Криволинейный интеграл

Криволинейный интеграл — интеграл, вычисляемый вдоль какой-либо кривой на плоскости или в пространстве. Утверждения в этой статье приведены для пространства <math>{{\mathbb{R}}^{3}}</math>, но могут быть обобщены на пространство произвольной размерности.

Определения

Пусть <math>l</math> — гладкая, без особых точек и самопересечений кривая (допускается одно самопересечение — случай замкнутой кривой), заданная параметрически.

<math>l\colon \left\{ \begin{align}

 & x=x\left( t \right), \\ 
& y=y\left( t \right), \\ 
& z=z\left( t \right), \\ 

\end{align}\right. \qquad t \in \left[a, b\right],</math>

где <math>\left[a, b\right]</math> — отрезок параметризации: рассматриваем часть кривой.

Пусть <math>\theta =\left\{ {{t}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}</math> — разбиение отрезка параметризации <math>\left[ a,b \right]</math>, причем <math>a={{t}_{0}}<{{t}_{1}}<\ldots <{{t}_{n-1}}<{{t}_{n}}=b</math>.

Зададим разбиение кривой <math>M=\left\{ {{M}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{M}_{k}}=\left( x\left( {{t}_{k}} \right),y\left( {{t}_{k}} \right),z\left( {{t}_{k}} \right) \right)\in l</math>.

За <math>\ {{l}_{k}}</math> обозначим часть кривой от точки <math>\ {{M}_{k-1}}</math> до точки <math>\ {{M}_{k}}</math>, <math>k=\overline{1,n}</math>.

Введем мелкость разбиения отрезка параметризации <math>\theta </math>: <math>\Delta \theta =\underset{k=\overline{1,n}}{\mathop{\max }}\,\left\{ {{t}_{k}}-{{t}_{k-1}} \right\}</math>.

Введем набор промежуточных точек разбиения отрезка параметризации <math>l</math>: <math>\xi =\left\{ {{\xi }_{k}} \right\}_{k=1}^{n}:\forall k=\overline{1,n}\ \ {{\xi }_{k}}\in \left[ {{t}_{k-1}},{{t}_{k}} \right]</math>.

Зададим набор промежуточных точек разбиения кривой <math>N=\left\{ {{N}_{k}} \right\}_{k=0}^{n}:\forall k=\overline{0,n}\ {{N}_{k}}=\left( x\left( {{\xi }_{k}} \right),y\left( {{\xi }_{k}} \right),z\left( {{\xi }_{k}} \right) \right)\in {{l}_{k}}</math>.

Пусть нам также даны 4 функции, которые определены вдоль кривой <math>l</math>: <math>f\left( x,y,z \right)</math>, <math>P\left( x,y,z \right)</math>, <math>Q\left( x,y,z \right)</math>, <math>R\left( x,y,z \right)</math>.

Рассмотрим 4 интегральные суммы.

1. Интегральная сумма криволинейного интеграла первого рода:

   <math>\sigma \left( f,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{f\left( {{N}_{k}} \right)\left| {{l}_{k}} \right|}</math>.

1. Три интегральных суммы криволинейного интеграла второго рода:

   <math>{{\sigma }_{1}}\left( P,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{P\left( {{N}_{k}} \right)\left( x\left( {{t}_{k}} \right)-x\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}</math>,

   <math>{{\sigma }_{2}}\left( Q,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{Q\left( {{N}_{k}} \right)\left( y\left( {{t}_{k}} \right)-y\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}</math>,

   <math>{{\sigma }_{3}}\left( R,M,N \right)=\sum\limits_{k=1}^{n}{R\left( {{N}_{k}} \right)\left( z\left( {{t}_{k}} \right)-z\left( {{t}_{k-1}} \right) \right)}</math>.

Если <math>\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,\sigma \left( f,M,N \right)=I</math>, то говорят, что функция <math>f</math> интегрируема в смысле криволинейного интеграла первого рода по кривой <math>l</math>, а сам предел называют криволинейным интегралом первого рода функции <math>f</math> по кривой <math>l</math> и обозначают <math>\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=I</math>. Здесь <math>\ dl</math> — дифференциал кривой.

