Интегралы движения

В механике функция <math>I=I(q, \dot q),</math> где <math>q</math> — обобщённые координаты, <math>\dot q</math> — обобщённые скорости системы, называется интегралом движения (данной системы), если <math>I(q, \dot q)=\mathrm{const}</math> на каждой траектории <math>q(t)</math> данной системы, но функция <math>I(q, \dot q)</math> не является тождественно постоянной.

Интегралы движения, обладающие аддитивностью или асимптотической аддитивностью, называются законами сохранения.

Интегралы движения в классической механике

В классической механике для замкнутой системы из <math>N</math> частиц, между которыми нет жёстких связей, можно образовать <math>6N-1</math> интегралов движения. Из них аддитивными являются три: энергия, импульс, момент импульса.

Применение

Интегралы движения полезны потому, что некоторые свойства этого движения можно узнать даже без интегрирования уравнений движения. В наиболее успешных случаях траектории движения представляют собой пересечение изоповерхностей соответствующих интегралов движения. Например, построение Пуансо показывает, что без крутящего момента вращение твердого тела представляет собой пересечение сферы (сохранение полного углового момента) и эллипсоида (сохранение энергии) — траекторию, которую трудно вывести и визуализировать. Поэтому нахождение интегралов движения — важная цель в механике.

Методы нахождения интегралов движения

Существует несколько методов нахождения интегралов движения:

• Наиболее простой, но и наименее строгий метод заключается в интуитивном подходе, часто основанном на экспериментальных данных и последующего математического доказательства сохранения величины.

• Уравнение Гамильтона — Якоби предлагает строгий и прямой метод нахождения интегралов движения, особенно если гамильтониан принимает знакомую функциональную форму в ортогональных координатах.

• Другой подход заключается в сопоставлении сохраняющейся величины и какой-либо симметрии Лагранжиана. Теорема Нётер даёт систематический способ вывода таких величин из симметрий. Например, закон сохранения энергии является результатом того, что лагранжиан не изменяется относительно сдвига по времени, закон сохранения импульса эквивалентен инвариантности лагранжиана относительно сдвига начала координат в пространстве (трансляционная симметрия) и закон сохранения момента импульса следует из изотропности пространства (лагранжиан не меняется при поворотах системы координат). Обратное тоже верно: каждая симметрия лагранжиана соответствует интегралу движения.

• Величина <math>A</math> сохраняется если она не зависит явным образом от времени и её скобки Пуассона с гамильтонианом системы равны нулю

<math>

\frac{dA}{dt} = \frac{\partial A}{\partial t} + [A, H] = 0 </math>

Другой полезный результат известен как теорема Пуассона, в которой утверждается, что если есть два интеграла движения <math>A</math> и <math>B</math> то скобки Пуассона <math>[A, B]</math> этих двух величин тоже является интегралом движения, при условии получения независимого от интегралов выражения.

Система с n степенями свободы и n интегралами движения, такими, что скобки Пуассона любой пары интегралов равны нулю известна как полностью интегрируемая система. Такой набор интегралов движения, как говорят, находится в инволюции друг с другом.

В гидродинамике

При свободном (без внешних сил) движении идеальной (нет диссипации, вязкость отсутствует) несжимаемой (объём любой части сохраняется) жидкости сохраняются следующие величины:

• кинетическая энергия <math>\int\limits_V\vec{v}^2\,dV</math> (см. также интеграл Бернулли)
• гидродинамическая спиральность <math>\int\limits_V\vec{v}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{v}\,dV</math>

Если движение двумерно, то сохраняется также энстрофия <math>\int_{S} \left(\nabla\times\vec{v}\right)^{2}dS</math>.

В идеальной магнитной гидродинамике первый интеграл (полная энергия, как сумма кинетической энергии жидкости и энергии магнитного поля) сохраняется, второй (гидродинамическая спиральность) пропадает, но появляется два других интеграла движения:

• Спиральность магнитного поля — <math>\int\limits_V\vec{A}\cdot\operatorname{rot}\,\vec{A}</math>, где <math>\vec{A}</math> — векторный магнитный потенциал.
• Перекрёстная спиральность — <math>\int\limits_V\vec{v}\cdot\vec{B}</math>

В квантовой механике

Наблюдаемая величина Q сохраняется, если она коммутирует с гамильтонианом H, который не зависит явным образом от времени. Поэтому

<math>\frac{d}{dt} \langle \psi | \hat{Q}| \psi \rangle = \frac{i}{\hbar} \langle \psi|\left[ \hat{\mathcal H},\hat{Q} \right]|\psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle</math>

где используется коммутационное соотношение

<math>[\hat{\mathcal H},\hat{Q}] = \hat{\mathcal H} \hat{Q} - \hat{Q} \hat{\mathcal H}</math>.

