Супернатуральные числа
Супернатуральные числа (иногда также именумые обобщённые натуральные числа или числа Стейница) являются обобщением натуральных чисел. Супернатуральное число <math>\omega</math> является формальным произведением:
- <math>\omega = \prod_p p^{n_p},</math>
где <math>p</math> может быть любым простым числом, а каждое <math>n_p</math> является или натуральным числом, или бесконечностью. Иногда пишут <math>v_p(\omega)</math> для обозначения <math>n_p</math>. Если не выполняется условие <math>n_p = \infty</math> и имеется только конечное число ненулевых <math>n_p</math>, тогда мы получаем полностью натуральный ряд чисел. Супернатуральные числа позволяют расширить ряд натуральных чисел, используя возможность бесконечного числа простых факторов, и позволяют делить любое данное простое число <math>\omega</math> «бесконечно много», приравнивая показатель экспоненты к бесконечности.
Не существует естественного пути определить сложение для супернатуральных чисел, но они могут быть перемножены <math>\prod_p p^{n_p}\cdot\prod_p p^{m_p}=\prod_p p^{n_p+m_p}</math>. Аналогичным образом на них распространяется понятие делимости <math>\omega_1\mid\omega_2</math> если <math>v_p(\omega_1)\leq v_p(\omega_2)</math> для всех <math>p</math>. Мы можем также ввести для супернатуральных чисел понятие наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель, определив
- <math>\displaystyle \operatorname{lcm}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\sup(v_p(\omega_i))}</math>
- <math>\displaystyle \operatorname{gcd}(\{\omega_i\}) \displaystyle =\prod_p p^{\inf(v_p(\omega_i))}</math>
С помощью этих алгоритмов мы сможем как получить наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель для бесконечного количества натуральных чисел, так и провести аналогичную процедуру для супернатуральных чисел.
Мы также можем распространить обычные p-адические функции на супернатуральные числа, определив <math>v_p(\omega)=n_p</math> для каждого <math>p</math>.
Супернатуральные числа используются для определения порядков и индексов проконечных групп, и благодаря этому удалось обобщить на проконечные группы многие теоремы о конечных группах.
Ссылки
- [planetmath.org/encyclopedia/LcmOfSupernaturalNumbers.html Planet Math: Supernatural number]
| ||||||
и их расширения
|список2=Вещественные (<math>\scriptstyle\mathbb{R}</math>) • Комплексные (<math>\scriptstyle\mathbb{C}</math>) • Кватернионы (<math>\scriptstyle\mathbb{H}</math>) • Числа Кэли (октавы, октонионы) (<math>\scriptstyle\mathbb{O}</math>) • Седенионы (<math>\scriptstyle\mathbb{S}</math>) • Альтернионы • Дуальные • Гиперкомплексные • Супердействительные • Гипервещественные • Сюрреальные[en]
|заголовок3=числовых систем
|список3=Процедура Кэли — Диксона • Теорема Фробениуса • Теорема Гурвица
|заголовок4=
| |||||||||||||||||||||||||||
| <math>1,\;e_1,\;e_2,\;\dots,\;e_{15},\;7e_2 + \frac{2}{5}e_7 - \frac{1}{3}e_{15},\;\dots</math> | Седенионы | ||||||||||||||||||||||||||
числовые системы
|список5=Кардинальные числа • Порядковые числа (трансфинитные, ординал) • p-адические • Супернатуральные числа
|заголовок6=|список6=Двойные числа • Иррациональные числа • Трансцендентные числа • Числовой луч • Бикватернион
}}