Если <math>\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{1}} \left( P,M,N \right)={{I}_{1}}</math>, <math>\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{2}} \left( Q,M,N \right)={{I}_{2}}</math>, <math>\exists \underset{\Delta \theta \to 0}{\mathop{\lim }}\,{{\sigma }_{3}} \left( R,M,N \right)={{I}_{3}}</math>, то говорят, что функции <math>P</math>, <math>Q</math> и <math>R</math> интегрируемы в смысле криволинейного интеграла второго рода по кривой <math>l</math>, а сами пределы называют криволинейными интегралами второго рода функций <math>P</math>, <math>Q</math> и <math>R</math> по кривой <math>l</math> и обозначают

<math>\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}={{I}_{1}}</math>

<math>\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}={{I}_{2}}</math>

<math>\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{3}}</math>

Сумму криволинейных интегралов второго рода функций <math>P</math>, <math>Q</math> и <math>R</math> также называют криволинейным интегралом второго рода вектор-функции <math>\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}</math> и обозначают:

<math>\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx+Q\left( x,y,z \right)dy+R\left( x,y,z \right)dz}={{I}_{1}}+{{I}_{2}}+{{I}_{3}}=\tilde{I}</math>.

Если кривая <math>l</math> замкнута (начало совпадает с концом), то в этом случае вместо значка <math>\int{{}}</math> принято писать <math>\oint{{}}</math>.

Криволинейный интеграл первого рода

Свойства

1. Линейность:

   <math>\int\limits_l(\alpha f+\beta g)dl = \alpha\int\limits_l fdl + \beta\int\limits_l gdl</math>

2. Аддитивность: если <math>l_1\cap l_2</math> в одной точке, то

   <math>\int\limits_{l_1\cup l_2}fdl = \int\limits_{l_1}fdl + \int\limits_{l_2}fdl</math>

3. Монотонность: если <math>f \leqslant g</math> на <math>l</math>, то

   <math>\int\limits_l fdl \leqslant \int\limits_l gdl</math>

4. Теорема о среднем для непрерывной вдоль <math>l</math> функции <math>f</math>:

   <math>\exists \xi \in l \colon \int\limits_{l}{f}dl=f\left( \xi \right)\left| l \right|</math>

Очевидно, что: <math>\int\limits_{l}{d}l=\left| l \right|</math>.

5. Изменение направления обхода кривой интегрирования не влияет на знак интеграла: <math>\int\limits_{AB}{f}dl=\int\limits_{BA}{f}dl</math>.

6. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от параметризации кривой.

Вычисление

Пусть <math>l</math> — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция <math>f\left( x,y,z \right)</math> определена и интегрируема вдоль кривой <math>l</math> в смысле криволинейного интеграла первого рода. Тогда

<math>\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dl}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right)\sqrt{{{{\dot{x}}}^{2}}+{{{\dot{y}}}^{2}}+{{{\dot{z}}}^{2}}}dt}</math>.

Здесь точкой обозначена производная по <math>t</math>: <math>\dot{x}={x}'\left( t \right)</math>.

Криволинейный интеграл второго рода

Свойства

1. Линейность:

<math>\int\limits_{AB}(\alpha f+\beta g)dx = \alpha\int\limits_{AB}fdx + \beta\int\limits_{AB}gdx</math>

2. Аддитивность:

<math>\int\limits_{AB}fdx + \int\limits_{BC}fdx = \int\limits_{ABC}fdx</math>

3. <math>\int\limits_{BA}f(x,y,z)dx = -\int\limits_{AB}f(x,y,z)dx</math>

Замечание. Для криволинейных интегралов второго рода несправедливы свойство монотонности, оценка модуля и теорема о среднем.

Вычисление

Пусть <math>l</math> — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении). Пусть функция <math>f\left( x,y,z \right)</math> определена и интегрируема вдоль кривой <math>l</math> в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

<math>\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){x}'\left( t \right)dt}</math>,

<math>\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){y}'\left( t \right)dt}</math>,

<math>\int\limits_{l}{f\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{a}^{b}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right),z\left( t \right) \right){z}'\left( t \right)dt}</math>.

