Диполь (электродинамика)
Дипо́ль — идеализированная система, служащая для приближённого описания поля, создаваемого более сложными системами зарядов, а также для приближенного описания действия внешнего поля на такие системы. Дипольное приближение, выполнение которого обычно подразумевается, когда говорится о поле диполя, основано на разложении потенциалов поля в ряд по степеням радиус-вектора, характеризующего положение зарядов-источников, и отбрасывании всех членов выше первого порядка[1]. Полученные функции будут эффективно описывать поле в случае, если:
- размеры излучающей поле системы малы по сравнению с рассматриваемыми расстояниями, так что отношение характерного размера системы к длине радиус-вектора является малой величиной и имеет смысл рассмотрение лишь первых членов разложения потенциалов в ряд;
- член первого порядка в разложении не равен 0, в противном случае нужно использовать приближение более высокой мультипольности;
- в уравнениях рассматриваются градиенты потенциалов не выше первого порядка.
Типичный пример диполя — два заряда, равных по величине и противоположных по знаку, находящихся друг от друга на расстоянии, очень малом по сравнению с расстоянием до точки наблюдения. Поле такой системы полностью описывается дипольным приближением.
Содержание
Дипольный момент системы
Электрический диполь
Электрический диполь — идеализированная электронейтральная система, состоящая из точечных и равных по абсолютной величине положительного и отрицательного электрических зарядов.
Другими словами, электрический диполь представляет собой совокупность двух равных по абсолютной величине разноимённых точечных зарядов, находящихся на некотором расстоянии друг от друга
Произведение вектора <math>\vec l,</math> проведённого от отрицательного заряда к положительному, на абсолютную величину зарядов <math>q\,,</math> называется дипольным моментом: <math>\vec d=q\vec l.</math>
Во внешнем электрическом поле <math>\vec E</math> на электрический диполь действует момент сил <math>{\vec d}\times{\vec E},</math> который стремится повернуть его так, чтобы дипольный момент развернулся вдоль направления поля.
Потенциальная энергия электрического диполя в (постоянном) электрическом поле равна <math>-{\vec E}\cdot{\vec d}.</math> (В случае неоднородного поля это означает зависимость не только от момента диполя - его величины и направления, но и от места, точки нахождения диполя).
Вдали от электрического диполя напряжённость его электрического поля убывает с расстоянием <math>R</math> как <math>R^{-3},</math> то есть быстрее, чем у точечного заряда (<math>E \sim R^{-2}</math>).
Любая в целом электронейтральная система, содержащая электрические заряды, в некотором приближении (то есть собственно в дипольном приближении) может рассматриваться как электрический диполь с моментом <math>\vec d = \sum_i q_i {\vec r}_i,</math> где <math>q_i</math> — заряд <math>i</math>-го элемента, <math>{\vec r}_i</math> — его радиус-вектор. При этом дипольное приближение будет корректным, если расстояние, на котором изучается электрическое поле системы, велико по сравнению с её характерными размерами.
Магнитный диполь
Магнитный диполь — аналог электрического, который можно представить себе как систему двух «магнитных зарядов» (эта аналогия условна, так как магнитных зарядов, с точки зрения современной электродинамики, не существует). В качестве модели магнитного диполя можно рассматривать небольшую (по сравнению с расстояниями, на которых излучается генерируемое диполем магнитное поле) плоскую замкнутую проводящую рамку площади <math>S\,,</math> по которой течёт ток <math>I\,.</math> При этом магнитным моментом диполя (в системе СГСМ) называют величину <math>{\vec \mu} = I S {\vec n},</math> где <math>{\vec n}</math> — единичный вектор, направленный перпендикулярно плоскости рамки в том направлении, при наблюдении в котором ток в рамке представляется текущим по часовой стрелке.
Выражения для вращающего момента <math>\vec M</math>, действующего со стороны магнитного поля на магнитный диполь, и потенциальной энергии постоянного магнитного <math>U</math>диполя в магнитном поле, аналогичны соответствующим формулам для взаимодействия электрического диполя с электрическим полем, только входят туда магнитный момент <math>\vec m</math> и вектор магнитной индукции <math>\vec B</math>:
- <math>\vec M = \vec m \times \vec B,</math>
- <math>U = - \vec m \cdot \vec B.</math>
Поле колеблющегося диполя
В этом разделе рассматривается поле, создаваемое точечным электрическим диполем <math>\mathbf{d}(t),</math> находящимся в заданной точке пространства.
