Уравнение движения

Поделись знанием:
Перейти к: навигация, поиск

Уравне́ние движе́ния (уравнения движения) — уравнение или система уравнений, задающие закон эволюции механической или динамической системы (например, поля) во времени и пространстве[1].

Эволюция физической системы однозначно определяется уравнениями движения и начальными условиями.





Введение

В уравнении движения динамической системы входит полный набор переменных, определяющий состояние этой системы (например, все координаты и скорости, или все координаты и импульсы), а также их производные по времени, что позволяет, зная такой набор в некий момент времени, вычислить его для момента времени, отстоящего на малый (бесконечно малый) промежуток времени. В принципе, повторяя этот процесс вычисления последовательно большое (бесконечное) количество раз, можно вычислить значение всех этих переменных для момента времени, как угодно далеко[2] отстоящего от начального. С помощью такого процесса можно (выбрав <math>\Delta t</math> достаточно малым, но конечным) получить приближённое численное решение уравнений движения. Однако чтобы получить точное[3] решение, приходится применять другие математические методы.

В современной квантовой теории термин уравнение движения нередко используется для обозначения именно только классических уравнений движения, то есть как раз для различения классического и квантового случая. В таком употреблении, например, слова «решение уравнений движения» означают именно классическое (неквантовое) приближение, которое может затем так или иначе использоваться при получении квантового результата или для сравнения с ним. В этом смысле уравнения эволюции волновой функции не называют уравнениями движения, например упомянутые ниже уравнение Шредингера и уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона. Определённую ясность тут вносит дополнение, указывающее на то, об уравнении движения чего идёт речь: так, хотя уравнение Дирака нельзя назвать уравнением движения электрона, его можно, даже в смысле, обсуждаемом в этом абзаце, назвать классическим уравнением движения спинорного поля.

Примеры

Простой механический пример

Рассмотрим в рамках ньютоновской механики точечную частицу, способную перемещаться лишь по одной прямой (например, бусину, скользящую по гладкой спице). Будем описывать положение частицы на прямой единственным числом — координатой — x. Пусть на эту частицу действует (например, со стороны некоторой пружины) сила f, зависящая от положения частицы по закону Гука, то есть, выбрав удобное начало отсчёта x, можем записать f = — k x. В таком случае, учитывая второй закон Ньютона и кинематические соотношения, обозначив скорость как v, будем иметь следующие уравнения движения для нашей системы:

<math>dv/dt = - (k/m) x</math>
<math>dx/dt = v </math>,

или, исключая v из системы:

<math>d^2 x/d t^2 = - (k/m) x</math>

Подставив начальную координату и скорость в правые части этих уравнений, и заменив бесконечно малое dt на малое, но конечное, <math>\delta t</math>, и переписав приближённо в соответствии с этим уравнения в первой форме — в виде величина(<math>t+\delta t</math>) = величина(t) + производная·<math>\delta t</math>, получим:

<math>v(t+\delta t) = v(t) - (k/m) x(t) \delta t </math>
<math>x(t+\delta t) = x(t) + v(t) \delta t </math>,

и, переходя от предыдущего момента к следующему (каждый раз время растёт на <math>\delta t</math>), можем получить численное решение этих уравнений движения в виде таблицы <math>{x(0),v(0); x(\delta t),v(\delta t); x(2\delta t),v(2\delta t); \dots; x(n\delta t),v(n\delta t);}</math>, приближенно представляющей зависимость x(t) и v(t) от времени (с шагом <math>\delta t</math>). Можно увидеть, что, если <math>\delta t</math> было выбрано достаточно малым, что x(t) и v(t) очень близко совпадают с функцией <math>const \cdot \cos(\sqrt{k/m}\cdot t + const')</math>.

Использовав для догадки это приближённое решение или какие-то другие соображения, можем, если мы уже подозреваем, каким должно быть решение, просто подставить

<math>x = A \cos(\omega t + \phi)</math>,

где <math>A, \omega, \phi</math> — просто постоянные, в точные уравнения движения, взяв нужные производные по времени от этого выражения. При этом мы сможем убедиться, что нетрудно подобрать конкретные значения <math>A, \omega, \phi</math>, чтобы равенство при этой подстановке выполнялось, а также найти необходимые для этого значения <math>A, \omega, \phi</math> (оказывается, <math>A</math> и <math>\phi</math> могут быть любыми, а <math>\omega = \sqrt{k/m}</math>. Мы получили таким образом точное решение уравнений движения, да ещё и общее точное решение (то есть подходящее для любых начальных условий, в чём нетрудно убедиться).

Теперь, имея это общее точное решение, мы можем выбрать из множества общих решений (с разными <math>A</math> и <math>\phi</math>) частное решение, удовлетворяющее конкретным начальным условиям. Так мы решим задачу для заданного уравнения движения и начальных условий.

Так иллюстрируется понятие уравнения движения (уравнений движения) и их решения на конкретном простом примере.

