Описанный четырёхугольник

В евклидовой геометрии описанный четырёхугольник — это выпуклый четырёхугольник, стороны которого являются касательными к одной окружности внутри четырёхугольника. Эта окружность называется вписанной в четырёхугольник. Описанные четырёхугольники являются частным случаем описанных многоугольников.

Все треугольники имеют вписанные окружности, но не все четырёхугольники. Примером четырёхугольника, в который нельзя вписать окружность, может служить прямоугольник, не являющийся квадратом. Раздел «Свойства» ниже даёт необходимые и достаточные условия, чтобы четырёхугольник был описанным.

Специальные случаи

Примерами описанных четырёхугольников могут служить дельтоиды, которые включают ромбы, которые, в свою очередь, включают квадраты. Дельтоиды — это в точности те описанные четырёхугольники, которые также являются ортодиагональными . Если четырёхугольник является описанным и вписанным четырёхугольником, он называется бицентральным.

Свойства

В описанном четырёхугольнике четыре биссектрисы пересекаются в центре окружности. И наоборот, выпуклый четырёхугольник, в котором четыре биссектрисы пересекаются в одной точке, должен быть описанным, и точка пересечения биссектрис является центром вписанной окружности.

Согласно теореме Пито две пары противоположных сторон в описанном четырёхугольнике в сумме дают одно и то же число, которое равно полупериметру s четырёхугольника:

<math>a + c = b + d = \frac{a + b + c + d}{2} = s.</math>

Обратно — четырёхугольник, в котором a + c = b + d, должен быть описанным.

Если противоположные стороны в выпуклом четырёхугольнике ABCD (не являющийся трапецией) пересекаются в точках E и F, то они являются касательными к окружности тогда и только тогда, когда

<math>\displaystyle BE+BF=DE+DF</math>

или

<math>\displaystyle AE-EC=AF-FC.</math>

Второе равенство почти то же, что и равенство в теореме Уркхарта. Разница только в знаках — в теореме Уркхарта суммы, а здесь разности (см. рисунок справа).

Другое необходимое и достаточное условие — выпуклый четырёхугольник ABCD является описанным в том и только в том случае, когда вписанные в треугольники ABC и ADC окружности касаются друг друга.

Описание по углам, образованным диагональю BD со сторонами четырёхугольника ABCD, принадлежит Иосифеску (Iosifescu). Он в 1954 доказал, что выпуклый четырёхугольник имеет вписанную окружность тогда и только тогда, когда

<math>\tan{\frac{\angle ABD}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle BDC}{2}}=\tan{\frac{\angle ADB}{2}}\cdot\tan{\frac{\angle DBC}{2}}.</math>

Далее выпуклый четырёхугольник со сторонами a, b, c, d является описанным тогда и только тогда, когда

<math>R_aR_c=R_bR_d</math>,

где R_a, R_b, R_c, R_d являются радиусами окружностей, внешне касательным сторонам a, b, c, d соответственно и продолжениям смежных сторон с каждой стороны .

Некоторые другие описания известны для четырёх треугольников, образованных диагоналями.

Специальные отрезки

Восемь отрезков касательных описанного четырёхугольника являются отрезками между вершинами и точками касания на сторонах. В каждой вершине имеется два равных касательных отрезка.

Точки касания образуют вписанный четырёхугольник.

Площадь

Нетригонометрические формулы

Площадь K касательного четырёхугольника задаётся формулой

<math>K = r \cdot s</math>,

где s — полупериметр и r — радиус вписанной окружности. Ещё одна формула

<math>K = \tfrac{1}{2}\sqrt{p^2q^2-(ac-bd)^2}</math>,

дающая площадь в терминах диагоналей p, q и сторон a, b, c, d касательного четырёхугольника.

Площадь можно представить также в терминах касательных отрезков (см. выше). Если их обозначить через e, f, g, h, то касательный четырёхугольник имеет площадь

<math>K=\sqrt{(e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef)}.</math>

Более того, площадь касательного четырёхугольника можно выразить в терминах сторон a, b, c, d и соответствующих длин касательных отрезков e, f, g, h

<math>K=\sqrt{abcd-(eg-fh)^2}.</math>

Поскольку eg = fh в том и только в том случае, когда он также является вписанным, получаем, что максимальная площадь <math>\sqrt{abcd}</math> может достигаться только на четырёхугольниках, которые являются и описанными, и вписанными одновременно.

Тригонометрические формулы

Тригонометрическая формула для площади в терминах сторон a, b, c, d и двух противоположных сторон

<math>K = \sqrt{abcd} \sin \frac{A+C}{2} = \sqrt{abcd} \sin \frac{B+D}{2}.</math>

Для заданного произведения сторон площадь будет максимальной, когда четырёхугольник является также вписанным. В этом случае <math>K = \sqrt{abcd}</math>, поскольку противоположные углы являются дополнительными. Это можно доказать и другим способом, используя математический анализ.

Ещё одна формула площади описанного четырёхугольника ABCD, использующая два противоположных угла

<math>K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin\frac{A+C}{2}</math>,

где O является центром вписанной окружности.

Фактически площадь можно выразить в терминах лишь двух смежных сторон и двух противоположных углов

<math>K=ab\sin{\frac{B}{2}}\csc{\frac{D}{2}}\sin \frac{B+D}{2}.</math>

Есть ещё одна формула

<math>K=\tfrac{1}{2}|(ac-bd)\tan{\theta}|,</math>

где θ угол (любой) между диагоналями. Формула неприменима к случаю дельтоидов, поскольку в этом случае θ равен 90° и тангенс не определён.

Неравенства

Как упомянуто было вскользь выше, площадь касательного многоугольника со сторонами a, b, c, d удовлетворяет неравенству

<math>K\le\sqrt{abcd}</math>

и равенство достигается тогда и только тогда, когда четырёхугольник является бицентральным.

Согласно Т. А. Ивановой (1976), полупериметр s описанного четырёхугольника удовлетворяет неравенству

<math>s\ge 4r</math>,

где r — радиус вписанной окружности. Неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда четырёхугольник является квадратом. Это означает, что для площади K = rs, выполняется неравенство

<math>K\ge 4r^2</math>

с переходом в равенство в том и только в том случае, когда четырёхугольник — квадрат.

