Симплекс

Запрос «Симплекс» перенаправляется сюда; см. также другие значения.

Симплекс или n-мерный тетраэдр (от лат. simplex — простой) — геометрическая фигура, являющаяся n-мерным обобщением треугольника.

Определение

Симплекс (точнее, n-симплекс, где число n называется размерностью симплекса) — это выпуклая оболочка (n + 1) точек аффинного пространства (размерности n или больше), которые предполагаются аффинно независимыми (то есть не лежат в <math>(n-1)</math>-мерном подпространстве). Эти точки называются вершинами симплекса.

Связанные определения

• Симплекс называется правильным, если все его рёбра имеют одинаковую длину.

Стандартный симплекс

Стандартный n-симплекс — это подмножество <math>\mathbb{R}^{n+1}</math>, определяемое как:

<math>\Delta^n=\{(t_0,\dots, t_n)\mid {\left(\sum_{i=0}^n t_i = 1\right)} \wedge {(\forall i \; t_i\geqslant 0)} \}.</math>

Его вершинами являются точки:

e₀=(1, 0, …, 0),

e₁=(0, 1, …, 0),

…

e_n=(0, 0, …, 1).

Существует каноническое взаимно-однозначное отображение стандартного n-симплекса в любой другой n-симплекс с координатами вершин <math>(v_0, v_1,\dots, v_n)</math>:

<math>(t_0,\dots, t_n) \mapsto \sum_i t_i v_i.</math>

Значения t_i для данной точки называются её барицентрическими координатами.

Свойства

• n-мерный симплекс имеет <math>n+1</math> вершин, любые <math>k+1</math> из которых образуют k-мерную грань.
  • В частности, число k-мерных граней в n-симплексе равно биномиальному коэффициенту <math>\tbinom{n+1}{k+1}.</math>
  • В частности, число граней старшей размерности совпадает с количеством вершин и равно <math>n+1</math>.
• Ориентированный объём n-симплекса в n-мерном евклидовом пространстве можно определить по формуле:

  <math>V=\frac{1}{n!} \det(v_1-v_0, v_2-v_0, \dots, v_n-v_0)</math>

  • Определитель Кэли — Менгера позволяет вычислить объём симплекса, зная длины его рёбер:

    <math>V^2 = \frac{(-1)^{n-1}}{2^n (n!)^2} \begin{vmatrix}

0 & 1 & 1 & 1 & \dots & 1 \\ 1 & 0 & d_{01}^2 & d_{02}^2 & \dots & d_{0n}^2 \\ 1 & d_{10}^2 & 0 & d_{12}^2 & \dots & d_{1n}^2 \\ 1 & d_{20}^2 & d_{21}^2 & 0 & \dots & d_{2n}^2 \\ \vdots&\vdots&\vdots & \vdots & \ddots& \vdots \\ 1 & d_{n0}^2 & d_{n1}^2 & d_{n2}^2 & \dots & 0 \\ \end{vmatrix}</math>

где <math>d_{ij}=|v_i - v_j|</math> — расстояние между i-й и j-й вершинами, n — размерность пространства. Эта формула является обобщением формулы Герона для треугольников.

• Объём правильного n-симплекса с единичной стороной равен <math>\frac{\sqrt{n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}.</math>

• Радиус <math>R</math> описаной n-мерной сферы удовлетворяет соотношению

  <math>(R{\cdot}V)^2=T,</math>

где <math>V</math>-объем симплекса и

<math>T = \frac{(-1)^{n}}{2^{n+1}{n!}^2} \begin{vmatrix}

0 & d_{12}^2 & d_{13}^2 & \dots & d_{1(n+1)}^2 \\

d_{21}^2 & 0 & d_{23}^2 & \dots & d_{2(n+1)}^2 \\
d_{31}^2 & d_{32}^2 & 0 & \dots & d_{3(n+1)}^2 \\

\vdots&\vdots & \vdots & \ddots&\vdots& \\

d_{(n+1)1}^2 & d_{(n+1)2}^2 & d_{(n+1)3}^2 & \dots & 0 \\

\end{vmatrix}</math>

Построение

Если размерность пространства равна n, то через любые n его точек можно провести гиперплоскость, и существуют множества из n+1 точки, через которые гиперплоскость провести нельзя. Таким образом, n + 1 — минимальное число таких точек n–мерного пространства, которые не лежат в одной гиперплоскости; эти точки могут служить вершинами n–мерного многогранника.