Если обозначить за <math>{\vec{\tau }}</math> единичный вектор касательной к кривой <math>l</math>, то нетрудно показать, что

<math>{x}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl</math>

<math>{y}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl</math>

<math>{z}'\left( t \right)dt=\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl</math>

Взаимосвязь криволинейных интегралов

Пусть <math>l</math> — гладкая, спрямляемая кривая, заданная параметрически (как в определении), <math>\vec{\tau }\left( x,y,z \right)=\left\{ \cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right),\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right) \right\}</math> — единичный вектор, касательный к кривой <math>l</math>. Пусть также координаты вектор-функции <math>\vec{a}\left( x,y,z \right)=\left\{ P\left( x,y,z \right),Q\left( x,y,z \right),R\left( x,y,z \right) \right\}</math> определены и интегрируемы вдоль кривой <math>l</math> в смысле криволинейного интеграла второго рода. Тогда

<math>\int\limits_{l}{Pdx+Qdy+Rdz}=\int\limits_{l}{\left( \vec{a},\vec{\tau } \right)dl}</math>

<math>\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)dx}=\int\limits_{l}{P\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{i},\vec{\tau }} \right)dl</math>

<math>\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)dy}=\int\limits_{l}{Q\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{j},\vec{\tau }} \right)dl</math>

<math>\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)dz}=\int\limits_{l}{R\left( x,y,z \right)}\cos \left( \widehat{\vec{k},\vec{\tau }} \right)dl</math>

Механические приложения

• Работа A по перемещению материальной точки вдоль кривой l под воздействием силы <math>\mathbf{F} = (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y,z))</math> вычисляется по формуле

<math>A = \int\limits_{l} P(x, y, z) \, dx + Q(x, y, z)dy + R(x, y, z)dz</math>

• Масса m кривой l, линейная плотность которой вдоль кривой l равна μ(x, y, z), выражается интегралом

<math>m = \int\limits_{l} \mu(x, y, z) \, ds</math>

• Координаты (x_c, y_c, z_c) центра масс (центра тяжести) кривой l с линейной плотностью μ(x, y, z) находятся по формулам:

<math>x_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} x\mu(x, y, z) \, ds</math>,

<math>y_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} y\mu(x, y, z) \, ds</math>,

<math>z_c = \frac{1}{m}\int\limits_{l} z\mu(x, y, z) \, ds</math>,

где m — масса кривой l

• Моменты инерции кривой l относительно координатных осей:

<math>I_x = \int\limits_{l} (y^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds</math>,

<math>I_y = \int\limits_{l} (x^2 + z^2)\mu(x, y, z) \, ds</math>,

<math>I_z = \int\limits_{l} (x^2 + y^2)\mu(x, y, z) \, ds</math>

• Сила притяжения точечной массы материальной кривой l есть

<math>\mathbf{F} = \gamma m_0 \int\limits_{l} \frac{\mu(x, y, z)}{r^3} \, ds</math>,

где μ(z, y, z) — линейная плотность кривой l, m₀ — масса точки с координатами (x₀, y₀, z₀); γ — постоянная тяготения,

<math>\mathbf{r} = (x - x_0)\mathbf{i} + (y - y_0)\mathbf{j} + (z - z_0)\mathbf{k}, \quad \boldsymbol{r} = \left| \mathbf{r} \right|</math>

См. также

• Комплексный криволинейный интеграл
• Теорема Грина
• Векторный анализ
• Циркуляция векторного поля
• Механические приложения криволинейных интегралов