Поле на близких расстояниях (ближняя зона)
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 2 марта 2016 года. |
Поле точечного диполя, колеблющегося в вакууме, имеет вид
- <math>\mathbf{E} = \frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \mathbf{d})-\mathbf{d}}{R^3} +
\frac{3 \mathbf{n} (\mathbf{n}, \dot{\mathbf{d}}) - \dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{ \mathbf{n} (\mathbf{n}, \ddot{\mathbf{d}}) - \ddot{\mathbf{d}}}{c^2 R}</math>
- <math>\mathbf{B} = \left[\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c R^2} + \frac{\ddot{\mathbf{d}}}{R c^2} , \mathbf{n} \right] =
\left[\mathbf{n} , \mathbf{E} + \frac{\mathbf{d}}{R^3}\right],</math>
где <math>\mathbf{n} = \frac{\mathbf{R}}{R}</math> — единичный вектор в рассматриваемом направлении, <math>c</math> — скорость света.
Этим выражениям можно придать несколько другую форму, если ввести вектор Герца
- <math>\mathbf{Z} = - \frac{1}{R} \cdot \mathbf{d}\left(t-\frac{R}{c}\right).</math>
Напомним, что диполь покоится в начале координат, так что <math>\mathbf{d}</math> является функцией одной переменной. Тогда
- <math>\mathbf{E} = - \operatorname{rot}\,\operatorname{rot}\,\mathbf{Z},</math>
- <math>\mathbf{B} = - \frac{1}{c}\operatorname{rot}\,\dot{\mathbf{Z}}.</math>
При этом потенциалы поля можно выбрать в виде
- <math>\mathbf{A} = - \frac{\dot{\mathbf{Z}}}{c}, ~~ \phi = \operatorname{div}\,\mathbf{Z}.</math>
Указанные формулы можно применять всегда, когда применимо дипольное приближение.
Дипольное излучение (излучение в волновой зоне или дальней зоне)
<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение |
В этом разделе не хватает ссылок на источники информации. Информация должна быть проверяема, иначе она может быть поставлена под сомнение и удалена.
Вы можете отредактировать эту статью, добавив ссылки на авторитетные источники. Эта отметка установлена 2 марта 2016 года. |
Приведённые формулы существенно упрощаются, если размеры системы много меньше длины излучаемой волны, то есть скорости зарядов много меньше c, а поле рассматривается на расстояниях много больших, чем длина волны. Такую область поля называют волновой зоной. Распространяющуюся волну можно в этой области считать практически плоской. Из всех членов в выражениях для <math>\mathbf{E}</math> и <math>\mathbf{B}</math> существенными оказываются только члены, содержащие вторые производные от <math>\mathbf{d},</math> так как
- <math>\frac{\dot{\mathbf{d}}}{c} \approx \frac{d}{\lambda},</math>
- <math>\frac{\ddot{\mathbf{d}}}{c^2} \approx \frac{d}{\lambda^2}.</math>
Выражения для полей в системе СГС принимают вид
- <math>\mathbf{H} = \frac{1}{c^2 R}[\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}], ~~ \mathbf{H} = [\mathbf{n} , \mathbf{E}],</math>
- <math>\mathbf{E} = \frac{1}{c^2 R}\left[ [\ddot{\mathbf{d}},\mathbf{n}] , \mathbf{n} \right], ~~ \mathbf{E} = [\mathbf{B} , \mathbf{n}].</math>
В плоской волне интенсивность излучения в телесный угол <math>d\Omega</math> равна
- <math>dI = c \frac{H^2}{4\pi}R^2 d\Omega,</math>
поэтому для дипольного излучения
- <math>dI = \frac{1}{4 \pi c^3}[\ddot{\mathbf{d}}, \mathbf{n}]^2 d\Omega
= \frac{\ddot{\mathbf{d}}^2}{4\pi c^3}\sin^2{\theta} d\Omega.</math>
где <math>\theta</math> — угол между векторами <math>\ddot{\mathbf{d}}</math> и <math>\mathbf{n}.</math> Найдём полную излучаемую энергию. Учитывая, что <math>d\Omega = 2\pi\, \sin{\theta}\, d\theta,</math> проинтегрируем выражение по <math>d\theta</math> от <math>0</math> до <math>\pi.</math> Полное излучение равно
- <math>I = \frac{2}{3 c^3} {\ddot{\mathbf{d}}}^2.</math>
Укажем спектральный состав излучения. Он получается заменой вектора <math>\ddot{\mathbf{d}}</math> на его Фурье-компоненту и одновременным умножением выражения на 2. Таким образом,
- <math>d \mathcal{E}_\omega = \frac{4 \omega^4}{3 c^3} \left| \mathbf{d}_\omega \right|^2 \frac{d\omega}{2\pi}.</math>
См. также
Напишите отзыв о статье "Диполь (электродинамика)"
Примечания
- ↑ Для случая электростатики, магнитостатики итп это означает сохранение в потенциале членов соси степенями радиус-вектора от диполя к точке наблюдения -1 и -2; в случае же чисто дипольного поля (когда система источников имеет нулевой суммарный заряд) только степени -2.