Вывод

Пусть имеется некоторая наблюдаемая Q, которая зависит от координаты, импульса и времени

<math>Q = Q(x,p,t)</math>

а также имеется волновая функция, которая является решением соответствующего уравнения Шрёдингера

<math>i\hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} = \hat{\mathcal H} \psi .</math>

Для вычисления производной по времени от среднего значения наблюдаемой Q используется правило дифференцирования произведения, и результат после некоторых манипуляций приведён ниже

\hat{Q} | \psi \rangle \, =</math>

\hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q}}{\partial t} | \psi \rangle + \langle \psi | \hat{Q} | \frac{\partial \psi}{\partial t} \rangle\, = </math>

\hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} | \hat{\mathcal H} \psi \rangle \, = </math>

\hat{\mathcal H} \hat{Q} | \psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle - \frac{i}{\hbar}\langle \psi | \hat{Q} \hat{\mathcal H} | \psi \rangle \, = </math>

\left[\hat{\mathcal H},\hat{Q} \right]|\psi \rangle + \langle \psi | \frac{\partial \hat{Q} }{\partial t} | \psi \rangle \, = </math>

В итоге получим

<math>\frac{d}{dt} \hat{Q} = \frac{i}{\hbar} \left[ \hat{\mathcal H},\hat {Q} \right] + \frac{\partial \hat {Q} }{\partial t}</math>

Отношение к квантовому хаосу и квантовой интегрируемости

В классической механике имеется теорема Лиувилля, согласно которой система, в которой число интегралов движения в инволюции совпадает с числом степеней свободы <math>n</math>, может быть полностью проинтегрирована (решена) методом разделения переменных в уравнении Гамильтона—Якоби. Такая система является интегрируемой системой. Траектория такой системы в <math>2n</math>-мерном фазовом пространстве может быть представлена в подходящих переменных (переменных действие-угол) как намотка на <math>n</math>-мерном торе. Система, число интегралов в которой меньше числа степеней свободы, проявляет хаотическое поведение, то есть траектории в фазовом пространстве с близкими начальными условиями могут экспоненциально расходиться. При небольшой деформации интегрируемой системы в неинтегрируемую <math>n</math>-мерный тор в <math>2n</math>-мерном фазовом пространстве разрушается («размывается»), превращаясь, например в странный аттрактор.

Квантовый аналог теоремы Лиувилля неизвестен, однако и в квантовом случае системы можно разделить на интегрируемые и неинтегрируемые. Под интегрируемыми в этом случае подразумевают системы, которые допускают точное решение, в смысле возможности найти все собственные значения и собственные функции гамильтониана в разумном виде. Известен квантовый аналог метода разделения переменных, однако его применение не столь универсально в классических случаях. Известные примеры показывают, что в квантовых интегрируемых системах, также как и в классических, имеется <math>n</math> интегралов движения, коммутирующих между собой. Однако наличие <math>n</math> интегралов движения, по-видимому, ещё не гарантирует квантовой интегрируемости. Задача квантования интегрируемых систем представляет собой поиск такой квантовой системы, которая допускала бы точное решение и давала бы данную классическую систему в классическом пределе. Имеются также примеры интегрируемых квантовых систем, не имеющих интегрируемых классических аналогов. Это происходит в том случае, если система может быть решена при специальных значениях параметров квантового гамильтониана, либо когда система не допускает классического описания (как, например, система спинов).

Все остальные квантовые системы проявляют в той или иной степени признаки квантового хаоса. Классические хаотические системы допускают квантование в том смысле, что может быть корректно определено их пространство состояний и гамильтониан, однако как и классические хаотические системы, так и квантовые, по-видимому, не допускают точного решения. Их можно исследовать приближёнными методами, такими как теория возмущений и вариационный метод, а также исследованы численно методами молекулярной динамики в классическом случае или численной диагонализации гамильтониана в квантовом случае.

См. также

• Поле Киллинга
• Суперинтегрируемая гамильтонова система

Литература

• Griffiths, David J. Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.). — Prentice Hall, 2004. — ISBN ISBN 0-13-805326-X.
• Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Механика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 215 с. — («Теоретическая физика», том I). — ISBN 5-02-013850-9.
• Арнольд В. И. «Математические методы классической механики», из. 5-ое, М.: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
• Савельев И.В. Курс общей физики. Т. 1. Механика. Молекулярная физика.. — М.: Наука, 1987. — 432 с.

