Ячейки Бенара
| Механика сплошных сред | ||||||||||
| ||||||||||
| Сплошная среда | ||||||||||
| ||||||||||
| См. также: Портал:Физика |
Ячейки Бенара или Рэлея — Бенара — возникновение упорядоченности в виде конвективных ячеек в форме цилиндрических валов или правильных шестигранных структур в слое вязкой жидкости с вертикальным градиентом температуры, то есть равномерно подогреваемой снизу.
Ячейки Рэлея — Бенара являются одним из трёх стандартных примеров самоорганизации, наряду с лазером и реакцией Белоусова — Жаботинского.
Управляющим параметром самоорганизации служит градиент температуры. Вследствие подогрева в первоначально однородном слое жидкости начинается диффузия из-за возникшей неоднородности плотности. При преодолении некоторого критического значения градиента, диффузия не успевает привести к однородному распределению температуры по объёму. Возникают цилиндрические валы, вращающиеся навстречу друг другу (как сцепленные шестерёнки)[1]. При увеличении градиента температуры возникает второй критический переход. Для ускорения диффузии каждый вал распадается на два вала меньшего размера. При дальнейшем увеличении управляющего параметра валы дробятся и в пределе возникает турбулентный хаос, что отчетливо видно на бифуркационной диаграмме или дереве Фейгенбаума.
В тонком слое при подогреве снизу образуются ячейки правильной гексагональной формы, внутри которых жидкость поднимается по центру и опускается по граням ячейки[2]. Такая постановка эксперимента исторически была первой, однако здесь на самом деле наблюдается конвекция Марангони, возникающая за счёт действия сил поверхностного натяжения и зависимости их от температуры жидкости.
Содержание
Аналитическое решение задачи (задача Рэлея)
Важным в задаче о конвекции в плоском слое является тот факт, что для записи её в приближении Буссинеска возможно получить точное аналитическое решение уравнений гидродинамики. Правда, простое точное решение удаётся найти лишь при абстрактной постановке с двумя свободными недеформируемыми границами слоя (как сверху, так и снизу), более реалистичные варианты таких решений не имеют (но для них хорошо работают приближённые аналитические методы, например метод Галёркина).
Приведём здесь решение задачи[3],[4]. Примем, что ось z направлена вверх, перпендикулярно слою, оси x и y параллельны границе. Начало координат удобно выбрать на нижней границе слоя. Исходные уравнения конвекции:
<math> \frac{\partial \vec{v} }{\partial t} + (\vec v \cdot \nabla)\vec v = - \frac{1}{\rho_0} \nabla p + \nu \Delta \vec v - \beta T \vec g, </math>
<math> \frac{\partial T}{\partial t} + \vec v \cdot \nabla T = \chi \Delta T, </math>
<math> \operatorname{div} \vec v = 0. </math>
Безразмерная форма уравнений конвекции для малых возмущений равновесия, в предположении экспоненциального роста возмущений во времени (т. н. «Нормальные» возмущения) — <math>\vec v, \theta \sim e^{\lambda t}</math>:
<math> \frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z, </math>
<math> \lambda \theta = \Delta \theta + \vec v \cdot \vec e_z, </math>
<math> \operatorname{div} \vec v = 0, </math>
где <math>\vec e_z</math> — единичный вектор оси z, <math>Pr, Ra</math> — соответственно число Прандтля и число Рэлея, <math>\lambda</math> — инкремент (скорость роста) возмущений. После обезразмеривания переменная z изменяется от 0 до 1. Т. н. «Нормальные» возмущения являются частными решениями линейной системы дифференциальных уравнений, и поэтому находят широкое применение при исследовании задач в самых различных областях.
Постановка граничных условий производится в предположении, что обе границы недеформируемые, но свободные — при этом отсутствуют касательные напряжения в жидкости. Граничные условия:
<math>\vec v \cdot \vec e_z = 0</math>, — недеформируемость границ.
<math>\sigma_{xz} = \sigma_{yz} = 0</math>, — отсутствие касательных напряжений. Так как считаем, что работаем с жидкостью, для которой справедливо уравнение Навье — Стокса, то можем явно записать вид тензора вязких напряжений и получить граничные условия для компонент скорости.