Литература
- Ландау, Л. Д., Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
- Ахманов С. А., Никитин С. Ю., «Физическая оптика», 2004.
Отрывок, характеризующий Диполь (электродинамика)
– Тое кое, малый, – передразнивали мужиков. – Страсть не любят.Пьер замечал, как после каждого попавшего ядра, после каждой потери все более и более разгоралось общее оживление.
Как из придвигающейся грозовой тучи, чаще и чаще, светлее и светлее вспыхивали на лицах всех этих людей (как бы в отпор совершающегося) молнии скрытого, разгорающегося огня.
Пьер не смотрел вперед на поле сражения и не интересовался знать о том, что там делалось: он весь был поглощен в созерцание этого, все более и более разгорающегося огня, который точно так же (он чувствовал) разгорался и в его душе.
В десять часов пехотные солдаты, бывшие впереди батареи в кустах и по речке Каменке, отступили. С батареи видно было, как они пробегали назад мимо нее, неся на ружьях раненых. Какой то генерал со свитой вошел на курган и, поговорив с полковником, сердито посмотрев на Пьера, сошел опять вниз, приказав прикрытию пехоты, стоявшему позади батареи, лечь, чтобы менее подвергаться выстрелам. Вслед за этим в рядах пехоты, правее батареи, послышался барабан, командные крики, и с батареи видно было, как ряды пехоты двинулись вперед.
Пьер смотрел через вал. Одно лицо особенно бросилось ему в глаза. Это был офицер, который с бледным молодым лицом шел задом, неся опущенную шпагу, и беспокойно оглядывался.
Ряды пехотных солдат скрылись в дыму, послышался их протяжный крик и частая стрельба ружей. Через несколько минут толпы раненых и носилок прошли оттуда. На батарею еще чаще стали попадать снаряды. Несколько человек лежали неубранные. Около пушек хлопотливее и оживленнее двигались солдаты. Никто уже не обращал внимания на Пьера. Раза два на него сердито крикнули за то, что он был на дороге. Старший офицер, с нахмуренным лицом, большими, быстрыми шагами переходил от одного орудия к другому. Молоденький офицерик, еще больше разрумянившись, еще старательнее командовал солдатами. Солдаты подавали заряды, поворачивались, заряжали и делали свое дело с напряженным щегольством. Они на ходу подпрыгивали, как на пружинах.
Грозовая туча надвинулась, и ярко во всех лицах горел тот огонь, за разгоранием которого следил Пьер. Он стоял подле старшего офицера. Молоденький офицерик подбежал, с рукой к киверу, к старшему.
– Имею честь доложить, господин полковник, зарядов имеется только восемь, прикажете ли продолжать огонь? – спросил он.
– Картечь! – не отвечая, крикнул старший офицер, смотревший через вал.
Вдруг что то случилось; офицерик ахнул и, свернувшись, сел на землю, как на лету подстреленная птица. Все сделалось странно, неясно и пасмурно в глазах Пьера.
Одно за другим свистели ядра и бились в бруствер, в солдат, в пушки. Пьер, прежде не слыхавший этих звуков, теперь только слышал одни эти звуки. Сбоку батареи, справа, с криком «ура» бежали солдаты не вперед, а назад, как показалось Пьеру.
Ядро ударило в самый край вала, перед которым стоял Пьер, ссыпало землю, и в глазах его мелькнул черный мячик, и в то же мгновенье шлепнуло во что то. Ополченцы, вошедшие было на батарею, побежали назад.
– Все картечью! – кричал офицер.
Унтер офицер подбежал к старшему офицеру и испуганным шепотом (как за обедом докладывает дворецкий хозяину, что нет больше требуемого вина) сказал, что зарядов больше не было.
