредоточить внимание, смотрел на Долохова, очевидно невольно покоряясь ему.
– Ты меня слушай, я тебе последний раз говорю. Что мне с тобой шутить? Разве я тебе перечил? Кто тебе всё устроил, кто попа нашел, кто паспорт взял, кто денег достал? Всё я.
– Ну и спасибо тебе. Ты думаешь я тебе не благодарен? – Анатоль вздохнул и обнял Долохова.
– Я тебе помогал, но всё же я тебе должен правду сказать: дело опасное и, если разобрать, глупое. Ну, ты ее увезешь, хорошо. Разве это так оставят? Узнается дело, что ты женат. Ведь тебя под уголовный суд подведут…
– Ах! глупости, глупости! – опять сморщившись заговорил Анатоль. – Ведь я тебе толковал. А? – И Анатоль с тем особенным пристрастием (которое бывает у людей тупых) к умозаключению, до которого они дойдут своим умом, повторил то рассуждение, которое он раз сто повторял Долохову. – Ведь я тебе толковал, я решил: ежели этот брак будет недействителен, – cказал он, загибая палец, – значит я не отвечаю; ну а ежели действителен, всё равно: за границей никто этого не будет знать, ну ведь так? И не говори, не говори, не говори!
– Право, брось! Ты только себя свяжешь…
– Убирайся к чорту, – сказал Анатоль и, взявшись за волосы, вышел в другую комнату и тотчас же вернулся и с ногами сел на кресло близко перед Долоховым. – Это чорт знает что такое! А? Ты посмотри, как бьется! – Он взял руку Долохова и приложил к своему сердцу. – Ah! quel pied, mon cher, quel regard! Une deesse!! [О! Какая ножка, мой друг, какой взгляд! Богиня!!] A?
Долохов, холодно улыбаясь и блестя своими красивыми, наглыми глазами, смотрел на него, видимо желая еще повеселиться над ним.
– Ну деньги выйдут, тогда что?
– Тогда что? А? – повторил Анатоль с искренним недоумением перед мыслью о будущем. – Тогда что? Там я не знаю что… Ну что глупости говорить! – Он посмотрел на часы. – Пора!
Анатоль пошел в заднюю комнату.
– Ну скоро ли вы? Копаетесь тут! – крикнул он на слуг.
Долохов убрал деньги и крикнув человека, чтобы велеть подать поесть и выпить на дорогу, вошел в ту комнату, где сидели Хвостиков и Макарин.
Анатоль в кабинете лежал, облокотившись на руку, на диване, задумчиво улыбался и что то нежно про себя шептал своим красивым ртом.
– Иди, съешь что нибудь. Ну выпей! – кричал ему из другой комнаты Долохов.
– Не хочу! – ответил Анатоль, всё продолжая улыбаться.
– Иди, Балага приехал.
Анатоль встал и вошел в столовую. Балага был известный троечный ямщик, уже лет шесть знавший Долохова и Анатоля, и служивший им своими тройками. Не раз он, когда полк Анатоля стоял в Твери, с вечера увозил его из Твери, к рассвету доставлял в Москву и увозил на другой день ночью. Не раз он увозил Долохова от погони, не раз он по городу катал их с цыганами и дамочками, как называл Балага. Не раз он с их работой давил по Москве народ и извозчиков, и всегда его выручали его господа, как он называл их. Не одну лошадь он загнал под ними. Не раз он был бит ими, не раз напаивали они его шампанским и мадерой, которую он любил, и не одну штуку он знал за каждым из них, которая обыкновенному человеку давно бы заслужила Сибирь. В кутежах своих они часто зазывали Балагу, заставляли его пить и плясать у цыган, и не одна тысяча их денег перешла через его руки. Служа им, он двадцать раз в году рисковал и своей жизнью и своей шкурой, и на их работе переморил больше лошадей, чем они ему переплатили денег. Но он любил их, любил эту безумную езду, по восемнадцати верст в час, любил перекувырнуть извозчика и раздавить пешехода по Москве, и во весь скок пролететь по московским улицам. Он любил слышать за собой этот дикий крик пьяных голосов: «пошел! пошел!» тогда как уж и так нельзя было ехать шибче; любил вытянуть больно по шее мужика, который и так ни жив, ни мертв сторонился от него. «Настоящие господа!» думал он.
Анатоль и Долохов тоже любили Балагу за его мастерство езды и за то, что он любил то же, что и они. С другими Балага рядился, брал по двадцати пяти рублей за двухчасовое катанье и с другими только изредка ездил сам, а больше посылал своих молодцов. Но с своими господами, как он называл их, он всегда ехал сам и никогда ничего не требовал за свою работу. Только узнав через камердинеров время, когда были деньги, он раз в несколько месяцев приходил поутру, трезвый и, низко кланяясь, просил выручить его. Его всегда сажали господа.
– Уж вы меня вызвольте, батюшка Федор Иваныч или ваше сиятельство, – говорил он. – Обезлошадничал вовсе, на ярманку ехать уж ссудите, что можете.
И Анатоль и Долохов, когда бывали в деньгах, давали ему по тысяче и по две рублей.
