Многочлены Гегенбауэра

Многочлены Гегенбауэра
Общая информация
Формула	<math> C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k (\alpha)_{n-k
Дополнительные характеристики

{k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}

</math>

|произведение = <math>(f, g) = \int_{-1}^1 {(1-z^2)^{\alpha-1/2} f(z) g(z) {\rm d}z}</math>
|область = <math>[-1, 1]</math>
|ду = <math>(1\!-\!z^2)f\!\!-\!(2\alpha\!+\!1)z f'\!\! + \! n(n\!+\!2\alpha)f=0</math>
|норма = <math>||C_n^{(\alpha)}(z)||^2 = \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}</math>
|в честь = Леопольда Гегенбауэра}}

Многочле́ны Гегенба́уэра или ультрасфери́ческие многочле́ны в математике — многочлены, ортогональные на отрезке [−1,1] с весовой функцией <math>(1-z^2)^{\alpha-1/2}</math>. Они могут быть явным образом представлены как

<math>

C_n^{(\alpha)}(z)=\sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} (-1)^k\frac{\Gamma(n-k+\alpha)}{\Gamma(\alpha)k!(n-2k)!}(2z)^{n-2k}, </math> где <math>\Gamma(s)</math> — гамма-функция, а <math>\lfloor n/2\rfloor</math> обозначает целую часть числа n/2.

Многочлены Гегенбауэра являются обобщением многочленов Лежандра и Чебышёва, и являются частным случаем многочленов Якоби. Также многочлены Гегенбауэра связаны с представлением специальной ортогональной группы <math>SO(n)</math>. Они названы в честь австрийского математика Леопольда Гегенбауэра (1849—1903).

Производящая функция и частные значения аргумента

Многочлены Гегенбауэра могут быть определены через производящую функцию:

<math>

\frac{1}{(1-2zt+t^2)^\alpha}=\sum_{n=0}^\infty C_n^{(\alpha)}(z) t^n . </math>

Поскольку производящая функция не меняется при одновременной замене <math>z\to -z</math>, <math>t\to -t</math>, то

<math>

C_n^{(\alpha)}(-z)=(-1)^n C_n^{(\alpha)}(z), </math> из чего следует, что при чётном n многочлены Гегенбауэра содержат только чётные степени z, а при нечётном n — только нечётные степени z.

Через производящую функцию можно получить значения многочленов Гегенбауэра при z=1 и z=0 как коэффициенты разложений <math>(1-t)^{-2\alpha}</math> и <math>(1+t^2)^{-\alpha}</math> соответственно:

<math>

C_n^{(\alpha)}(1) = \frac{(2\alpha)_n}{n!}, </math>

<math>

C_n^{(\alpha)}(0) = \frac{(-1)^{n/2} (\alpha)_{n/2}}{(n/2)!} </math>   (для чётных n),       <math> C_n^{(\alpha)}(0) = 0 </math>   (для нечётных n),

где используется стандартное обозначение для символа Похгаммера,

<math>(\alpha)_n = \frac{\Gamma(\alpha+n)}{\Gamma(\alpha)}</math>.

Рекуррентное соотношение и частные случаи

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют следующему рекуррентному соотношению, которое можно использовать для построения полиномов с <math>n\geq 2</math>:

<math>

C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{1}{n}[2z(n+\alpha-1)C_{n-1}^{(\alpha)}(z) - (n+2\alpha-2)C_{n-2}^{(\alpha)}(z)]. </math>

В частности,

<math>

\begin{align} C_0^{(\alpha)}(z) &= 1 \\ C_1^{(\alpha)}(z) &= 2 \alpha z \\ C_2^{(\alpha)}(z) &= -\alpha + 2\alpha (1+\alpha) z^2 \\ C_3^{(\alpha)}(z) &= - 2\alpha (1+\alpha) z + \tfrac43 \alpha (1+\alpha) (2+\alpha) z^3 \end{align} </math> и так далее.

Дифференциальное уравнение и связь с другими функциями

Многочлены Гегенбауэра удовлетворяют дифференциальному уравнению Гегенбауэра

<math>(1-z^2)\frac{{\rm d}^2 f}{{\rm d}z^2}-(2\alpha+1)z\frac{{\rm d} f}{{\rm d}z}+n(n+2\alpha)f=0.</math>

При <math>\alpha=\tfrac12</math> это уравнение сводится к дифференциальному уравнению Лежандра и, соответственно, многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Лежандра.