Свойства частей четырёхугольника

Четыре отрезка прямых между центром вписанной окружности и точками касания делят четырёхугольник на четыре прямоугольных дельтоида.

Если прямая делит описанный четырёхугольник на два многоугольника с равными площадями и равными периметрами, то эта линия проходит через инцентр.

Радиус вписанной окружности

Радиус вписанной окружности описанного четырёхугольника со сторонами a, b, c, d задаётся формулой

<math>r=\frac{K}{s}=\frac{K}{a+c}=\frac{K}{b+d}</math>,

где K — площадь четырёхугольника, а s — полупериметр. Для описанных четырёхугольников с заданным полупериметром радиус вписанной окружности максимален, когда четырёхугольник является одновременно и вписанным.

В терминах отрезков касательных радиус вписанной окружности .

<math>\displaystyle r=\sqrt{\frac{efg+fgh+ghe+hef}{e+f+g+h}}.</math>

Радиус вписанной окружности модно выразить также в терминах расстояния от инцентра O до вершин описанного четырёхугольника ABCD. Если u = AO, v = BO, x = CO и y = DO, то

<math>r=2\sqrt{\frac{(\sigma-uvx)(\sigma-vxy)(\sigma-xyu)(\sigma-yuv)}{uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx)}}</math>,

где <math>\sigma=\tfrac{1}{2}(uvx+vxy+xyu+yuv)</math>.

Формулы для углов

Если e, f, g и h отрезки касательных от вершин A, B, C и D соответственно к точкам касания окружности четырёхугольником ABCD, то углы четырёхугольника можно вычислить по формулам

<math> \sin{\frac{A}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(e + f)(e + g)(e + h)}},</math>

<math> \sin{\frac{B}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(f + e)(f + g)(f + h)}},</math>

<math> \sin{\frac{C}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(g + e)(g + f)(g + h)}},</math>

<math> \sin{\frac{D}{2}}=\sqrt{\frac{efg + fgh + ghe + hef}{(h + e)(h + f)(h + g)}}.</math>

Угол между хордами KM и LN задаётся формулой(см. рисунок)

<math> \sin{\varphi}=\sqrt{\frac{(e + f + g + h)(efg + fgh + ghe + hef)}{(e + f)(f + g)(g + h)(h + e)}}.</math>

Диагонали

Если e, f, g и h являются отрезками касательных от A, B, C и D до точек касания вписанной окружности четырёхугольником ABCD, то длины диагоналей p = AC и q = BD равны

<math>\displaystyle p=\sqrt{\frac{e+g}{f+h}\Big((e+g)(f+h)+4fh\Big)},</math>

<math>\displaystyle q=\sqrt{\frac{f+h}{e+g}\Big((e+g)(f+h)+4eg\Big)}.</math>

Хорды точек касания

Если e, f, g и h являются отрезками от вершин до точек касания, то длины хорд до противоположных точек касания равны

<math>\displaystyle k=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+f)(g+h)(e+g)(f+h)}},</math>

<math>\displaystyle l=\frac{2(efg+fgh+ghe+hef)}{\sqrt{(e+h)(f+g)(e+g)(f+h)}},</math>

где хорда k соединяет стороны с длинами a = e + f и c = g + h, а хорда l соединяет стороны длиной b = f + g и d = h + e. Квадрат отношения хорд удовлетворяет соотношению

<math>\frac{k^2}{l^2} = \frac{bd}{ac}.</math>

Две хорды

• перпендикулярны тогда и только тогда, когда четырёхугольник также и вписан .
• имеют одинаковые длины тогда и только тогда, описанный четырёхугольник является дельтоидом.

Хорда между сторонами AB и CD в описанном четырёхугольнике ABCD длиннее, чем хорда между сторонами BC и DA тогда и только тогда, когда средняя линия между сторонами AB и CD короче, чем средняя линия между сторонами BC и DA.

Если описанный четырёхугольник ABCD имеет точки касания M на AB и N на CD и хорда MN пересекает диагональ BD в точке P, то отношение отрезков касательных <math>\tfrac{BM}{DN}</math> равно отношению <math>\tfrac{BP}{DP}</math> отрезков диагонали BD.

Коллинеарные точки

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно в описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, а пары противоположных сторон пересекаются в точках E и F и M₃ — середина отрезка EF, тогда точки M₃, M₁, O, и M₂ лежат на одной прямой Прямая, соединяющая эти точки, называется прямой Ньютона четырёхугольника.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а продолжения противоположных сторон четырёхугольника, образованного точками касания, пересекаются в точках T и S, то четыре точки E, F, T и S лежат на одной прямой

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N и L соответственно, и если T_M, T_K, T_N, T_L являются изотомически сопряжёнными точками этих точек (то есть AТ_M = BM и т.д.), то точка Нагеля определяется как пересечение прямых T_NT_M и T_KT_L. Обе эти прямые делят периметр четырёхугольника на две равные части. Однако важнее то, что точка Нагеля Q, "центроид площади" G и центр вписанной окружности O лежат на одной прямой, и при этом QG = 2GO. Эта прямая называется прямой Нагеля описанного четырёхугольника.

В описанном четырёхугольнике ABCD с центром вписанной окружности O, в котором диагонали пересекаются в точке P, пусть H_M, H_K, H_N, H_L являются ортоцентрами треугольников AOB, BOC, COD и DOA соответственно. Тогда точки P, H_M, H_K, H_N и H_L лежат на одной прямой.