Отрывок, характеризующий Интегралы движения

– Ай, важно! Вот так хранцуз! ой… го го го го! – Что ж, еще есть хочешь?
– Дай ему каши то; ведь не скоро наестся с голоду то.
Опять ему дали каши; и Морель, посмеиваясь, принялся за третий котелок. Радостные улыбки стояли на всех лицах молодых солдат, смотревших на Мореля. Старые солдаты, считавшие неприличным заниматься такими пустяками, лежали с другой стороны костра, но изредка, приподнимаясь на локте, с улыбкой взглядывали на Мореля.
– Тоже люди, – сказал один из них, уворачиваясь в шинель. – И полынь на своем кореню растет.
– Оо! Господи, господи! Как звездно, страсть! К морозу… – И все затихло.
Звезды, как будто зная, что теперь никто не увидит их, разыгрались в черном небе. То вспыхивая, то потухая, то вздрагивая, они хлопотливо о чем то радостном, но таинственном перешептывались между собой.

Х
Войска французские равномерно таяли в математически правильной прогрессии. И тот переход через Березину, про который так много было писано, была только одна из промежуточных ступеней уничтожения французской армии, а вовсе не решительный эпизод кампании. Ежели про Березину так много писали и пишут, то со стороны французов это произошло только потому, что на Березинском прорванном мосту бедствия, претерпеваемые французской армией прежде равномерно, здесь вдруг сгруппировались в один момент и в одно трагическое зрелище, которое у всех осталось в памяти. Со стороны же русских так много говорили и писали про Березину только потому, что вдали от театра войны, в Петербурге, был составлен план (Пфулем же) поимки в стратегическую западню Наполеона на реке Березине. Все уверились, что все будет на деле точно так, как в плане, и потому настаивали на том, что именно Березинская переправа погубила французов. В сущности же, результаты Березинской переправы были гораздо менее гибельны для французов потерей орудий и пленных, чем Красное, как то показывают цифры.
Единственное значение Березинской переправы заключается в том, что эта переправа очевидно и несомненно доказала ложность всех планов отрезыванья и справедливость единственно возможного, требуемого и Кутузовым и всеми войсками (массой) образа действий, – только следования за неприятелем. Толпа французов бежала с постоянно усиливающейся силой быстроты, со всею энергией, направленной на достижение цели. Она бежала, как раненый зверь, и нельзя ей было стать на дороге. Это доказало не столько устройство переправы, сколько движение на мостах. Когда мосты были прорваны, безоружные солдаты, московские жители, женщины с детьми, бывшие в обозе французов, – все под влиянием силы инерции не сдавалось, а бежало вперед в лодки, в мерзлую воду.
Стремление это было разумно. Положение и бегущих и преследующих было одинаково дурно. Оставаясь со своими, каждый в бедствии надеялся на помощь товарища, на определенное, занимаемое им место между своими. Отдавшись же русским, он был в том же положении бедствия, но становился на низшую ступень в разделе удовлетворения потребностей жизни. Французам не нужно было иметь верных сведений о том, что половина пленных, с которыми не знали, что делать, несмотря на все желание русских спасти их, – гибли от холода и голода; они чувствовали, что это не могло быть иначе. Самые жалостливые русские начальники и охотники до французов, французы в русской службе не могли ничего сделать для пленных. Французов губило бедствие, в котором находилось русское войско. Нельзя было отнять хлеб и платье у голодных, нужных солдат, чтобы отдать не вредным, не ненавидимым, не виноватым, но просто ненужным французам. Некоторые и делали это; но это было только исключение.
Назади была верная погибель; впереди была надежда. Корабли были сожжены; не было другого спасения, кроме совокупного бегства, и на это совокупное бегство были устремлены все силы французов.
Чем дальше бежали французы, чем жальче были их остатки, в особенности после Березины, на которую, вследствие петербургского плана, возлагались особенные надежды, тем сильнее разгорались страсти русских начальников, обвинявших друг друга и в особенности Кутузова. Полагая, что неудача Березинского петербургского плана будет отнесена к нему, недовольство им, презрение к нему и подтрунивание над ним выражались сильнее и сильнее. Подтрунивание и презрение, само собой разумеется, выражалось в почтительной форме, в той форме, в которой Кутузов не мог и спросить, в чем и за что его обвиняют. С ним не говорили серьезно; докладывая ему и спрашивая его разрешения, делали вид исполнения печального обряда, а за спиной его подмигивали и на каждом шагу старались его обманывать.