Примеры уравнений движения в разных областях физики

Напишите отзыв о статье "Уравнение движения"

Примечания

  1. ↑ Когда говорят об уравнениях движения в общеупотребительном смысле, подразумеваются дифференциальные или интегро-дифференциальные уравнения (хотя некоторые другие типы уравнений, например разностные — для дискретных систем — могут представлять собой достаточно близкую аналогию).
  2. ↑ Слова «в принципе… как угодно далеко» означают, что это верно вообще говоря лишь для математической модели (которая всегда лишь с некоторой погрешностью описывает физическую реальность), при этом с абсолютно точно заданными начальными данными; в реальности корректность предсказания состояния системы с помощью уравнений движения на длительный срок вперед определяется погрешностями записи самих уравнений (по сравнению с описываемой ими реальностью), погрешностью задания начальных данных и устойчивостью решений данного конкретного вида уравнений; тем не менее в ряде случаев (хотя и далеко не во всех) на практике предсказание с помощью уравнений движения бывает весьма точным на достаточно больших временных промежутках (как например в небесной механике) или хотя бы удовлетворительным.
  3. ↑ Под точным решением, конечно, подразумевается «точное в рамках математической модели», то есть не рассматривая погрешность в написании самих уравнений; могло бы показаться, что получением точных решений незачем заботиться, раз уже и сами уравнения не абсолютно точно отражают физическую реальность, однако, не говоря уж о том, что зачастую погрешность модели достаточно мала и точные в математическом смысле решения, достаточно точны тогда и в физическом, точные решения обладают как правило еще одним преимуществом: они записываются в виде формул в такой форме, которая позволят гораздо удобнее их использовать в дальнейших вычислениях и анализе, что важно и для практики и для теоретического осмысления, ведь одно точное решение с несколькими параметрами представляет собой запись бесконечного семейства единичных решений.

Ссылки

  • [www.physics-lab.net/applets/equations-of-motion Equations of Motion Applet]


<imagemap>: неверное или отсутствующее изображение

 Для улучшения этой статьи по физике желательно?:
Система отсчёта
Материальная точка
Физическое тело
Сплошная среда
Связанные понятия

Отрывок, характеризующий Уравнение движения

Бледный, с трясущейся губой, Пьер рванул лист. – Вы… вы… негодяй!.. я вас вызываю, – проговорил он, и двинув стул, встал из за стола. В ту самую секунду, как Пьер сделал это и произнес эти слова, он почувствовал, что вопрос о виновности его жены, мучивший его эти последние сутки, был окончательно и несомненно решен утвердительно. Он ненавидел ее и навсегда был разорван с нею. Несмотря на просьбы Денисова, чтобы Ростов не вмешивался в это дело, Ростов согласился быть секундантом Долохова, и после стола переговорил с Несвицким, секундантом Безухова, об условиях дуэли. Пьер уехал домой, а Ростов с Долоховым и Денисовым до позднего вечера просидели в клубе, слушая цыган и песенников.
– Так до завтра, в Сокольниках, – сказал Долохов, прощаясь с Ростовым на крыльце клуба.
– И ты спокоен? – спросил Ростов…
Долохов остановился. – Вот видишь ли, я тебе в двух словах открою всю тайну дуэли. Ежели ты идешь на дуэль и пишешь завещания да нежные письма родителям, ежели ты думаешь о том, что тебя могут убить, ты – дурак и наверно пропал; а ты иди с твердым намерением его убить, как можно поскорее и повернее, тогда всё исправно. Как мне говаривал наш костромской медвежатник: медведя то, говорит, как не бояться? да как увидишь его, и страх прошел, как бы только не ушел! Ну так то и я. A demain, mon cher! [До завтра, мой милый!]
На другой день, в 8 часов утра, Пьер с Несвицким приехали в Сокольницкий лес и нашли там уже Долохова, Денисова и Ростова. Пьер имел вид человека, занятого какими то соображениями, вовсе не касающимися до предстоящего дела. Осунувшееся лицо его было желто. Он видимо не спал ту ночь. Он рассеянно оглядывался вокруг себя и морщился, как будто от яркого солнца. Два соображения исключительно занимали его: виновность его жены, в которой после бессонной ночи уже не оставалось ни малейшего сомнения, и невинность Долохова, не имевшего никакой причины беречь честь чужого для него человека. «Может быть, я бы то же самое сделал бы на его месте, думал Пьер. Даже наверное я бы сделал то же самое; к чему же эта дуэль, это убийство? Или я убью его, или он попадет мне в голову, в локоть, в коленку. Уйти отсюда, бежать, зарыться куда нибудь», приходило ему в голову. Но именно в те минуты, когда ему приходили такие мысли. он с особенно спокойным и рассеянным видом, внушавшим уважение смотревшим на него, спрашивал: «Скоро ли, и готово ли?»
Когда всё было готово, сабли воткнуты в снег, означая барьер, до которого следовало сходиться, и пистолеты заряжены, Несвицкий подошел к Пьеру.
– Я бы не исполнил своей обязанности, граф, – сказал он робким голосом, – и не оправдал бы того доверия и чести, которые вы мне сделали, выбрав меня своим секундантом, ежели бы я в эту важную минуту, очень важную минуту, не сказал вам всю правду. Я полагаю, что дело это не имеет достаточно причин, и что не стоит того, чтобы за него проливать кровь… Вы были неправы, не совсем правы, вы погорячились…
– Ах да, ужасно глупо… – сказал Пьер.
– Так позвольте мне передать ваше сожаление, и я уверен, что наши противники согласятся принять ваше извинение, – сказал Несвицкий (так же как и другие участники дела и как и все в подобных делах, не веря еще, чтобы дело дошло до действительной дуэли). – Вы знаете, граф, гораздо благороднее сознать свою ошибку, чем довести дело до непоправимого. Обиды ни с одной стороны не было. Позвольте мне переговорить…
– Нет, об чем же говорить! – сказал Пьер, – всё равно… Так готово? – прибавил он. – Вы мне скажите только, как куда ходить, и стрелять куда? – сказал он, неестественно кротко улыбаясь. – Он взял в руки пистолет, стал расспрашивать о способе спуска, так как он до сих пор не держал в руках пистолета, в чем он не хотел сознаваться. – Ах да, вот так, я знаю, я забыл только, – говорил он.
– Никаких извинений, ничего решительно, – говорил Долохов Денисову, который с своей стороны тоже сделал попытку примирения, и тоже подошел к назначенному месту.
Место для поединка было выбрано шагах в 80 ти от дороги, на которой остались сани, на небольшой полянке соснового леса, покрытой истаявшим от стоявших последние дни оттепелей снегом. Противники стояли шагах в 40 ка друг от друга, у краев поляны. Секунданты, размеряя шаги, проложили, отпечатавшиеся по мокрому, глубокому снегу, следы от того места, где они стояли, до сабель Несвицкого и Денисова, означавших барьер и воткнутых в 10 ти шагах друг от друга. Оттепель и туман продолжались; за 40 шагов ничего не было видно. Минуты три всё было уже готово, и всё таки медлили начинать, все молчали.