Конкурентные и перпендикулярные прямые

Две диагонали четырёхугольника и две хорды, соединяющие противоположные точки касания (противоположные вершины вписанного четырёхугольника), конкурентны (т.е. пересекаются в одной точке). Для того, чтобы показать это, можно воспользоваться частным случаем теоремы Брианшона, которая утверждает, что шестиугольник, все стороны которого касаются коническое сечение, имеет три диагонали, пересекающиеся в одной точке. Из описанного четырёхугольника легко получить шестиугольник с двумя углами по 180° путём вставки двух новых вершина противоположных точках касания. Все шесть сторон полученного шестиугольника являются касательными вписанной окружности, так что его диагонали пересекаются в одной точке. Но две диагонали шестиугольника совпадают с диагоналями четырёхугольника, а третья диагональ проходит через противоположные точки касания. Повторив те же рассуждения для двух других точек касания, получим требуемый результат.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD и DA в точках M, K, N, L соответственно, то прямые MK, LN и AC конкурентны.

Если продолжения противоположных сторон описанного четырёхугольника пересекаются в точках E и F, а диагонали пересекаются в точке P, то прямая EF перпендикулярна продолжению OP, где O — центр вписанной окружности.

Свойства вписанной окружности

Отношения двух противоположных сторон описанного четырёхугольника можно выразить через расстояния от центра вписанной окружности O до соответствующих сторон

<math>\frac{AB}{CD}=\frac{OA\cdot OB}{OC\cdot OD},\quad\quad \frac{BC}{DA}=\frac{OB\cdot OC}{OD\cdot OA}.</math>

Произведение двух смежных сторон описанного четырёхугольника ABCD с центром вписанной окружности O удовлетворяет соотношению

<math>AB\cdot BC=OB^2+\frac{OA\cdot OB\cdot OC}{OD}.</math>

Если O — центр вписанной окружности четырёхугольника ABCD, то

<math>OA\cdot OC+OB\cdot OD=\sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.</math>

Центр вписанной окружности O совпадает с "центроидом вершин" четырёхугольника в том и только в том случае, когда

<math>OA\cdot OC=OB\cdot OD.</math>

Если M₁ и M₂ являются серединами диагоналей AC и BD соответственно, то

<math>\frac{OM_1}{OM_2}=\frac{OA\cdot OC}{OB\cdot OD}=\frac{e+g}{f+h},</math>

где e, f, g и h — отрезки касательных в вершинах A, B, C и D соответственно. Комбинируя первое равенство с последним, получим, что "центроид вершин" описанного четырёхугольника совпадает с центом вписанной окружности тогда и только тогда, когда центр вписанной окружности лежит посередине между средними точками диагоналей.

Если четырёхзвенный механизм выполнен в виде описанного четырёхугольника, четырёхугольник остаётся описанным независимо от его деформации, при условии, что четырёхугольник остаётся выпуклым (Так, например, при деформации квадрата в ромб четырёхугольник остаётся описанным, хотя вписанная окружность будет меньшего размера). Если при деформации одна сторона зафиксирована, то при деформации четырёхугольника центр вписанной окружности движется по окружности радиуса <math>\sqrt{abcd}/s</math>, где a,b,c,d — стороны, а s — полупериметр.

Свойства четырёх внутренних треугольников

Для непересекающихся треугольниках APB, BPC, CPD, DPA, образованных диагоналями выпуклого четырёхугольника ABCD, где диагонали пересекаются в точке P, имеются следующие свойства.

Пусть r₁, r₂, r₃ и r₄ означают радиусы вписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно. Чао и Симеонов доказали, что четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

<math>\frac{1}{r_1}+\frac{1}{r_3}=\frac{1}{r_2}+\frac{1}{r_4}.</math>

Это свойство было доказано пятью годами ранее Вайнштейном. В решении его задачи похожее свойство было дано Васильевым и Сендеровым. Если через h_M, h_K, h_N и h_L обозначить высоты тех же треугольников (опущенных из пересечения диагоналей P), то четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда

<math>\frac{1}{h_M}+\frac{1}{h_N}=\frac{1}{h_K}+\frac{1}{h_L}.</math>

Ещё одно похожее свойство относится к радиусам вневписанных окружностей r_M, r_K, r_N и r_L для тех же четырёх треугольников (четыре вневписанные окружности касаются каждой из сторон четырёхугольника и продолжений диагоналей). Четырёхугольник является описанным в том и только в том случае, когда

<math>\frac{1}{r_M}+\frac{1}{r_N}=\frac{1}{r_K}+\frac{1}{r_L}.</math>

Если R_M, R_K, R_N и R_L — радиусы описанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA соответственно, то треугольник ABCD является описанным тогда и только тогда, когда

<math>R_M+R_N=R_K+R_L.</math>

В 1996 Вайнштейн, похоже, был первым, кто доказал ещё одно замечательное свойство описанных четырёхугольников, которое позднее появилось в нескольких журналах и сайтах. Свойство утверждает, что если выпуклый четырёхугольников разделён на четыре неперекрывающихся треугольника его диагоналями, центры вписанных окружностей этих треугольников лежат на одной окружности тогда и только тогда, когда четырёхугольник является описанным. Фактически центры вписанных окружностей образуют ортодиагональный вписанный четырёхугоольник . Здесь вписанные окружности можно заменить на вневписанные (касающиеся стороны и продолжения диагоналей четырёхугольника). Тогда выпуклый четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда центры вневписанных окружностей являются вершинами вписанного четырёхугольника.

Выпуклый четырёхугольник ABCD, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда четыре центра вневписанных окружностей треугольников APB, BPC, CPD и DPA лежат на одной окружности (здесь вневписанные окружности пересекают стороны четырёхугольника, в отличие от аналогичного утверждения выше, где вневписанные окружности лежат вне четырёхугольника). Если R_m, R_n, R_k и R_l — радиусы вневписанных окружностей APB, BPC, CPD и DPA соответственно, противоположных вершинам B и D, то ещё одним необходимым и достаточным условием того, что четырёхугольник является описанным, будет

<math>\frac{1}{R_m}+\frac{1}{R_n}=\frac{1}{R_k}+\frac{1}{R_l}.</math>

Далее выпуклый четырёхугольник, в котором диагонали пересекаются в точке P, является описанным тогда и только тогда, когда

<math>\frac{m}{\triangle(APB)}+\frac{n}{\triangle(CPD)}=\frac{k}{\triangle(BPC)}+\frac{l}{\triangle(DPA)}</math>

здесь m, k, n, l – длины сторон AB, BC, CD и DA, а ∆(APB) — площадь треугольника APB.

