Сфера Римана

К:Википедия:Статьи без источников (тип: не указан)

Для термина «Риман» см. также другие значения.

Сфе́ра Ри́мана — риманова поверхность, естественная структура на расширенной комплексной плоскости <math>\widehat{\mathbb C}=\mathbb C\cup\{\infty\}</math>, являющаяся комплексной проективной прямой <math>\mathbb C\mathbb P^1</math>. Как вещественное дифференцируемое многообразие диффеоморфна двумерной сфере <math>S^2</math>.

Координаты

Численные координаты на сфере Римана вводятся тремя способами:

• аффинная комплексная координата z, способная принимать значение <math>\infty</math>;
• проективные комплексные координаты <math>[z_0:z_1]</math>;
• трёхмерные вещественные координаты <math>\xi, \eta, \zeta</math>, связанные уравнением:

<math>\xi^2 + \eta^2 + (\zeta-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}</math>.

Переход от одних координат к другим задаётся формулами:

<math>z = \frac{z_1}{z_0}</math>

<math>z_0:z_1 = \left[\begin{matrix}\zeta:( \xi + i\eta ) &\Leftarrow\zeta>0 \\ 0:1 &\Leftarrow\zeta=0\end{matrix}\right.</math>

<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = \frac{z}{1+|z|^2} \\ \zeta = \frac{1}{1+|z|^2} \end{matrix}\right.</math>

<math>(\xi, \eta, \zeta)\mapsto z</math> задаёт отображение сферы с выколотым полюсом на комплексную плоскость, которое называется стереографической проекцией.

Преобразования Мёбиуса

Автоморфизмами сферы Римана являются преобразования Мёбиуса. Пусть <math>a,b,c,d</math> — матрица из <math>GL_2(\mathbb C)</math>. Её действие на сфере Римана в терминах проективных комплексных координат — просто умножение вектора-столбца координат на матрицу. В аффинных координатах действие выглядит так:

<math>z' = \frac{az+c}{bz+d}</math>

Приложения

Помимо математики, сфера Римана известна в теоретической физике.

В специальной теории относительности сфера Римана является моделью небесной сферы. Преобразования Мёбиуса связаны с преобразованиями Лоренца, и описывают искажение небесной сферы для наблюдателя, движущегося с околосветовой скоростью.

Преобразования Мёбиуса и Лоренца связаны также со спинорами. В квантовой механике сфера Римана параметризует состояния систем, описываемых 2-мерным пространством (см. q-бит), в особенности спина массивных частиц со спином 1/2, таких как электрон. В этом контексте сферу Римана называют сферой Блоха (англ. Bloch sphere) и используют на ней координаты «широта-долгота» почти как на обычной сфере, только широту <math>\theta</math> отсчитывают от полюса и делят угол на 2, т. ч. <math>0<\theta<\pi/2</math> (см. рис.) В таком случае верны соотношения:

<math>z_0:z_1 = \cos\theta : e^{i\varphi}\sin\theta</math>

<math>\left\{ \begin{matrix} \xi + i\eta = e^{i\varphi}\sin{2\theta} \\\zeta-1 = \cos{2\theta}\end{matrix}\right.</math>

В поляризационной оптике сферу Римана называют сферой Пуанкаре, а оси координат — параметрами Стокса.

Внутренность сферы

Внутренность сферы (шар) допускает смысловое толкование в обоих указанных выше приложениях. Как небесная сфера является множеством светоподобных направлений пространства-времени, так и её внутренность соответствует направлениям времениподобным, то есть фактически релятивистским досветовым скоростям. Это пространство является гиперболическим (имеет постоянную отрицательную кривизну наподобие плоскости Лобачевского, только при размерности 3 а не 2); на него естественным образом распространяется действие преобразований Мёбиуса.

Внутренность сферы Блоха отвечает так называемым смешанным состояниям q-бита, и геометрически устроена как обычный шар.

Однако, и то и другое описывается положительно определёнными эрмитовыми матрицами размера 2×2, рассматриваемыми с точностью до умножения на положительное число.

Ссылки

• [dic.academic.ru/dic.nsf/bse/127572/Римана Римана Сфера] — статья из Большой советской энциклопедии