Многочлены Якоби
| Ортогональные многочлены Якоби | |
| Общая информация | |
|---|---|
| Формула |
<math>P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)}\sum_{m=0}^n {n\choose m}\frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m</math> |
| Скалярное произведение |
<math>(f, g) = \int_{-1}^{1}{(1-x)^\alpha (1+x)^\beta f(x) g(x) dx} </math> |
| Область определения |
<math>[-1, 1]</math> |
| Дополнительные характеристики | |
| Дифференциальное уравнение |
<math>(1-x^2)y + ( \beta-\alpha - (\alpha + \beta + 2)x )y'+ n(n+\alpha+\beta+1) y = 0</math> |
| Названы в честь | |
Многочлены Якоби (или полиномы Якоби) — класс ортогональных полиномов. Названы в честь Карла Густава Якоба Якоби.
Определение
Происходят из гипергеометрических функций в тех случаях, когда последующие ряды конечные[1]:
- <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(z)=\frac{(\alpha+1)_n}{n!}
\,_2F_1\left(-n,1+\alpha+\beta+n;\alpha+1;\frac{1-z}{2}\right) ,</math>
где <math>(\alpha+1)_n</math> является символом Похгаммера (для растущего факториала), и, таким образом, выводится выражение
- <math>
P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+n+1)}{n!\,\Gamma (\alpha+\beta+n+1)} \sum_{m=0}^n {n\choose m} \frac{\Gamma (\alpha + \beta + n + m + 1)}{\Gamma (\alpha + m + 1)} \left(\frac{z-1}{2}\right)^m , </math> Откуда одно из конечных значений следующее
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (1) = {n+\alpha\choose n}.</math>
Для целых <math>n</math>
- <math>
{z\choose n} = \frac{\Gamma(z+1)}{\Gamma(n+1)\Gamma(z-n+1)}, </math> где <math>\Gamma(z)</math> — обычная гамма-функция, и
- <math>
{z\choose n} = 0 \quad\hbox{for}\quad n < 0. </math>
Эти полиномы удовлетворяют условию ортогональности
- <math>
\int_{-1}^1 (1-x)^{\alpha} (1+x)^{\beta} P_m^{(\alpha,\beta)} (x)P_n^{(\alpha,\beta)} (x) \; dx= \frac{2^{\alpha+\beta+1}}{2n+\alpha+\beta+1} \frac{\Gamma(n+\alpha+1)\Gamma(n+\beta+1)}{\Gamma(n+\alpha+\beta+1)n!} \delta_{nm} </math> для <math>\alpha>-1</math> и <math>\beta>-1</math>.
Существует отношение симетрии для полиномов Якоби.
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-z) = (-1)^n P_n^{(\beta, \alpha)} (z);
</math>
а потому еще одно значение полиномов:
- <math>P_n^{(\alpha, \beta)} (-1) = (-1)^n { n+\beta\choose n} .
</math>
Для действительного <math>x</math> полином Якоби может быть записан следующим образом.
- <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)=
\sum_s {n+\alpha\choose s}{n+\beta \choose n-s} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s} </math> где <math>s \ge 0</math> и <math> n-s \ge 0</math>.
В особом случае, когда <math>n</math>, <math>n+\alpha</math>, <math>n+\beta</math> и <math>n+\alpha +\beta</math> - неотрицательные целые, полином Якоби может принимать следующий вид
- <math>P_n^{(\alpha,\beta)}(x)= (n+\alpha)! (n+\beta)!
\sum_s \left[s! (n+\alpha-s)!(\beta+s)!(n-s)!\right]^{-1} \left(\frac{x-1}{2}\right)^{n-s} \left(\frac{x+1}{2}\right)^{s}. </math>
Сумма берется по всем целым значениям <math>s</math>, для которых множители являются неотъемлемыми.