Обозначим отрезки, на которые точка P делит диагональ AC как AP = p_a и PC = p_c. Аналогичным образом P делить диагональ BD на отрезки BP = p_b и PD = p_d. Тогда четырёхугольник является описанным тогда и только тогда, когда выполняется одно из равенств:

<math>mp_cp_d + np_aq_b = kp_ap_d + lp_cp_b</math>

или

<math>\frac{(p_a+p_b-m)(p_c+p_d-n)}{(p_a+p_b+m)(p_c+p_d+n)}=\frac{(p_c+p_b-k)(p_a+p_d-l)}{(p_c+p_b+k)(p_a+p_d+l)}</math>

или

<math>\frac{(m+p_a-p_b)(n+p_c-p_d)}{(m-p_a+p_b)(n-p_c+p_d)}=\frac{(k+p_c-p_b)(l+p_a-p_d)}{(k-p_c+p_b)(l-p_a+p_d)}.</math>

Условия для описанного четырёхугольника быть другим типом четырёхугольника

Описанный четырёхугольник является ромбом в том и только в том случае, когда противоположные углы равны.

Если вписанная окружность касается сторон AB, BC, CD, DA в точках M, K, N, L соответственно, то ABCD является также вписанным четырёхугольником тогда и только тогда, когда

• хорда MN перпендикулярна KL
• <math>\frac{AM}{MB}=\frac{DN}{NC}</math>
• <math>\frac{AC}{BD}=\frac{AM+CN}{BK+DL}</math>

Первое утверждение из этих трёх означает, что четырёхугольник касаний MKNL является ортодиагональным.

Описанный четырёхугольник является бицентричным (т.е. описанным и вписанным одновременно) тогда и только тогда, когда радиус вписанной окружности наибольший среди всех описанных четырёхугольников, имеющих ту же самую последовательность длин сторон.

Описанный четырёхугольник является дельтоидом в том и только в том случае, когда любое из нижеследующих условий выполняется:

• Площадь равна половине произведения диагоналей
• Диагонали перпендикулярны
• Два отрезка, соединяющие противоположные точки касания, имеют равные длины
• Одна пара противоположных отрезков от вершины до точки касания имеют одинаковые длины
• Средние линии имеют одинаковые длины
• Произведения противоположных сторон равны
• Центр вписанной окружности лежит на диагонали, являющейся осью симметрии.

Смотрите также

• Описанная окружность
• Внекасательный четырёхугольник
• Описанная трапеция
• Вписанная в треугольник окружность

Ссылки

• Titu Andreescu, Bogdan Enescu Mathematical Olympiad Treasures. — Birkhäuser, 2006.
• Helen On a circle attached to a collapsible four-bar // American Mathematical Monthly. — 1926. — Т. 33, вып. 9.
• Alexander Bogomolny When A Quadrilateral Is Inscriptible? // Interactive Mathematics Miscellany and Puzzles.
• C.V. Durell, A. Robson Advanced Trigonometry // Dover reprint. — 2003.
• Victor Bryant, John Duncan Wheels within wheels // Mathematical Gazette. — 2010. — Вып. 94, November.
• Albrecht Hess On a circle containing the incenters of tangential quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2014. — Т. 14.
• Wu Wei Chao, Plamen Simeonov When quadrilaterals have inscribed circles (solution to problem 10698) // American Mathematical Monthly. — 2000. — Т. 107, вып. 7. — DOI:10.2307/2589133.
• Mowaffaq Hajja A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic // Forum Geometricorum. — 2008. — Т. 8.

Larry Hoehn A new formula concerning the diagonals and sides of a quadrilateral. — 2011. — Т. 11.

• John P. Hoyt Quickies, Q694 // Mathematics Magazine. — 1984. — Т. 57, вып. 4.
• John P. Hoyt Maximizing the Area of a Trapezium // American Mathematical Monthly. — 1986. — Т. 93, вып. 1. — DOI:10.2307/2322549.

• Martin Josefsson Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010a. — Т. 10.

Martin Josefsson On the inradius of a tangential quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2010b. — Т. 10.

• Martin Josefsson Characterizations of Bicentric Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2010с. — Т. 10.
• Martin Josefsson When is a Tangential Quadrilateral a Kite? // Forum Geometricorum. — 2011a. — Т. 11.
• Martin Josefsson More Characterizations of Tangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2011b. — Т. 11.
• Martin Josefsson The Area of a Bicentric Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2011c. — Т. 11.
• Martin Josefsson Similar Metric Characterizations of Tangential and Extangential Quadrilaterals // Forum Geometricorum. — 2012. — Т. 12.
• Martin Josefsson Characterizations of Orthodiagonal Quadrilaterals. — 2012b. — Т. 12.
• Nicusor Minculete Characterizations of a Tangential Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2009. — Т. 9.
• Alexei Myakishev On Two Remarkable Lines Related to a Quadrilateral // Forum Geometricorum. — 2006. — Т. 6.
• A.W. Siddons, R.T. Hughes Trigonometry. — Cambridge Univ. Press, 1929.
• И. Вайнштейн, Н. Васильев, В. Сендеров (Решение задачи) M1495 // Квант. — 1995. — Вып. 6.
• Michael De Villiers Equiangular cyclic and equilateral circumscribed polygons // Mathematical Gazette. — 2011. — Вып. 95, March.