<math>\sigma_{ij}=\eta \left( \frac{\partial v_i}{\partial x_j} + \frac{\partial v_j}{\partial x_i} \right)</math> — закон Навье,
Принимая обозначения для компонент скорости: <math>\vec v = \left\{ u,v,w \right\}</math>, перепишем гран.условие для касательных напряжений в терминах скорости:
<math> \frac{ \partial u}{ \partial z} = 0, </math>
<math> \frac{ \partial v}{ \partial z} = 0 </math>.
Для возмущений температуры на границе принимается нулевое значение. В итоге, система гран.условий задачи такова:
<math>z=0,1:</math>
<math>w=0; \frac{\partial u}{\partial z} = \frac{\partial v}{\partial z} = 0; \theta = 0</math>
Теперь, предполагая возмущения нормальными по пространству — <math> \vec v, p, \theta \sim e^{\lambda t} e^{i \vec k \cdot \vec r} </math> (здесь <math>\vec k </math> — волновой вектор возмущения, параллельный плоскости <math>xy</math>) и заменяя операторы дифференцирования — <math>\Delta = \frac{\partial^2}{\partial z^2} - k^2, \nabla = \left\{ i \vec k; \frac{\partial}{\partial z} \right\}</math>, можем переписать систему уравнений конвекции в виде системы ОДУ:
<math> \frac{ \lambda }{Pr} \vec v = - \nabla p + \Delta \vec v + Ra \theta \vec e_z, </math>
<math> \lambda \theta = \Delta \theta + w, </math>
<math> \operatorname{div} \vec v = 0. </math>
Взяв двойной ротор от первого уравнения и спроектировав его на ось z, получим окончательную систему уравнений для возмущений:
<math> \frac{\lambda}{Pr} \Delta w = \Delta^2 w + k^2 Ra \theta, </math>
<math> \lambda \theta = \Delta \theta + w. </math>
Исходя из граничных условий, а также из того, что все производные в системе чётного порядка, удобно представить решение в виде тригонометрических функций:
<math> w = a \sin n \pi z, </math>
<math> \theta = b \sin n \pi z, </math>
где n — целое число. Решение в виде синусов удовлетворяет сразу всем граничным условиям.
Далее, обозначая <math>D = n^2 \pi^2 + k^2</math>, и подставляя предполагаемый вид решения в уравнения, получим линейную однородную алгебраическую систему для a, b. Из её определителя можно выразить зависимость <math>Ra(\lambda)</math>:
<math>Ra(\lambda) = \frac{1}{Pr k^2} \left( D \lambda^2 + D^2 (1 + Pr) \lambda + Pr D^3 \right)</math>
Полагая здесь <math>\lambda = 0</math> — граница монотонной устойчивости, невозрастание нормальных возмущений — получим формулу для определения критического числа Рэлея n-ой моды возмущений:
<math>Ra^* = \frac{(k^2 + n^2 \pi^2)^3}{k^2}.</math>
Наименьшее число Рэлея получится при <math>n=1</math>. Минимум зависимости, как несложно убедиться, приходится на <math>k = \frac{\pi}{\sqrt{2}} </math>, а само минимальное число Рэлея равно <math>Ra^* = \frac{27}{4} \pi^4 \approx 657</math>. В соответствии с критическим волновым числом в слое возникают структуры в виде валов ширины <math>\sqrt{2}</math> (в безразмерных единицах).
Для задач с другими вариантами границ критическое число Рэлея оказывается выше. К примеру, для слоя с двумя твёрдыми границами оно равно 1708[5], для слоя с твёрдой верхней и свободной нижней границами — 1156, меняются и критические волновые числа. Однако качественно картина конвективных валов не изменяется.
См. также
Примечания
- ↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 84, рис. 139—140
- ↑ Ван-Дайк М. Альбом течений жидкости и газа, М.: Мир, 1986 — c. 85, рис. 140—141
- ↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости. // М.: Наука, 1972 — § 5
- ↑ Фрик П. Г. Турбулентность: методы и подходы. Курс лекций, ч.1 // Пермь: Пермский гос. техн. ун-т., 1998 — с. 33-37
- ↑ Гершуни Г. З., Жуховицкий Е. М., там же, § 6
Литература
- L.E.Scriven & C.V.Sternling «Эффекты Марангони»
