Дисперсия волн

Диспе́рсия волн — в теории волн различие фазовых скоростей линейных волн в зависимости от их частоты. Дисперсия волн приводит к тому, что волновое возмущение произвольной негармонической формы претерпевает изменения (диспергирует) по мере его распространения.

Иногда под дисперсией волны понимают процесс разложения широкополосного сигнала в спектр, например, при помощи дифракционных решёток.

История

Термин дисперсия (лат. dispergo — рассеивать, развеивать, разгонять) был впервые использован в физике Исааком Ньютоном в 1672 году по отношению к дисперсии света. Ньютон наблюдал эффект разложения белого света в спектр при его преломлении на границе двух сред. Развитая Ньютоном волновая теория света объяснила этот эффект тем, что волны разной длины (частоты) имеют разные скорости в среде, а потому преломляются под разными углами. Впоследствии было показано, что тем же объясняется расплывание импульсов, различие фазовой и групповой скорости, неравномерное движение волновых фронтов и т. д.

Математическое описание

Как известно, в общем случае любая волна может быть математически разложена в Фурье-спектр, то есть представлена в виде суммы гармонических (монохроматических) волн вида

<math>A\exp(i\omega t - i\vec k\vec r)</math>

где <math>A</math> — комплексная амплитуда соответствующей гармоники, <math>\omega</math> — частота гармоники, <math>\vec k</math> — волновой вектор, <math>t</math> — время, <math>\vec r</math> — радиус-вектор данной точки.

Для описания дисперсии вводят так называемое дисперсионное уравнение, являющееся зависимостью частоты волны от её волнового вектора:

<math>\omega = \omega(\vec k).</math>

В изотропных средах модуль волнового вектора (называемый волновым числом <math>k = |\vec k|</math>) не зависит от направления распространения волны и дисперсионное уравнение выражает зависимость частоты от волнового числа <math>\omega = \omega(k).</math>

Зная дисперсионное уравнение, можно найти зависимость фазовой <math>v_p</math> и групповой <math>v_g</math> скоростей от частоты и длины волны. по определению:

<math>v_p = \frac{\omega}{k},</math>

<math>v_g = \frac{d\omega}{dk}.</math>

В классической оптике дисперсия называется нормальной, если фазовая скорость уменьшается с ростом частоты, и аномальной в обратном случае.

Физика явления

Дисперсия волн обычно связана или с наличием временного запаздывания в реакции среды на волновое возмущение (временна́я дисперсия), или с влиянием на данную точку пространства соседних точек (пространственная дисперсия). В ряде случаев, однако, невозможно провести однозначное разделение на пространственную и временную дисперсии. Конкретный физический механизм, приводящий к появлению дисперсии, зависит от конкретной ситуации.

Примеры

Примером диспергирующих волн могут служить волны на поверхности жидкости. Для достаточно длинных волн, называемых гравитационными, дисперсионное уравнение имеет вид <math>\omega^2 = gk</math>, где <math>g</math> — ускорение свободного падения. Для коротких волн, называемых капиллярными, дисперсионное соотношение имеет другой вид: <math>\omega^2 = k^3\sigma/\rho</math>, где <math>\sigma</math> — коэффициент поверхностного натяжения, <math>\rho</math> — плотность жидкости.

Модели дисперсии

Модель Друде::

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁·ω²+i·c₁·ω)+…+a_n/(b_n·ω²+i·c_n·ω);

Модель Дебая:

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω)+…+a_n/(b_n+i·c_n·ω);

Модель Лоренца::

ε(ω)= ε_h+a₁/(b₁+i·c₁·ω+в₁·ω²)+…+a_n/(b_n+i·c_n·ω+в_n·ω²),

где ε(ω) — диэлектрическая проницаемость материала, Ф/м; ε_h — диэлектрическая проницаемость материала на высоких частотах; a_i, b_i, c_i и d_i, i = 1,…,n — коэффициенты модели, зависящие от резонансных частот (длин волн) и величин резонанса.

См. также

• Дисперсия света
  • Аномальная дисперсия
  • Атмосферная дисперсия
• Закон дисперсии (дисперсионное уравнение)
• Показатель преломления
• Мера дисперсии
• Дисперсионные соотношения

Литература

• M. А. Миллер, Г. В. Пермитин. [www.femto.com.ua/articles/part_1/1047.html Дисперсия волн] // Физическая энциклопедия / Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов, Б. К. Вайнштейн, С. В. Вонсовский, А. В. Гапонов-Грехов, С. С. Герштейн, И. И. Гуревич, А. А. Гусев, М. А. Ельяшевич, М. Е. Жаботинский, Д. Н. Зубарев, Б. Б. Кадомцев, И. С. Шапиро, Д. В. Ширков; под общ. ред. А. М. Прохорова. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1. — 707 с. — 100 000 экз.