Всеми этими людьми, именно потому, что они не могли понимать его, было признано, что со стариком говорить нечего; что он никогда не поймет всего глубокомыслия их планов; что он будет отвечать свои фразы (им казалось, что это только фразы) о золотом мосте, о том, что за границу нельзя прийти с толпой бродяг, и т. п. Это всё они уже слышали от него. И все, что он говорил: например, то, что надо подождать провиант, что люди без сапог, все это было так просто, а все, что они предлагали, было так сложно и умно, что очевидно было для них, что он был глуп и стар, а они были не властные, гениальные полководцы.
В особенности после соединения армий блестящего адмирала и героя Петербурга Витгенштейна это настроение и штабная сплетня дошли до высших пределов. Кутузов видел это и, вздыхая, пожимал только плечами. Только один раз, после Березины, он рассердился и написал Бенигсену, доносившему отдельно государю, следующее письмо:
«По причине болезненных ваших припадков, извольте, ваше высокопревосходительство, с получения сего, отправиться в Калугу, где и ожидайте дальнейшего повеления и назначения от его императорского величества».
Но вслед за отсылкой Бенигсена к армии приехал великий князь Константин Павлович, делавший начало кампании и удаленный из армии Кутузовым. Теперь великий князь, приехав к армии, сообщил Кутузову о неудовольствии государя императора за слабые успехи наших войск и за медленность движения. Государь император сам на днях намеревался прибыть к армии.
Старый человек, столь же опытный в придворном деле, как и в военном, тот Кутузов, который в августе того же года был выбран главнокомандующим против воли государя, тот, который удалил наследника и великого князя из армии, тот, который своей властью, в противность воле государя, предписал оставление Москвы, этот Кутузов теперь тотчас же понял, что время его кончено, что роль его сыграна и что этой мнимой власти у него уже нет больше. И не по одним придворным отношениям он понял это. С одной стороны, он видел, что военное дело, то, в котором он играл свою роль, – кончено, и чувствовал, что его призвание исполнено. С другой стороны, он в то же самое время стал чувствовать физическую усталость в своем старом теле и необходимость физического отдыха.
29 ноября Кутузов въехал в Вильно – в свою добрую Вильну, как он говорил. Два раза в свою службу Кутузов был в Вильне губернатором. В богатой уцелевшей Вильне, кроме удобств жизни, которых так давно уже он был лишен, Кутузов нашел старых друзей и воспоминания. И он, вдруг отвернувшись от всех военных и государственных забот, погрузился в ровную, привычную жизнь настолько, насколько ему давали покоя страсти, кипевшие вокруг него, как будто все, что совершалось теперь и имело совершиться в историческом мире, нисколько его не касалось.
Чичагов, один из самых страстных отрезывателей и опрокидывателей, Чичагов, который хотел сначала сделать диверсию в Грецию, а потом в Варшаву, но никак не хотел идти туда, куда ему было велено, Чичагов, известный своею смелостью речи с государем, Чичагов, считавший Кутузова собою облагодетельствованным, потому что, когда он был послан в 11 м году для заключения мира с Турцией помимо Кутузова, он, убедившись, что мир уже заключен, признал перед государем, что заслуга заключения мира принадлежит Кутузову; этот то Чичагов первый встретил Кутузова в Вильне у замка, в котором должен был остановиться Кутузов. Чичагов в флотском вицмундире, с кортиком, держа фуражку под мышкой, подал Кутузову строевой рапорт и ключи от города. То презрительно почтительное отношение молодежи к выжившему из ума старику выражалось в высшей степени во всем обращении Чичагова, знавшего уже обвинения, взводимые на Кутузова.
Разговаривая с Чичаговым, Кутузов, между прочим, сказал ему, что отбитые у него в Борисове экипажи с посудою целы и будут возвращены ему.
– C'est pour me dire que je n'ai pas sur quoi manger… Je puis au contraire vous fournir de tout dans le cas meme ou vous voudriez donner des diners, [Вы хотите мне сказать, что мне не на чем есть. Напротив, могу вам служить всем, даже если бы вы захотели давать обеды.] – вспыхнув, проговорил Чичагов, каждым словом своим желавший доказать свою правоту и потому предполагавший, что и Кутузов был озабочен этим самым. Кутузов улыбнулся своей тонкой, проницательной улыбкой и, пожав плечами, отвечал: – Ce n'est que pour vous dire ce que je vous dis. [Я хочу сказать только то, что говорю.]
В Вильне Кутузов, в противность воле государя, остановил большую часть войск. Кутузов, как говорили его приближенные, необыкновенно опустился и физически ослабел в это свое пребывание в Вильне. Он неохотно занимался делами по армии, предоставляя все своим генералам и, ожидая государя, предавался рассеянной жизни.
Выехав с своей свитой – графом Толстым, князем Волконским, Аракчеевым и другими, 7 го декабря из Петербурга, государь 11 го декабря приехал в Вильну и в дорожных санях прямо подъехал к замку. У замка, несмотря на сильный мороз, стояло человек сто генералов и штабных офицеров в полной парадной форме и почетный караул Семеновского полка.