Простейший n–мерный многогранник с количеством вершин n + 1 называется симплексом (принято также название «n-мерный тетраэдр»). В пространствах низшей размерности этому определению соответствуют такие фигуры:

• 0-симплекс (точка) – 1 вершина;
• 1–симплекс (отрезок) – 2 вершины;
• 2–симплекс (треугольник) – 3 вершины;
• 3–симплекс (тетраэдр) – 4 вершины.

Все эти фигуры обладают тремя общими свойствами.

1. В соответствии с определением, число вершин у каждой фигуры на единицу больше размерности пространства.
2. Существует общее правило преобразования фигур низшей размерности в фигуры высшей размерности. Оно заключается в том, что из некоторой точки фигуры строится перпендикуляр в следующее измерение, на этом перпендикуляре строится новая вершина и соединяется рёбрами со всеми вершинами исходного симплекса.
3. Как следует из описанной в пункте 2 процедуры, любая вершина симплекса соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Описанная сфера

Вокруг любого n-симплекса можно описать n-сферу.

Доказательство  

Для 1-симплекса это утверждение очевидно. Описанная 1-сфера будет представлять собой две равноудаленные от центра отрезка точки, совпадающие с концами отрезка, и её радиус будет составлять R = a/2. Добавим к 1-симплексу ещё одну точку и попробуем описать вокруг них 2-сферу.

Построим 2-сферу s₀ радиусом a/2 таким образом, чтобы отрезок AB был её диаметром. Если точка С находится за пределами окружности s₀, то увеличивая радиус окружности и смещая её в сторону точки С можно добиться того, что все три точки окажутся на окружности. Если же точка С лежит внутри окружности s₀, то подогнать окружность под эту точку можно увеличивая её радиус и смещая в сторону, противоположную точке С. Как видно из рисунка, сделать это можно в любом случае, когда точка С не лежит на одной прямой с точками АВ. Не является помехой и несимметричное расположение точки С относительно АВ.

Рассматривая общий случай, предположим, что существует (n − 1)-сфера S_n-1 радиуса r, описанная вокруг некоторой (n – 1)-мерной фигуры. Поместим центр сферы в начало координат. Уравнение сферы будет иметь вид

<math>

x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2. \qquad (1) </math>

Построим n-сферу с центром в точке (0, 0, 0, ... 0, h_S) и радиусом R, причём

<math>

R^2=r^2+h_S^2. </math> Уравнение этой сферы

<math>

x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2+(x_n-h_S)^2 = r^2+h_S^2 </math> или

<math>

x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 = r^2-x_n^2+2x_nh_S. \qquad (2) </math>

Подставив в уравнение (2) x_n = 0, получим уравнение (1). Таким образом, при любом h_S сфера S_n-1 является подмножеством сферы S_n, а именно – её сечением плоскостью x_n = 0.

Предположим, что точка С имеет координаты (x₁, x₂, x₃, ..., x_n ). Преобразуем уравнение (2) к виду

<math>

x_1^2+x_2^2+x_3^2+ ... + x_{n-1}^2 + x_n^2 = r^2+2x_nh_S </math>

и подставим в него координаты точки С:

<math>

X_1^2+X_2^2+X_3^2+ ... + X_{n-1}^2 + X_n^2 = r^2+2X_nh_S. </math>

Выражение в левой части представляет собой квадрат расстояния R_C от начала координат до точки C, что позволяет привести последнее уравнение к виду

<math>

R_C^2 = r^2+2X_nh_S, </math>

откуда можно выразить параметр h_S:

<math>

h_S = \frac{R_C^2-r^2}{2X_n}. </math>

Очевидно, что h_S существует при любых R_C, X_n и r, кроме X_n = 0. Это значит, что если точка С не лежит в плоскости сферы S_n–1, всегда можно найти такой параметр h_S, что на сфере S_n c центром (0, 0, 0, ..., h_S) будет лежать и сфера S_n-1, и точка С. Таким образом, вокруг любых n+1 точек можно описать n–сферу, если n из этих точек лежат на одной (n-1)–сфере, и последняя точка не лежит с ними в одной (n-1)–плоскости.