Внешние ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/TangentialQuadrilateral.html Tangential Quadrilateral] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

Отрывок, характеризующий Описанный четырёхугольник

– Я от него получила письмо, – отвечала княжна Марья.
Он с удивлением и робостью смотрел на нее.
– Где же он?
– Он в армии, mon pere, в Смоленске.
Он долго молчал, закрыв глаза; потом утвердительно, как бы в ответ на свои сомнения и в подтверждение того, что он теперь все понял и вспомнил, кивнул головой и открыл глаза.
– Да, – сказал он явственно и тихо. – Погибла Россия! Погубили! – И он опять зарыдал, и слезы потекли у него из глаз. Княжна Марья не могла более удерживаться и плакала тоже, глядя на его лицо.
Он опять закрыл глаза. Рыдания его прекратились. Он сделал знак рукой к глазам; и Тихон, поняв его, отер ему слезы.
Потом он открыл глаза и сказал что то, чего долго никто не мог понять и, наконец, понял и передал один Тихон. Княжна Марья отыскивала смысл его слов в том настроении, в котором он говорил за минуту перед этим. То она думала, что он говорит о России, то о князе Андрее, то о ней, о внуке, то о своей смерти. И от этого она не могла угадать его слов.
– Надень твое белое платье, я люблю его, – говорил он.
Поняв эти слова, княжна Марья зарыдала еще громче, и доктор, взяв ее под руку, вывел ее из комнаты на террасу, уговаривая ее успокоиться и заняться приготовлениями к отъезду. После того как княжна Марья вышла от князя, он опять заговорил о сыне, о войне, о государе, задергал сердито бровями, стал возвышать хриплый голос, и с ним сделался второй и последний удар.
Княжна Марья остановилась на террасе. День разгулялся, было солнечно и жарко. Она не могла ничего понимать, ни о чем думать и ничего чувствовать, кроме своей страстной любви к отцу, любви, которой, ей казалось, она не знала до этой минуты. Она выбежала в сад и, рыдая, побежала вниз к пруду по молодым, засаженным князем Андреем, липовым дорожкам.
– Да… я… я… я. Я желала его смерти. Да, я желала, чтобы скорее кончилось… Я хотела успокоиться… А что ж будет со мной? На что мне спокойствие, когда его не будет, – бормотала вслух княжна Марья, быстрыми шагами ходя по саду и руками давя грудь, из которой судорожно вырывались рыдания. Обойдя по саду круг, который привел ее опять к дому, она увидала идущих к ней навстречу m lle Bourienne (которая оставалась в Богучарове и не хотела оттуда уехать) и незнакомого мужчину. Это был предводитель уезда, сам приехавший к княжне с тем, чтобы представить ей всю необходимость скорого отъезда. Княжна Марья слушала и не понимала его; она ввела его в дом, предложила ему завтракать и села с ним. Потом, извинившись перед предводителем, она подошла к двери старого князя. Доктор с встревоженным лицом вышел к ней и сказал, что нельзя.
– Идите, княжна, идите, идите!
Княжна Марья пошла опять в сад и под горой у пруда, в том месте, где никто не мог видеть, села на траву. Она не знала, как долго она пробыла там. Чьи то бегущие женские шаги по дорожке заставили ее очнуться. Она поднялась и увидала, что Дуняша, ее горничная, очевидно, бежавшая за нею, вдруг, как бы испугавшись вида своей барышни, остановилась.
– Пожалуйте, княжна… князь… – сказала Дуняша сорвавшимся голосом.
– Сейчас, иду, иду, – поспешно заговорила княжна, не давая времени Дуняше договорить ей то, что она имела сказать, и, стараясь не видеть Дуняши, побежала к дому.
– Княжна, воля божья совершается, вы должны быть на все готовы, – сказал предводитель, встречая ее у входной двери.
– Оставьте меня. Это неправда! – злобно крикнула она на него. Доктор хотел остановить ее. Она оттолкнула его и подбежала к двери. «И к чему эти люди с испуганными лицами останавливают меня? Мне никого не нужно! И что они тут делают? – Она отворила дверь, и яркий дневной свет в этой прежде полутемной комнате ужаснул ее. В комнате были женщины и няня. Они все отстранились от кровати, давая ей дорогу. Он лежал все так же на кровати; но строгий вид его спокойного лица остановил княжну Марью на пороге комнаты.
«Нет, он не умер, это не может быть! – сказала себе княжна Марья, подошла к нему и, преодолевая ужас, охвативший ее, прижала к щеке его свои губы. Но она тотчас же отстранилась от него. Мгновенно вся сила нежности к нему, которую она чувствовала в себе, исчезла и заменилась чувством ужаса к тому, что было перед нею. «Нет, нет его больше! Его нет, а есть тут же, на том же месте, где был он, что то чуждое и враждебное, какая то страшная, ужасающая и отталкивающая тайна… – И, закрыв лицо руками, княжна Марья упала на руки доктора, поддержавшего ее.
В присутствии Тихона и доктора женщины обмыли то, что был он, повязали платком голову, чтобы не закостенел открытый рот, и связали другим платком расходившиеся ноги. Потом они одели в мундир с орденами и положили на стол маленькое ссохшееся тело. Бог знает, кто и когда позаботился об этом, но все сделалось как бы само собой. К ночи кругом гроба горели свечи, на гробу был покров, на полу был посыпан можжевельник, под мертвую ссохшуюся голову была положена печатная молитва, а в углу сидел дьячок, читая псалтырь.
Как лошади шарахаются, толпятся и фыркают над мертвой лошадью, так в гостиной вокруг гроба толпился народ чужой и свой – предводитель, и староста, и бабы, и все с остановившимися испуганными глазами, крестились и кланялись, и целовали холодную и закоченевшую руку старого князя.