Многочлены Гегенбауэра можно выразить через конечный гипергеометрический ряд

<math>C_n^{(\alpha)}(z)=\frac{(2\alpha)_n}{n!}

\,_2F_1\left(-n,2\alpha+n;\alpha+\tfrac12; \tfrac12 (1-z)\right).</math>

Многочлены Гегенбауэра являются частным случаем многочленов Якоби <math>P_n^{(\mu,\nu)}(z)</math> c <math>\mu=\nu=\alpha-\tfrac12</math>:

<math>C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(2\alpha)_n}{(\alpha+\frac{1}{2})_{n}}P_n^{(\alpha-1/2,\;\alpha-1/2)}(z).</math>

Производная многочлена Гегенбауэра выражается через многочлен со сдвинутыми индексами

<math>

\fracШаблон:\rm d{{\rm d}z} C_n^{(\alpha)}(z) = 2\alpha C_{n-1}^{(\alpha+1)}(z). </math>

Они могут быть выражены через формулу Родрига

<math>

C_n^{(\alpha)}(z) = \frac{(-2)^n}{n!}\frac{\Gamma(n+\alpha)\Gamma(n+2\alpha)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(2n+2\alpha)}(1-z^2)^{-\alpha+1/2}\frac{{\rm d}^n}{{\rm d}z^n}\left[(1-z^2)^{n+\alpha-1/2}\right]. </math>

Ортогональность и нормировка

Для данного <math>\alpha</math> многочлены Гегенбауэра ортогональны на отрезке [−1,1] с весовой функцией <math>(1-z^2)^{\alpha-1/2}</math>, то есть (для n ≠ m),

<math>

\int_{-1}^1 C_n^{(\alpha)}(z)C_m^{(\alpha)}(z)(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z = 0. </math>

Они нормализованы как

<math>

\int_{-1}^1 \left[C_n^{(\alpha)}(z)\right]^2(1-z^2)^{\alpha-1/2}\,{\rm d}z = \frac{2^{1-2\alpha} \pi \Gamma(n+2\alpha)}{n!(n+\alpha)[\Gamma(\alpha)]^2}. </math>

Случай комплексного аргумента

Если <math>z=x+{\rm i}y</math>, где <math>x</math> и <math>y</math> — действительные переменные (и <math>\alpha</math> тоже действительна), то действительную и мнимую части полиномов Гегенбауэра можно выразить в следующем виде:

<math>

{\rm Re}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor} \frac{(-1)^k 2^{2k} (\alpha)_{2k}}{(2k)!}\; C_{n-2k}^{(2k+\alpha)}(x)\; y^{2k} , </math>

<math>

{\rm Im}\left[ C_n^{(\alpha)}(x+{\rm i}y) \right] = \sum_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor} \frac{(-1)^k 2^{2k+1} (\alpha)_{2k+1}}{(2k+1)!}\; C_{n-2k-1}^{(2k+\alpha+1)}(x)\; y^{2k+1}. </math>

См. также

• Ортогональные многочлены
• Многочлены Чебышёва
• Многочлены Лежандра
• Многочлены Якоби

Литература

• Суетин П. К. [www.fml.ru/book/showbook/406 Классические ортогональные многочлены]. — М.: Физматлит, 2007. — 480 с. — ISBN 978-5-9221-0406-7.
• Виленкин Н. Я. Специальные функции и теория представления групп / Гл. ред. физ.-мат. лит. — 2-е изд., исправ. — М.: Наука, 1991. — 576 с. — ISBN 5-02-014541-6.
• Milton Abramowitz & Irene A. Stegun, Handbook of Mathematical Functions, (1964) Dover Publications, New York. ISBN 0-486-61272-4. См. [www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_773.htm Chapter 22]

Ссылки

• [functions.wolfram.com/HypergeometricFunctions/GegenbauerC3General/ Gegenbauer Function], functions.wolfram.com
• Eric W. Weisstein, [mathworld.wolfram.com/GegenbauerPolynomial.html Gegenbauer Polynomial], MathWorld — mathworld.wolfram.com