– Разбойники, что делают! – закричал офицер, оборачиваясь к Пьеру. Лицо старшего офицера было красно и потно, нахмуренные глаза блестели. – Беги к резервам, приводи ящики! – крикнул он, сердито обходя взглядом Пьера и обращаясь к своему солдату.
– Я пойду, – сказал Пьер. Офицер, не отвечая ему, большими шагами пошел в другую сторону.
– Не стрелять… Выжидай! – кричал он.
Солдат, которому приказано было идти за зарядами, столкнулся с Пьером.
– Эх, барин, не место тебе тут, – сказал он и побежал вниз. Пьер побежал за солдатом, обходя то место, на котором сидел молоденький офицерик.
Одно, другое, третье ядро пролетало над ним, ударялось впереди, с боков, сзади. Пьер сбежал вниз. «Куда я?» – вдруг вспомнил он, уже подбегая к зеленым ящикам. Он остановился в нерешительности, идти ему назад или вперед. Вдруг страшный толчок откинул его назад, на землю. В то же мгновенье блеск большого огня осветил его, и в то же мгновенье раздался оглушающий, зазвеневший в ушах гром, треск и свист.
Пьер, очнувшись, сидел на заду, опираясь руками о землю; ящика, около которого он был, не было; только валялись зеленые обожженные доски и тряпки на выжженной траве, и лошадь, трепля обломками оглобель, проскакала от него, а другая, так же как и сам Пьер, лежала на земле и пронзительно, протяжно визжала.
Пьер, не помня себя от страха, вскочил и побежал назад на батарею, как на единственное убежище от всех ужасов, окружавших его.
В то время как Пьер входил в окоп, он заметил, что на батарее выстрелов не слышно было, но какие то люди что то делали там. Пьер не успел понять того, какие это были люди. Он увидел старшего полковника, задом к нему лежащего на валу, как будто рассматривающего что то внизу, и видел одного, замеченного им, солдата, который, прорываясь вперед от людей, державших его за руку, кричал: «Братцы!» – и видел еще что то странное.
Но он не успел еще сообразить того, что полковник был убит, что кричавший «братцы!» был пленный, что в глазах его был заколон штыком в спину другой солдат. Едва он вбежал в окоп, как худощавый, желтый, с потным лицом человек в синем мундире, со шпагой в руке, набежал на него, крича что то. Пьер, инстинктивно обороняясь от толчка, так как они, не видав, разбежались друг против друга, выставил руки и схватил этого человека (это был французский офицер) одной рукой за плечо, другой за гордо. Офицер, выпустив шпагу, схватил Пьера за шиворот.
Несколько секунд они оба испуганными глазами смотрели на чуждые друг другу лица, и оба были в недоумении о том, что они сделали и что им делать. «Я ли взят в плен или он взят в плен мною? – думал каждый из них. Но, очевидно, французский офицер более склонялся к мысли, что в плен взят он, потому что сильная рука Пьера, движимая невольным страхом, все крепче и крепче сжимала его горло. Француз что то хотел сказать, как вдруг над самой головой их низко и страшно просвистело ядро, и Пьеру показалось, что голова французского офицера оторвана: так быстро он согнул ее.
Пьер тоже нагнул голову и отпустил руки. Не думая более о том, кто кого взял в плен, француз побежал назад на батарею, а Пьер под гору, спотыкаясь на убитых и раненых, которые, казалось ему, ловят его за ноги. Но не успел он сойти вниз, как навстречу ему показались плотные толпы бегущих русских солдат, которые, падая, спотыкаясь и крича, весело и бурно бежали на батарею. (Это была та атака, которую себе приписывал Ермолов, говоря, что только его храбрости и счастью возможно было сделать этот подвиг, и та атака, в которой он будто бы кидал на курган Георгиевские кресты, бывшие у него в кармане.)
Французы, занявшие батарею, побежали. Наши войска с криками «ура» так далеко за батарею прогнали французов, что трудно было остановить их.
С батареи свезли пленных, в том числе раненого французского генерала, которого окружили офицеры. Толпы раненых, знакомых и незнакомых Пьеру, русских и французов, с изуродованными страданием лицами, шли, ползли и на носилках неслись с батареи. Пьер вошел на курган, где он провел более часа времени, и из того семейного кружка, который принял его к себе, он не нашел никого. Много было тут мертвых, незнакомых ему. Но некоторых он узнал. Молоденький офицерик сидел, все так же свернувшись, у края вала, в луже крови. Краснорожий солдат еще дергался, но его не убирали.