Отрывок, характеризующий Дисперсия волн

Из передней Берг плывущим, нетерпеливым шагом вбежал в гостиную и обнял графа, поцеловал ручки у Наташи и Сони и поспешно спросил о здоровье мамаши.
– Какое теперь здоровье? Ну, рассказывай же, – сказал граф, – что войска? Отступают или будет еще сраженье?
– Один предвечный бог, папаша, – сказал Берг, – может решить судьбы отечества. Армия горит духом геройства, и теперь вожди, так сказать, собрались на совещание. Что будет, неизвестно. Но я вам скажу вообще, папаша, такого геройского духа, истинно древнего мужества российских войск, которое они – оно, – поправился он, – показали или выказали в этой битве 26 числа, нет никаких слов достойных, чтоб их описать… Я вам скажу, папаша (он ударил себя в грудь так же, как ударял себя один рассказывавший при нем генерал, хотя несколько поздно, потому что ударить себя в грудь надо было при слове «российское войско»), – я вам скажу откровенно, что мы, начальники, не только не должны были подгонять солдат или что нибудь такое, но мы насилу могли удерживать эти, эти… да, мужественные и древние подвиги, – сказал он скороговоркой. – Генерал Барклай до Толли жертвовал жизнью своей везде впереди войска, я вам скажу. Наш же корпус был поставлен на скате горы. Можете себе представить! – И тут Берг рассказал все, что он запомнил, из разных слышанных за это время рассказов. Наташа, не спуская взгляда, который смущал Берга, как будто отыскивая на его лице решения какого то вопроса, смотрела на него.
– Такое геройство вообще, каковое выказали российские воины, нельзя представить и достойно восхвалить! – сказал Берг, оглядываясь на Наташу и как бы желая ее задобрить, улыбаясь ей в ответ на ее упорный взгляд… – «Россия не в Москве, она в сердцах се сынов!» Так, папаша? – сказал Берг.
В это время из диванной, с усталым и недовольным видом, вышла графиня. Берг поспешно вскочил, поцеловал ручку графини, осведомился о ее здоровье и, выражая свое сочувствие покачиваньем головы, остановился подле нее.
– Да, мамаша, я вам истинно скажу, тяжелые и грустные времена для всякого русского. Но зачем же так беспокоиться? Вы еще успеете уехать…
– Я не понимаю, что делают люди, – сказала графиня, обращаясь к мужу, – мне сейчас сказали, что еще ничего не готово. Ведь надо же кому нибудь распорядиться. Вот и пожалеешь о Митеньке. Это конца не будет?
Граф хотел что то сказать, но, видимо, воздержался. Он встал с своего стула и пошел к двери.
Берг в это время, как бы для того, чтобы высморкаться, достал платок и, глядя на узелок, задумался, грустно и значительно покачивая головой.
– А у меня к вам, папаша, большая просьба, – сказал он.
– Гм?.. – сказал граф, останавливаясь.
– Еду я сейчас мимо Юсупова дома, – смеясь, сказал Берг. – Управляющий мне знакомый, выбежал и просит, не купите ли что нибудь. Я зашел, знаете, из любопытства, и там одна шифоньерочка и туалет. Вы знаете, как Верушка этого желала и как мы спорили об этом. (Берг невольно перешел в тон радости о своей благоустроенности, когда он начал говорить про шифоньерку и туалет.) И такая прелесть! выдвигается и с аглицким секретом, знаете? А Верочке давно хотелось. Так мне хочется ей сюрприз сделать. Я видел у вас так много этих мужиков на дворе. Дайте мне одного, пожалуйста, я ему хорошенько заплачу и…
Граф сморщился и заперхал.
– У графини просите, а я не распоряжаюсь.
– Ежели затруднительно, пожалуйста, не надо, – сказал Берг. – Мне для Верушки только очень бы хотелось.
– Ах, убирайтесь вы все к черту, к черту, к черту и к черту!.. – закричал старый граф. – Голова кругом идет. – И он вышел из комнаты.
Графиня заплакала.
– Да, да, маменька, очень тяжелые времена! – сказал Берг.
Наташа вышла вместе с отцом и, как будто с трудом соображая что то, сначала пошла за ним, а потом побежала вниз.
На крыльце стоял Петя, занимавшийся вооружением людей, которые ехали из Москвы. На дворе все так же стояли заложенные подводы. Две из них были развязаны, и на одну из них влезал офицер, поддерживаемый денщиком.
– Ты знаешь за что? – спросил Петя Наташу (Наташа поняла, что Петя разумел: за что поссорились отец с матерью). Она не отвечала.
– За то, что папенька хотел отдать все подводы под ранепых, – сказал Петя. – Мне Васильич сказал. По моему…