Применяя последнее по индукции, можно утверждать, что n–сферу можно описать вокруг любых n+1 точек, если они не лежат в одной (n–1)–плоскости.

Число граней симплекса

Симплекс имеет n + 1 вершин, каждая из которых соединена рёбрами со всеми остальными вершинами.

Поскольку все вершины симплекса соединены между собой, то тем же свойством обладает и любое подмножество его вершин. Это значит, что любое подмножество из L + 1 вершин симплекса определяют его L–мерную грань, и эта грань сама является L–симплексом. Тогда для симплекса число L-мерных граней равно числу способов выбрать L + 1 вершину из полного набора n + 1 вершин.

Обозначим символом К(L, n) число L–мерных граней в n–многограннике, тогда для n-симплекса

<math>K(L,n) = C^{L+1}_{n+1},</math>

где <math>C^m_n</math> – число сочетаний из n по m.

В частности, число граней старшей размерности равно числу вершин и равно n + 1:

<math>K(0,n) = K(n-1,n) = n+1.</math>

Соотношения в правильном симплексе

В правильном n-мерном симплексе со стороной a обозначим:

• H_n — высоту;
• V_n — объём;
• R_n — радиус описанной сферы;
• r_n — радиус вписанной сферы;
• α_n — двугранный угол.

Тогда

• <math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}= R_n \frac{n+1}{n}</math>
• <math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}= \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>
• <math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>
• <math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}= \frac{R_n}{n}</math>
• <math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>
• <math>R_n = H_n \frac{n}{n-1}</math>
• <math>a^2 = H_n^2 + R_{n-1}^2</math>
• <math>V_n = \frac{1}{n}V_{n-1}H_n </math>
• <math>r_n = R_n^2 - R_{n-1}^2</math>

Формулы для правильного симплекса

Число L-мерных граней	<math>K(L,n) = \tbinom{n+1}{L+1}</math>
Высота	<math>H_n = a\sqrt{\frac{n+1}{2n}}</math>	<math>H_n = R_n \frac{n+1}{n}</math>	<math>H_2 = a \frac{\sqrt{3}}{2}</math>	<math>H_3 = a \frac{\sqrt{6}}{3}</math>	<math>H_4 = a \frac{\sqrt{10}}{4}</math>
Объём	<math>V_n = \frac{a^n}{n!}\sqrt{\frac{n+1}{2^n}}</math>	<math>V_n = \frac{R^n_n}{n!} \sqrt{\left( \frac{n+1}{n} \right)^n}</math>	<math>V_2 = a^2 \frac{\sqrt{3}}{4}</math>	<math>V_3 = a^3 \frac{\sqrt{2}}{12}</math>	<math>V_4 = a^4 \frac{\sqrt{5}}{96}</math>
Радиус описанной сферы	<math>R_n = a\sqrt{\frac{n}{2(n+1)}}</math>	<math>a = R_n \sqrt{\frac{2(n+1)}{n}}</math>	<math>R_2 = a \frac{\sqrt{3}}{3}</math>	<math>R_3 = a \frac{\sqrt{6}}{4}</math>	<math>R_4 = a \frac{\sqrt{10}}{5}</math>
Радиус вписанной сферы	<math>r_n = \frac{a}{\sqrt{2n(n+1)}}</math>	<math>r_n = \frac{R_n}{n}</math>	<math>r_2 = a \frac{\sqrt{3}}{6}</math>	<math>r_3 = a \frac{\sqrt{6}}{12}</math>	<math>r_4 = a \frac{\sqrt{10}}{20}</math>
Двугранный угол	<math>\cos \alpha = \frac{1}{n}</math>

Литература

• Александров П. С. Комбинаторная топология, М. — Л., 1947
• Понтрягин Л. С. Основы комбинаторной топологии, М. — Л., 1947, с. 23—31.

См. также

• Барицентрические координаты
• Барицентрическое подразделение
• Симплекс-метод
• Симплициальный комплекс
• N-мерная евклидова геометрия
• Теорема косинусов
• Теорема о сумме углов треугольника

Ссылки

• Симплекс — статья из Большой советской энциклопедии.