Балага был русый, с красным лицом и в особенности красной, толстой шеей, приземистый, курносый мужик, лет двадцати семи, с блестящими маленькими глазами и маленькой бородкой. Он был одет в тонком синем кафтане на шелковой подкладке, надетом на полушубке.
Он перекрестился на передний угол и подошел к Долохову, протягивая черную, небольшую руку.
– Федору Ивановичу! – сказал он, кланяясь.
– Здорово, брат. – Ну вот и он.
– Здравствуй, ваше сиятельство, – сказал он входившему Анатолю и тоже протянул руку.
– Я тебе говорю, Балага, – сказал Анатоль, кладя ему руки на плечи, – любишь ты меня или нет? А? Теперь службу сослужи… На каких приехал? А?
– Как посол приказал, на ваших на зверьях, – сказал Балага.
– Ну, слышишь, Балага! Зарежь всю тройку, а чтобы в три часа приехать. А?
– Как зарежешь, на чем поедем? – сказал Балага, подмигивая.
– Ну, я тебе морду разобью, ты не шути! – вдруг, выкатив глаза, крикнул Анатоль.
– Что ж шутить, – посмеиваясь сказал ямщик. – Разве я для своих господ пожалею? Что мочи скакать будет лошадям, то и ехать будем.
– А! – сказал Анатоль. – Ну садись.
– Что ж, садись! – сказал Долохов.
– Постою, Федор Иванович.
– Садись, врешь, пей, – сказал Анатоль и налил ему большой стакан мадеры. Глаза ямщика засветились на вино. Отказываясь для приличия, он выпил и отерся шелковым красным платком, который лежал у него в шапке.
– Что ж, когда ехать то, ваше сиятельство?
– Да вот… (Анатоль посмотрел на часы) сейчас и ехать. Смотри же, Балага. А? Поспеешь?
– Да как выезд – счастлив ли будет, а то отчего же не поспеть? – сказал Балага. – Доставляли же в Тверь, в семь часов поспевали. Помнишь небось, ваше сиятельство.
– Ты знаешь ли, на Рожество из Твери я раз ехал, – сказал Анатоль с улыбкой воспоминания, обращаясь к Макарину, который во все глаза умиленно смотрел на Курагина. – Ты веришь ли, Макарка, что дух захватывало, как мы летели. Въехали в обоз, через два воза перескочили. А?
– Уж лошади ж были! – продолжал рассказ Балага. – Я тогда молодых пристяжных к каурому запрег, – обратился он к Долохову, – так веришь ли, Федор Иваныч, 60 верст звери летели; держать нельзя, руки закоченели, мороз был. Бросил вожжи, держи, мол, ваше сиятельство, сам, так в сани и повалился. Так ведь не то что погонять, до места держать нельзя. В три часа донесли черти. Издохла левая только.


Анатоль вышел из комнаты и через несколько минут вернулся в подпоясанной серебряным ремнем шубке и собольей шапке, молодцовато надетой на бекрень и очень шедшей к его красивому лицу. Поглядевшись в зеркало и в той самой позе, которую он взял перед зеркалом, став перед Долоховым, он взял стакан вина.
– Ну, Федя, прощай, спасибо за всё, прощай, – сказал Анатоль. – Ну, товарищи, друзья… он задумался… – молодости… моей, прощайте, – обратился он к Макарину и другим.
Несмотря на то, что все они ехали с ним, Анатоль видимо хотел сделать что то трогательное и торжественное из этого обращения к товарищам. Он говорил медленным, громким голосом и выставив грудь покачивал одной ногой. – Все возьмите стаканы; и ты, Балага. Ну, товарищи, друзья молодости моей, покутили мы, пожили, покутили. А? Теперь, когда свидимся? за границу уеду. Пожили, прощай, ребята. За здоровье! Ура!.. – сказал он, выпил свой стакан и хлопнул его об землю.
– Будь здоров, – сказал Балага, тоже выпив свой стакан и обтираясь платком. Макарин со слезами на глазах обнимал Анатоля. – Эх, князь, уж как грустно мне с тобой расстаться, – проговорил он.
– Ехать, ехать! – закричал Анатоль.
Балага было пошел из комнаты.
– Нет, стой, – сказал Анатоль. – Затвори двери, сесть надо. Вот так. – Затворили двери, и все сели.
– Ну, теперь марш, ребята! – сказал Анатоль вставая.
Лакей Joseph подал Анатолю сумку и саблю, и все вышли в переднюю.
– А шуба где? – сказал Долохов. – Эй, Игнатка! Поди к Матрене Матвеевне, спроси шубу, салоп соболий. Я слыхал, как увозят, – сказал Долохов, подмигнув. – Ведь она выскочит ни жива, ни мертва, в чем дома сидела; чуть замешкаешься, тут и слезы, и папаша, и мамаша, и сейчас озябла и назад, – а ты в шубу принимай сразу и неси в сани.
Лакей принес женский лисий салоп.
– Дурак, я тебе сказал соболий. Эй, Матрешка, соболий! – крикнул он так, что далеко по комнатам раздался его голос.