Богучарово было всегда, до поселения в нем князя Андрея, заглазное именье, и мужики богучаровские имели совсем другой характер от лысогорских. Они отличались от них и говором, и одеждой, и нравами. Они назывались степными. Старый князь хвалил их за их сносливость в работе, когда они приезжали подсоблять уборке в Лысых Горах или копать пруды и канавы, но не любил их за их дикость.
Последнее пребывание в Богучарове князя Андрея, с его нововведениями – больницами, школами и облегчением оброка, – не смягчило их нравов, а, напротив, усилило в них те черты характера, которые старый князь называл дикостью. Между ними всегда ходили какие нибудь неясные толки, то о перечислении их всех в казаки, то о новой вере, в которую их обратят, то о царских листах каких то, то о присяге Павлу Петровичу в 1797 году (про которую говорили, что тогда еще воля выходила, да господа отняли), то об имеющем через семь лет воцариться Петре Феодоровиче, при котором все будет вольно и так будет просто, что ничего не будет. Слухи о войне в Бонапарте и его нашествии соединились для них с такими же неясными представлениями об антихристе, конце света и чистой воле.
В окрестности Богучарова были всё большие села, казенные и оброчные помещичьи. Живущих в этой местности помещиков было очень мало; очень мало было также дворовых и грамотных, и в жизни крестьян этой местности были заметнее и сильнее, чем в других, те таинственные струи народной русской жизни, причины и значение которых бывают необъяснимы для современников. Одно из таких явлений было проявившееся лет двадцать тому назад движение между крестьянами этой местности к переселению на какие то теплые реки. Сотни крестьян, в том числе и богучаровские, стали вдруг распродавать свой скот и уезжать с семействами куда то на юго восток. Как птицы летят куда то за моря, стремились эти люди с женами и детьми туда, на юго восток, где никто из них не был. Они поднимались караванами, поодиночке выкупались, бежали, и ехали, и шли туда, на теплые реки. Многие были наказаны, сосланы в Сибирь, многие с холода и голода умерли по дороге, многие вернулись сами, и движение затихло само собой так же, как оно и началось без очевидной причины. Но подводные струи не переставали течь в этом народе и собирались для какой то новой силы, имеющей проявиться так же странно, неожиданно и вместе с тем просто, естественно и сильно. Теперь, в 1812 м году, для человека, близко жившего с народом, заметно было, что эти подводные струи производили сильную работу и были близки к проявлению.
Алпатыч, приехав в Богучарово несколько времени перед кончиной старого князя, заметил, что между народом происходило волнение и что, противно тому, что происходило в полосе Лысых Гор на шестидесятиверстном радиусе, где все крестьяне уходили (предоставляя казакам разорять свои деревни), в полосе степной, в богучаровской, крестьяне, как слышно было, имели сношения с французами, получали какие то бумаги, ходившие между ними, и оставались на местах. Он знал через преданных ему дворовых людей, что ездивший на днях с казенной подводой мужик Карп, имевший большое влияние на мир, возвратился с известием, что казаки разоряют деревни, из которых выходят жители, но что французы их не трогают. Он знал, что другой мужик вчера привез даже из села Вислоухова – где стояли французы – бумагу от генерала французского, в которой жителям объявлялось, что им не будет сделано никакого вреда и за все, что у них возьмут, заплатят, если они останутся. В доказательство того мужик привез из Вислоухова сто рублей ассигнациями (он не знал, что они были фальшивые), выданные ему вперед за сено.
Наконец, важнее всего, Алпатыч знал, что в тот самый день, как он приказал старосте собрать подводы для вывоза обоза княжны из Богучарова, поутру была на деревне сходка, на которой положено было не вывозиться и ждать. А между тем время не терпело. Предводитель, в день смерти князя, 15 го августа, настаивал у княжны Марьи на том, чтобы она уехала в тот же день, так как становилось опасно. Он говорил, что после 16 го он не отвечает ни за что. В день же смерти князя он уехал вечером, но обещал приехать на похороны на другой день. Но на другой день он не мог приехать, так как, по полученным им самим известиям, французы неожиданно подвинулись, и он только успел увезти из своего имения свое семейство и все ценное.
Лет тридцать Богучаровым управлял староста Дрон, которого старый князь звал Дронушкой.
Дрон был один из тех крепких физически и нравственно мужиков, которые, как только войдут в года, обрастут бородой, так, не изменяясь, живут до шестидесяти – семидесяти лет, без одного седого волоса или недостатка зуба, такие же прямые и сильные в шестьдесят лет, как и в тридцать.