Отрывок, характеризующий Криволинейный интеграл

Проехав по дороге, с обеих сторон которой звучал от костров французский говор, Долохов повернул во двор господского дома. Проехав в ворота, он слез с лошади и подошел к большому пылавшему костру, вокруг которого, громко разговаривая, сидело несколько человек. В котелке с краю варилось что то, и солдат в колпаке и синей шинели, стоя на коленях, ярко освещенный огнем, мешал в нем шомполом.
– Oh, c'est un dur a cuire, [С этим чертом не сладишь.] – говорил один из офицеров, сидевших в тени с противоположной стороны костра.
– Il les fera marcher les lapins… [Он их проберет…] – со смехом сказал другой. Оба замолкли, вглядываясь в темноту на звук шагов Долохова и Пети, подходивших к костру с своими лошадьми.
– Bonjour, messieurs! [Здравствуйте, господа!] – громко, отчетливо выговорил Долохов.
Офицеры зашевелились в тени костра, и один, высокий офицер с длинной шеей, обойдя огонь, подошел к Долохову.
– C'est vous, Clement? – сказал он. – D'ou, diable… [Это вы, Клеман? Откуда, черт…] – но он не докончил, узнав свою ошибку, и, слегка нахмурившись, как с незнакомым, поздоровался с Долоховым, спрашивая его, чем он может служить. Долохов рассказал, что он с товарищем догонял свой полк, и спросил, обращаясь ко всем вообще, не знали ли офицеры чего нибудь о шестом полку. Никто ничего не знал; и Пете показалось, что офицеры враждебно и подозрительно стали осматривать его и Долохова. Несколько секунд все молчали.
– Si vous comptez sur la soupe du soir, vous venez trop tard, [Если вы рассчитываете на ужин, то вы опоздали.] – сказал с сдержанным смехом голос из за костра.
Долохов отвечал, что они сыты и что им надо в ночь же ехать дальше.
Он отдал лошадей солдату, мешавшему в котелке, и на корточках присел у костра рядом с офицером с длинной шеей. Офицер этот, не спуская глаз, смотрел на Долохова и переспросил его еще раз: какого он был полка? Долохов не отвечал, как будто не слыхал вопроса, и, закуривая коротенькую французскую трубку, которую он достал из кармана, спрашивал офицеров о том, в какой степени безопасна дорога от казаков впереди их.
– Les brigands sont partout, [Эти разбойники везде.] – отвечал офицер из за костра.
Долохов сказал, что казаки страшны только для таких отсталых, как он с товарищем, но что на большие отряды казаки, вероятно, не смеют нападать, прибавил он вопросительно. Никто ничего не ответил.
«Ну, теперь он уедет», – всякую минуту думал Петя, стоя перед костром и слушая его разговор.
Но Долохов начал опять прекратившийся разговор и прямо стал расспрашивать, сколько у них людей в батальоне, сколько батальонов, сколько пленных. Спрашивая про пленных русских, которые были при их отряде, Долохов сказал:
– La vilaine affaire de trainer ces cadavres apres soi. Vaudrait mieux fusiller cette canaille, [Скверное дело таскать за собой эти трупы. Лучше бы расстрелять эту сволочь.] – и громко засмеялся таким странным смехом, что Пете показалось, французы сейчас узнают обман, и он невольно отступил на шаг от костра. Никто не ответил на слова и смех Долохова, и французский офицер, которого не видно было (он лежал, укутавшись шинелью), приподнялся и прошептал что то товарищу. Долохов встал и кликнул солдата с лошадьми.
«Подадут или нет лошадей?» – думал Петя, невольно приближаясь к Долохову.
Лошадей подали.
– Bonjour, messieurs, [Здесь: прощайте, господа.] – сказал Долохов.
Петя хотел сказать bonsoir [добрый вечер] и не мог договорить слова. Офицеры что то шепотом говорили между собою. Долохов долго садился на лошадь, которая не стояла; потом шагом поехал из ворот. Петя ехал подле него, желая и не смея оглянуться, чтоб увидать, бегут или не бегут за ними французы.
Выехав на дорогу, Долохов поехал не назад в поле, а вдоль по деревне. В одном месте он остановился, прислушиваясь.
– Слышишь? – сказал он.
Петя узнал звуки русских голосов, увидал у костров темные фигуры русских пленных. Спустившись вниз к мосту, Петя с Долоховым проехали часового, который, ни слова не сказав, мрачно ходил по мосту, и выехали в лощину, где дожидались казаки.
– Ну, теперь прощай. Скажи Денисову, что на заре, по первому выстрелу, – сказал Долохов и хотел ехать, но Петя схватился за него рукою.
– Нет! – вскрикнул он, – вы такой герой. Ах, как хорошо! Как отлично! Как я вас люблю.
– Хорошо, хорошо, – сказал Долохов, но Петя не отпускал его, и в темноте Долохов рассмотрел, что Петя нагибался к нему. Он хотел поцеловаться. Долохов поцеловал его, засмеялся и, повернув лошадь, скрылся в темноте.