– Ну, начинать! – сказал Долохов.
– Что же, – сказал Пьер, всё так же улыбаясь. – Становилось страшно. Очевидно было, что дело, начавшееся так легко, уже ничем не могло быть предотвращено, что оно шло само собою, уже независимо от воли людей, и должно было совершиться. Денисов первый вышел вперед до барьера и провозгласил:
– Так как п'отивники отказались от п'ими'ения, то не угодно ли начинать: взять пистолеты и по слову т'и начинать сходиться.
– Г…'аз! Два! Т'и!… – сердито прокричал Денисов и отошел в сторону. Оба пошли по протоптанным дорожкам всё ближе и ближе, в тумане узнавая друг друга. Противники имели право, сходясь до барьера, стрелять, когда кто захочет. Долохов шел медленно, не поднимая пистолета, вглядываясь своими светлыми, блестящими, голубыми глазами в лицо своего противника. Рот его, как и всегда, имел на себе подобие улыбки.
– Так когда хочу – могу стрелять! – сказал Пьер, при слове три быстрыми шагами пошел вперед, сбиваясь с протоптанной дорожки и шагая по цельному снегу. Пьер держал пистолет, вытянув вперед правую руку, видимо боясь как бы из этого пистолета не убить самого себя. Левую руку он старательно отставлял назад, потому что ему хотелось поддержать ею правую руку, а он знал, что этого нельзя было. Пройдя шагов шесть и сбившись с дорожки в снег, Пьер оглянулся под ноги, опять быстро взглянул на Долохова, и потянув пальцем, как его учили, выстрелил. Никак не ожидая такого сильного звука, Пьер вздрогнул от своего выстрела, потом улыбнулся сам своему впечатлению и остановился. Дым, особенно густой от тумана, помешал ему видеть в первое мгновение; но другого выстрела, которого он ждал, не последовало. Только слышны были торопливые шаги Долохова, и из за дыма показалась его фигура. Одной рукой он держался за левый бок, другой сжимал опущенный пистолет. Лицо его было бледно. Ростов подбежал и что то сказал ему.
– Не…е…т, – проговорил сквозь зубы Долохов, – нет, не кончено, – и сделав еще несколько падающих, ковыляющих шагов до самой сабли, упал на снег подле нее. Левая рука его была в крови, он обтер ее о сюртук и оперся ею. Лицо его было бледно, нахмуренно и дрожало.
– Пожалу… – начал Долохов, но не мог сразу выговорить… – пожалуйте, договорил он с усилием. Пьер, едва удерживая рыдания, побежал к Долохову, и хотел уже перейти пространство, отделяющее барьеры, как Долохов крикнул: – к барьеру! – и Пьер, поняв в чем дело, остановился у своей сабли. Только 10 шагов разделяло их. Долохов опустился головой к снегу, жадно укусил снег, опять поднял голову, поправился, подобрал ноги и сел, отыскивая прочный центр тяжести. Он глотал холодный снег и сосал его; губы его дрожали, но всё улыбаясь; глаза блестели усилием и злобой последних собранных сил. Он поднял пистолет и стал целиться.
– Боком, закройтесь пистолетом, – проговорил Несвицкий.


Источник — «http://wiki-org.ru/wiki/index.php?title=Уравнение_движения&oldid=79197124»