Дрон, вскоре после переселения на теплые реки, в котором он участвовал, как и другие, был сделан старостой бурмистром в Богучарове и с тех пор двадцать три года безупречно пробыл в этой должности. Мужики боялись его больше, чем барина. Господа, и старый князь, и молодой, и управляющий, уважали его и в шутку называли министром. Во все время своей службы Дрон нн разу не был ни пьян, ни болен; никогда, ни после бессонных ночей, ни после каких бы то ни было трудов, не выказывал ни малейшей усталости и, не зная грамоте, никогда не забывал ни одного счета денег и пудов муки по огромным обозам, которые он продавал, и ни одной копны ужи на хлеба на каждой десятине богучаровских полей.
Этого то Дрона Алпатыч, приехавший из разоренных Лысых Гор, призвал к себе в день похорон князя и приказал ему приготовить двенадцать лошадей под экипажи княжны и восемнадцать подвод под обоз, который должен был быть поднят из Богучарова. Хотя мужики и были оброчные, исполнение приказания этого не могло встретить затруднения, по мнению Алпатыча, так как в Богучарове было двести тридцать тягол и мужики были зажиточные. Но староста Дрон, выслушав приказание, молча опустил глаза. Алпатыч назвал ему мужиков, которых он знал и с которых он приказывал взять подводы.
Дрон отвечал, что лошади у этих мужиков в извозе. Алпатыч назвал других мужиков, и у тех лошадей не было, по словам Дрона, одни были под казенными подводами, другие бессильны, у третьих подохли лошади от бескормицы. Лошадей, по мнению Дрона, нельзя было собрать не только под обоз, но и под экипажи.
Алпатыч внимательно посмотрел на Дрона и нахмурился. Как Дрон был образцовым старостой мужиком, так и Алпатыч недаром управлял двадцать лет имениями князя и был образцовым управляющим. Он в высшей степени способен был понимать чутьем потребности и инстинкты народа, с которым имел дело, и потому он был превосходным управляющим. Взглянув на Дрона, он тотчас понял, что ответы Дрона не были выражением мысли Дрона, но выражением того общего настроения богучаровского мира, которым староста уже был захвачен. Но вместе с тем он знал, что нажившийся и ненавидимый миром Дрон должен был колебаться между двумя лагерями – господским и крестьянским. Это колебание он заметил в его взгляде, и потому Алпатыч, нахмурившись, придвинулся к Дрону.
– Ты, Дронушка, слушай! – сказал он. – Ты мне пустого не говори. Его сиятельство князь Андрей Николаич сами мне приказали, чтобы весь народ отправить и с неприятелем не оставаться, и царский на то приказ есть. А кто останется, тот царю изменник. Слышишь?
– Слушаю, – отвечал Дрон, не поднимая глаз.
Алпатыч не удовлетворился этим ответом.
– Эй, Дрон, худо будет! – сказал Алпатыч, покачав головой.
– Власть ваша! – сказал Дрон печально.
– Эй, Дрон, оставь! – повторил Алпатыч, вынимая руку из за пазухи и торжественным жестом указывая ею на пол под ноги Дрона. – Я не то, что тебя насквозь, я под тобой на три аршина все насквозь вижу, – сказал он, вглядываясь в пол под ноги Дрона.
Дрон смутился, бегло взглянул на Алпатыча и опять опустил глаза.
– Ты вздор то оставь и народу скажи, чтобы собирались из домов идти в Москву и готовили подводы завтра к утру под княжнин обоз, да сам на сходку не ходи. Слышишь?
Дрон вдруг упал в ноги.
– Яков Алпатыч, уволь! Возьми от меня ключи, уволь ради Христа.
– Оставь! – сказал Алпатыч строго. – Под тобой насквозь на три аршина вижу, – повторил он, зная, что его мастерство ходить за пчелами, знание того, когда сеять овес, и то, что он двадцать лет умел угодить старому князю, давно приобрели ему славу колдуна и что способность видеть на три аршина под человеком приписывается колдунам.
Дрон встал и хотел что то сказать, но Алпатыч перебил его:
– Что вы это вздумали? А?.. Что ж вы думаете? А?
– Что мне с народом делать? – сказал Дрон. – Взбуровило совсем. Я и то им говорю…
– То то говорю, – сказал Алпатыч. – Пьют? – коротко спросил он.
– Весь взбуровился, Яков Алпатыч: другую бочку привезли.
– Так ты слушай. Я к исправнику поеду, а ты народу повести, и чтоб они это бросили, и чтоб подводы были.
– Слушаю, – отвечал Дрон.
Больше Яков Алпатыч не настаивал. Он долго управлял народом и знал, что главное средство для того, чтобы люди повиновались, состоит в том, чтобы не показывать им сомнения в том, что они могут не повиноваться. Добившись от Дрона покорного «слушаю с», Яков Алпатыч удовлетворился этим, хотя он не только сомневался, но почти был уверен в том, что подводы без помощи воинской команды не будут доставлены.
И действительно, к вечеру подводы не были собраны. На деревне у кабака была опять сходка, и на сходке положено было угнать лошадей в лес и не выдавать подвод. Ничего не говоря об этом княжне, Алпатыч велел сложить с пришедших из Лысых Гор свою собственную кладь и приготовить этих лошадей под кареты княжны, а сам поехал к начальству.

