Пространство непрерывных функций

Пространство непрерывных функций — линейное нормированное пространство, элементами которого являются непрерывные на отрезке <math>[a,b]</math> функции (обычно обозначается <math>{\mathrm C}[a,b]</math>, иногда <math>C^0[a,b]</math> или <math>C^{(0)}[a,b]</math>) . Норма в этом пространстве определяется следующим образом:

<math>||x||_{{\mathbf C}[a,b]}=\max_{t\in [a,b]}|x(t)|</math>

Эту норму также называют нормой Чебышёва или равномерной нормой, так как сходимость по этой норме эквивалентна равномерной сходимости.

Свойства

• Если последовательность <math>x_n</math> элементов из <math> {\mathrm C}[a,b]</math> сходится в этом пространстве к некоторой предельной функции <math>x(t)</math>, то <math> x_n \rightrightarrows x</math> при <math>n\to\infty</math>.
  • Отсюда: <math> {\mathrm C}[a,b]</math> — банахово пространство.
• Пространство непрерывных функций сепарабельно: счётное всюду плотное множество в нём образует множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Это утверждение получается как следствие аппроксимационной теоремы Вейерштрасса.
• В <math> {\mathrm C}[a,b]</math> не выполняется тождество параллелограмма, поэтому норма в нём не порождает никакого скалярного произведения.

Вариации и обобщения

Аналогичным образом это пространство строится так же и над областями и их замыканиями. В случае некомпактного множества максимум надо заменить на точную верхнюю грань.

Итак, пространством непрерывных ограниченных функций (вектор-функций) <math>{\mathbf C}(X,Y)</math> называется множество всех непрерывных ограниченных функций <math>x:X\to Y</math> со введённой на нём нормой:

<math>||x||_{\mathbf C(X,Y)}=\sup_{t\in X}\|x(t)\|_{Y}.</math>

---

Наряду с чебышёвской нормой часто рассматривается пространство непрерывных функций с интегральной нормой:

<math>||x||=\int\limits_a^b |x(t)|\,dt</math>

В смысле этой нормы пространство непрерывных на отрезке функций уже не образует полного линейного пространства. Фундаментальной, но не сходящейся в нем является, например, последовательность <math>x_n</math>

<math>

x_n(t)= \begin{cases} 1,\quad t\ge\frac{1}{n}\\ nt,\quad t\in(-\frac{1}{n},\frac{1}{n})\\ -1,\quad t\le-\frac{1}{n} \end{cases} </math>

Его пополнение есть <math>L_1[a,b]</math> — пространство суммируемых функций.

Литература

• А. Н. Колмогоров, С. И. Фомин. Элементы теории функций и функционального анализа. — М.: Наука, 2004.
• Л. А. Люстерник, В. В. Соболев. Элементы функционального анализа. — М.: Наука, 1965.
• M. Reed, B. Simon. Methods of modern mathematicals physics. Vol.1 Functional Analysis. — New York London: Academic Press, 1973.
• К. Иосида. Функциональный анализ. — М.: Мир, 1967.