Эта формула позволяет выразить d-матрицу Вигнера <math>d^j_{m' m}(\phi)\;</math> (<math>0\le \phi\le 4\pi</math>) в терминах полиномов Якоби[2]
- <math>
d^j_{m'm}(\phi) =\left[ \frac{(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}\right]^{1/2} \left(\sin\frac{\phi}{2}\right)^{m-m'} \left(\cos\frac{\phi}{2}\right)^{m+m'} P_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi). </math>
Производные
k-тая производная явного выражения приводит к
- <math>
\frac{\mathrm d^k}{\mathrm d z^k} P_n^{(\alpha,\beta)} (z) = \frac{\Gamma (\alpha+\beta+n+1+k)}{2^k \Gamma (\alpha+\beta+n+1)} P_{n-k}^{(\alpha+k, \beta+k)} (z). </math>
Напишите отзыв о статье "Многочлены Якоби"
Примечания
- ↑ Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A., eds. (1965), [www.math.sfu.ca/~cbm/aands/page_561.htm "Chapter 22"], Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, New York: Dover, pp. 561, ISBN 978-0486612720, MR0167642
- ↑ L. C. Biedenharn and J. D. Louck, Angular Momentum in Quantum Physics, Addison-Wesley, Reading, (1981)
- Andrews, George E.; Askey, Richard & Roy, Ranjan (1999), Special functions, vol. 71, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, Cambridge University Press, MR[www.ams.org/mathscinet-getitem?mr=1688958 1688958], ISBN 978-0-521-62321-6; 978-0-521-78988-2
- Koornwinder, Tom H.; Wong, Roderick S. C.; Koekoek, Roelof & Swarttouw, René F., Orthogonal Polynomials, NIST Handbook of Mathematical Functions, Cambridge University Press, ISBN 978-0521192255
</div>
|
Это заготовка статьи по математике. Вы можете помочь проекту, дополнив её. |
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
Для улучшения этой статьи желательно?:
|
| ||||||
Отрывок, характеризующий Многочлены Якоби
Николай мрачно, продолжая ходить по комнате, взглядывал на Денисова и девочек, избегая их взглядов.«Николенька, что с вами?» – спросил взгляд Сони, устремленный на него. Она тотчас увидала, что что нибудь случилось с ним.
Николай отвернулся от нее. Наташа с своею чуткостью тоже мгновенно заметила состояние своего брата. Она заметила его, но ей самой так было весело в ту минуту, так далека она была от горя, грусти, упреков, что она (как это часто бывает с молодыми людьми) нарочно обманула себя. Нет, мне слишком весело теперь, чтобы портить свое веселье сочувствием чужому горю, почувствовала она, и сказала себе:
«Нет, я верно ошибаюсь, он должен быть весел так же, как и я». Ну, Соня, – сказала она и вышла на самую середину залы, где по ее мнению лучше всего был резонанс. Приподняв голову, опустив безжизненно повисшие руки, как это делают танцовщицы, Наташа, энергическим движением переступая с каблучка на цыпочку, прошлась по середине комнаты и остановилась.
«Вот она я!» как будто говорила она, отвечая на восторженный взгляд Денисова, следившего за ней.
«И чему она радуется! – подумал Николай, глядя на сестру. И как ей не скучно и не совестно!» Наташа взяла первую ноту, горло ее расширилось, грудь выпрямилась, глаза приняли серьезное выражение. Она не думала ни о ком, ни о чем в эту минуту, и из в улыбку сложенного рта полились звуки, те звуки, которые может производить в те же промежутки времени и в те же интервалы всякий, но которые тысячу раз оставляют вас холодным, в тысячу первый раз заставляют вас содрогаться и плакать.
Наташа в эту зиму в первый раз начала серьезно петь и в особенности оттого, что Денисов восторгался ее пением. Она пела теперь не по детски, уж не было в ее пеньи этой комической, ребяческой старательности, которая была в ней прежде; но она пела еще не хорошо, как говорили все знатоки судьи, которые ее слушали. «Не обработан, но прекрасный голос, надо обработать», говорили все. Но говорили это обыкновенно уже гораздо после того, как замолкал ее голос. В то же время, когда звучал этот необработанный голос с неправильными придыханиями и с усилиями переходов, даже знатоки судьи ничего не говорили, и только наслаждались этим необработанным голосом и только желали еще раз услыхать его. В голосе ее была та девственная нетронутость, то незнание своих сил и та необработанная еще бархатность, которые так соединялись с недостатками искусства пенья, что, казалось, нельзя было ничего изменить в этом голосе, не испортив его.
«Что ж это такое? – подумал Николай, услыхав ее голос и широко раскрывая глаза. – Что с ней сделалось? Как она поет нынче?» – подумал он. И вдруг весь мир для него сосредоточился в ожидании следующей ноты, следующей фразы, и всё в мире сделалось разделенным на три темпа: «Oh mio crudele affetto… [О моя жестокая любовь…] Раз, два, три… раз, два… три… раз… Oh mio crudele affetto… Раз, два, три… раз. Эх, жизнь наша дурацкая! – думал Николай. Всё это, и несчастье, и деньги, и Долохов, и злоба, и честь – всё это вздор… а вот оно настоящее… Hy, Наташа, ну, голубчик! ну матушка!… как она этот si возьмет? взяла! слава Богу!» – и он, сам не замечая того, что он поет, чтобы усилить этот si, взял втору в терцию высокой ноты. «Боже мой! как хорошо! Неужели это я взял? как счастливо!» подумал он.