Отрывок, характеризующий Многочлены Гегенбауэра

– C'est pour me dire que je n'ai pas sur quoi manger… Je puis au contraire vous fournir de tout dans le cas meme ou vous voudriez donner des diners, [Вы хотите мне сказать, что мне не на чем есть. Напротив, могу вам служить всем, даже если бы вы захотели давать обеды.] – вспыхнув, проговорил Чичагов, каждым словом своим желавший доказать свою правоту и потому предполагавший, что и Кутузов был озабочен этим самым. Кутузов улыбнулся своей тонкой, проницательной улыбкой и, пожав плечами, отвечал: – Ce n'est que pour vous dire ce que je vous dis. [Я хочу сказать только то, что говорю.]
В Вильне Кутузов, в противность воле государя, остановил большую часть войск. Кутузов, как говорили его приближенные, необыкновенно опустился и физически ослабел в это свое пребывание в Вильне. Он неохотно занимался делами по армии, предоставляя все своим генералам и, ожидая государя, предавался рассеянной жизни.
Выехав с своей свитой – графом Толстым, князем Волконским, Аракчеевым и другими, 7 го декабря из Петербурга, государь 11 го декабря приехал в Вильну и в дорожных санях прямо подъехал к замку. У замка, несмотря на сильный мороз, стояло человек сто генералов и штабных офицеров в полной парадной форме и почетный караул Семеновского полка.
Курьер, подскакавший к замку на потной тройке, впереди государя, прокричал: «Едет!» Коновницын бросился в сени доложить Кутузову, дожидавшемуся в маленькой швейцарской комнатке.
Через минуту толстая большая фигура старика, в полной парадной форме, со всеми регалиями, покрывавшими грудь, и подтянутым шарфом брюхом, перекачиваясь, вышла на крыльцо. Кутузов надел шляпу по фронту, взял в руки перчатки и бочком, с трудом переступая вниз ступеней, сошел с них и взял в руку приготовленный для подачи государю рапорт.
Беготня, шепот, еще отчаянно пролетевшая тройка, и все глаза устремились на подскакивающие сани, в которых уже видны были фигуры государя и Волконского.
Все это по пятидесятилетней привычке физически тревожно подействовало на старого генерала; он озабоченно торопливо ощупал себя, поправил шляпу и враз, в ту минуту как государь, выйдя из саней, поднял к нему глаза, подбодрившись и вытянувшись, подал рапорт и стал говорить своим мерным, заискивающим голосом.
Государь быстрым взглядом окинул Кутузова с головы до ног, на мгновенье нахмурился, но тотчас же, преодолев себя, подошел и, расставив руки, обнял старого генерала. Опять по старому, привычному впечатлению и по отношению к задушевной мысли его, объятие это, как и обыкновенно, подействовало на Кутузова: он всхлипнул.
Государь поздоровался с офицерами, с Семеновским караулом и, пожав еще раз за руку старика, пошел с ним в замок.
Оставшись наедине с фельдмаршалом, государь высказал ему свое неудовольствие за медленность преследования, за ошибки в Красном и на Березине и сообщил свои соображения о будущем походе за границу. Кутузов не делал ни возражений, ни замечаний. То самое покорное и бессмысленное выражение, с которым он, семь лет тому назад, выслушивал приказания государя на Аустерлицком поле, установилось теперь на его лице.
Когда Кутузов вышел из кабинета и своей тяжелой, ныряющей походкой, опустив голову, пошел по зале, чей то голос остановил его.
– Ваша светлость, – сказал кто то.
Кутузов поднял голову и долго смотрел в глаза графу Толстому, который, с какой то маленькою вещицей на серебряном блюде, стоял перед ним. Кутузов, казалось, не понимал, чего от него хотели.
Вдруг он как будто вспомнил: чуть заметная улыбка мелькнула на его пухлом лице, и он, низко, почтительно наклонившись, взял предмет, лежавший на блюде. Это был Георгий 1 й степени.


На другой день были у фельдмаршала обед и бал, которые государь удостоил своим присутствием. Кутузову пожалован Георгий 1 й степени; государь оказывал ему высочайшие почести; но неудовольствие государя против фельдмаршала было известно каждому. Соблюдалось приличие, и государь показывал первый пример этого; но все знали, что старик виноват и никуда не годится. Когда на бале Кутузов, по старой екатерининской привычке, при входе государя в бальную залу велел к ногам его повергнуть взятые знамена, государь неприятно поморщился и проговорил слова, в которых некоторые слышали: «старый комедиант».
Неудовольствие государя против Кутузова усилилось в Вильне в особенности потому, что Кутузов, очевидно, не хотел или не мог понимать значение предстоящей кампании.
Когда на другой день утром государь сказал собравшимся у него офицерам: «Вы спасли не одну Россию; вы спасли Европу», – все уже тогда поняли, что война не кончена.
Один Кутузов не хотел понимать этого и открыто говорил свое мнение о том, что новая война не может улучшить положение и увеличить славу России, а только может ухудшить ее положение и уменьшить ту высшую степень славы, на которой, по его мнению, теперь стояла Россия. Он старался доказать государю невозможность набрания новых войск; говорил о тяжелом положении населений, о возможности неудач и т. п.
При таком настроении фельдмаршал, естественно, представлялся только помехой и тормозом предстоящей войны.
Для избежания столкновений со стариком сам собою нашелся выход, состоящий в том, чтобы, как в Аустерлице и как в начале кампании при Барклае, вынуть из под главнокомандующего, не тревожа его, не объявляя ему о том, ту почву власти, на которой он стоял, и перенести ее к самому государю.
С этою целью понемногу переформировался штаб, и вся существенная сила штаба Кутузова была уничтожена и перенесена к государю. Толь, Коновницын, Ермолов – получили другие назначения. Все громко говорили, что фельдмаршал стал очень слаб и расстроен здоровьем.