Х
После похорон отца княжна Марья заперлась в своей комнате и никого не впускала к себе. К двери подошла девушка сказать, что Алпатыч пришел спросить приказания об отъезде. (Это было еще до разговора Алпатыча с Дроном.) Княжна Марья приподнялась с дивана, на котором она лежала, и сквозь затворенную дверь проговорила, что она никуда и никогда не поедет и просит, чтобы ее оставили в покое.
Окна комнаты, в которой лежала княжна Марья, были на запад. Она лежала на диване лицом к стене и, перебирая пальцами пуговицы на кожаной подушке, видела только эту подушку, и неясные мысли ее были сосредоточены на одном: она думала о невозвратимости смерти и о той своей душевной мерзости, которой она не знала до сих пор и которая выказалась во время болезни ее отца. Она хотела, но не смела молиться, не смела в том душевном состоянии, в котором она находилась, обращаться к богу. Она долго лежала в этом положении.
Солнце зашло на другую сторону дома и косыми вечерними лучами в открытые окна осветило комнату и часть сафьянной подушки, на которую смотрела княжна Марья. Ход мыслей ее вдруг приостановился. Она бессознательно приподнялась, оправила волоса, встала и подошла к окну, невольно вдыхая в себя прохладу ясного, но ветреного вечера.
«Да, теперь тебе удобно любоваться вечером! Его уж нет, и никто тебе не помешает», – сказала она себе, и, опустившись на стул, она упала головой на подоконник.
Кто то нежным и тихим голосом назвал ее со стороны сада и поцеловал в голову. Она оглянулась. Это была m lle Bourienne, в черном платье и плерезах. Она тихо подошла к княжне Марье, со вздохом поцеловала ее и тотчас же заплакала. Княжна Марья оглянулась на нее. Все прежние столкновения с нею, ревность к ней, вспомнились княжне Марье; вспомнилось и то, как он последнее время изменился к m lle Bourienne, не мог ее видеть, и, стало быть, как несправедливы были те упреки, которые княжна Марья в душе своей делала ей. «Да и мне ли, мне ли, желавшей его смерти, осуждать кого нибудь! – подумала она.
Княжне Марье живо представилось положение m lle Bourienne, в последнее время отдаленной от ее общества, но вместе с тем зависящей от нее и живущей в чужом доме. И ей стало жалко ее. Она кротко вопросительно посмотрела на нее и протянула ей руку. M lle Bourienne тотчас заплакала, стала целовать ее руку и говорить о горе, постигшем княжну, делая себя участницей этого горя. Она говорила о том, что единственное утешение в ее горе есть то, что княжна позволила ей разделить его с нею. Она говорила, что все бывшие недоразумения должны уничтожиться перед великим горем, что она чувствует себя чистой перед всеми и что он оттуда видит ее любовь и благодарность. Княжна слушала ее, не понимая ее слов, но изредка взглядывая на нее и вслушиваясь в звуки ее голоса.
– Ваше положение вдвойне ужасно, милая княжна, – помолчав немного, сказала m lle Bourienne. – Я понимаю, что вы не могли и не можете думать о себе; но я моей любовью к вам обязана это сделать… Алпатыч был у вас? Говорил он с вами об отъезде? – спросила она.
Княжна Марья не отвечала. Она не понимала, куда и кто должен был ехать. «Разве можно было что нибудь предпринимать теперь, думать о чем нибудь? Разве не все равно? Она не отвечала.
– Вы знаете ли, chere Marie, – сказала m lle Bourienne, – знаете ли, что мы в опасности, что мы окружены французами; ехать теперь опасно. Ежели мы поедем, мы почти наверное попадем в плен, и бог знает…
Княжна Марья смотрела на свою подругу, не понимая того, что она говорила.
– Ах, ежели бы кто нибудь знал, как мне все все равно теперь, – сказала она. – Разумеется, я ни за что не желала бы уехать от него… Алпатыч мне говорил что то об отъезде… Поговорите с ним, я ничего, ничего не могу и не хочу…
– Я говорила с ним. Он надеется, что мы успеем уехать завтра; но я думаю, что теперь лучше бы было остаться здесь, – сказала m lle Bourienne. – Потому что, согласитесь, chere Marie, попасть в руки солдат или бунтующих мужиков на дороге – было бы ужасно. – M lle Bourienne достала из ридикюля объявление на нерусской необыкновенной бумаге французского генерала Рамо о том, чтобы жители не покидали своих домов, что им оказано будет должное покровительство французскими властями, и подала ее княжне.
– Я думаю, что лучше обратиться к этому генералу, – сказала m lle Bourienne, – и я уверена, что вам будет оказано должное уважение.
Княжна Марья читала бумагу, и сухие рыдания задергали ее лицо.
– Через кого вы получили это? – сказала она.
– Вероятно, узнали, что я француженка по имени, – краснея, сказала m lle Bourienne.
Княжна Марья с бумагой в руке встала от окна и с бледным лицом вышла из комнаты и пошла в бывший кабинет князя Андрея.
– Дуняша, позовите ко мне Алпатыча, Дронушку, кого нибудь, – сказала княжна Марья, – и скажите Амалье Карловне, чтобы она не входила ко мне, – прибавила она, услыхав голос m lle Bourienne. – Поскорее ехать! Ехать скорее! – говорила княжна Марья, ужасаясь мысли о том, что она могла остаться во власти французов.
«Чтобы князь Андрей знал, что она во власти французов! Чтоб она, дочь князя Николая Андреича Болконского, просила господина генерала Рамо оказать ей покровительство и пользовалась его благодеяниями! – Эта мысль приводила ее в ужас, заставляла ее содрогаться, краснеть и чувствовать еще не испытанные ею припадки злобы и гордости. Все, что только было тяжелого и, главное, оскорбительного в ее положении, живо представлялось ей. «Они, французы, поселятся в этом доме; господин генерал Рамо займет кабинет князя Андрея; будет для забавы перебирать и читать его письма и бумаги. M lle Bourienne lui fera les honneurs de Богучарово. [Мадемуазель Бурьен будет принимать его с почестями в Богучарове.] Мне дадут комнатку из милости; солдаты разорят свежую могилу отца, чтобы снять с него кресты и звезды; они мне будут рассказывать о победах над русскими, будут притворно выражать сочувствие моему горю… – думала княжна Марья не своими мыслями, но чувствуя себя обязанной думать за себя мыслями своего отца и брата. Для нее лично было все равно, где бы ни оставаться и что бы с ней ни было; но она чувствовала себя вместе с тем представительницей своего покойного отца и князя Андрея. Она невольно думала их мыслями и чувствовала их чувствами. Что бы они сказали, что бы они сделали теперь, то самое она чувствовала необходимым сделать. Она пошла в кабинет князя Андрея и, стараясь проникнуться его мыслями, обдумывала свое положение.
Требования жизни, которые она считала уничтоженными со смертью отца, вдруг с новой, еще неизвестной силой возникли перед княжной Марьей и охватили ее. Взволнованная, красная, она ходила по комнате, требуя к себе то Алпатыча, то Михаила Ивановича, то Тихона, то Дрона. Дуняша, няня и все девушки ничего не могли сказать о том, в какой мере справедливо было то, что объявила m lle Bourienne. Алпатыча не было дома: он уехал к начальству. Призванный Михаил Иваныч, архитектор, явившийся к княжне Марье с заспанными глазами, ничего не мог сказать ей. Он точно с той же улыбкой согласия, с которой он привык в продолжение пятнадцати лет отвечать, не выражая своего мнения, на обращения старого князя, отвечал на вопросы княжны Марьи, так что ничего определенного нельзя было вывести из его ответов. Призванный старый камердинер Тихон, с опавшим и осунувшимся лицом, носившим на себе отпечаток неизлечимого горя, отвечал «слушаю с» на все вопросы княжны Марьи и едва удерживался от рыданий, глядя на нее.
Наконец вошел в комнату староста Дрон и, низко поклонившись княжне, остановился у притолоки.
Княжна Марья прошлась по комнате и остановилась против него.
– Дронушка, – сказала княжна Марья, видевшая в нем несомненного друга, того самого Дронушку, который из своей ежегодной поездки на ярмарку в Вязьму привозил ей всякий раз и с улыбкой подавал свой особенный пряник. – Дронушка, теперь, после нашего несчастия, – начала она и замолчала, не в силах говорить дальше.
– Все под богом ходим, – со вздохом сказал он. Они помолчали.
– Дронушка, Алпатыч куда то уехал, мне не к кому обратиться. Правду ли мне говорят, что мне и уехать нельзя?
– Отчего же тебе не ехать, ваше сиятельство, ехать можно, – сказал Дрон.
– Мне сказали, что опасно от неприятеля. Голубчик, я ничего не могу, ничего не понимаю, со мной никого нет. Я непременно хочу ехать ночью или завтра рано утром. – Дрон молчал. Он исподлобья взглянул на княжну Марью.
– Лошадей нет, – сказал он, – я и Яков Алпатычу говорил.
– Отчего же нет? – сказала княжна.
– Все от божьего наказания, – сказал Дрон. – Какие лошади были, под войска разобрали, а какие подохли, нынче год какой. Не то лошадей кормить, а как бы самим с голоду не помереть! И так по три дня не емши сидят. Нет ничего, разорили вконец.