Х
Вернувшись к караулке, Петя застал Денисова в сенях. Денисов в волнении, беспокойстве и досаде на себя, что отпустил Петю, ожидал его.
– Слава богу! – крикнул он. – Ну, слава богу! – повторял он, слушая восторженный рассказ Пети. – И чег'т тебя возьми, из за тебя не спал! – проговорил Денисов. – Ну, слава богу, тепег'ь ложись спать. Еще вздг'емнем до утг'а.
– Да… Нет, – сказал Петя. – Мне еще не хочется спать. Да я и себя знаю, ежели засну, так уж кончено. И потом я привык не спать перед сражением.
Петя посидел несколько времени в избе, радостно вспоминая подробности своей поездки и живо представляя себе то, что будет завтра. Потом, заметив, что Денисов заснул, он встал и пошел на двор.
На дворе еще было совсем темно. Дождик прошел, но капли еще падали с деревьев. Вблизи от караулки виднелись черные фигуры казачьих шалашей и связанных вместе лошадей. За избушкой чернелись две фуры, у которых стояли лошади, и в овраге краснелся догоравший огонь. Казаки и гусары не все спали: кое где слышались, вместе с звуком падающих капель и близкого звука жевания лошадей, негромкие, как бы шепчущиеся голоса.
Петя вышел из сеней, огляделся в темноте и подошел к фурам. Под фурами храпел кто то, и вокруг них стояли, жуя овес, оседланные лошади. В темноте Петя узнал свою лошадь, которую он называл Карабахом, хотя она была малороссийская лошадь, и подошел к ней.
– Ну, Карабах, завтра послужим, – сказал он, нюхая ее ноздри и целуя ее.
– Что, барин, не спите? – сказал казак, сидевший под фурой.
– Нет; а… Лихачев, кажется, тебя звать? Ведь я сейчас только приехал. Мы ездили к французам. – И Петя подробно рассказал казаку не только свою поездку, но и то, почему он ездил и почему он считает, что лучше рисковать своей жизнью, чем делать наобум Лазаря.
– Что же, соснули бы, – сказал казак.
– Нет, я привык, – отвечал Петя. – А что, у вас кремни в пистолетах не обились? Я привез с собою. Не нужно ли? Ты возьми.
Казак высунулся из под фуры, чтобы поближе рассмотреть Петю.
– Оттого, что я привык все делать аккуратно, – сказал Петя. – Иные так, кое как, не приготовятся, потом и жалеют. Я так не люблю.
– Это точно, – сказал казак.
– Да еще вот что, пожалуйста, голубчик, наточи мне саблю; затупи… (но Петя боялся солгать) она никогда отточена не была. Можно это сделать?
– Отчего ж, можно.
Лихачев встал, порылся в вьюках, и Петя скоро услыхал воинственный звук стали о брусок. Он влез на фуру и сел на край ее. Казак под фурой точил саблю.
– А что же, спят молодцы? – сказал Петя.
– Кто спит, а кто так вот.
– Ну, а мальчик что?
– Весенний то? Он там, в сенцах, завалился. Со страху спится. Уж рад то был.
Долго после этого Петя молчал, прислушиваясь к звукам. В темноте послышались шаги и показалась черная фигура.
– Что точишь? – спросил человек, подходя к фуре.
– А вот барину наточить саблю.
– Хорошее дело, – сказал человек, который показался Пете гусаром. – У вас, что ли, чашка осталась?
– А вон у колеса.
Гусар взял чашку.
– Небось скоро свет, – проговорил он, зевая, и прошел куда то.
Петя должен бы был знать, что он в лесу, в партии Денисова, в версте от дороги, что он сидит на фуре, отбитой у французов, около которой привязаны лошади, что под ним сидит казак Лихачев и натачивает ему саблю, что большое черное пятно направо – караулка, и красное яркое пятно внизу налево – догоравший костер, что человек, приходивший за чашкой, – гусар, который хотел пить; но он ничего не знал и не хотел знать этого. Он был в волшебном царстве, в котором ничего не было похожего на действительность. Большое черное пятно, может быть, точно была караулка, а может быть, была пещера, которая вела в самую глубь земли. Красное пятно, может быть, был огонь, а может быть – глаз огромного чудовища. Может быть, он точно сидит теперь на фуре, а очень может быть, что он сидит не на фуре, а на страшно высокой башне, с которой ежели упасть, то лететь бы до земли целый день, целый месяц – все лететь и никогда не долетишь. Может быть, что под фурой сидит просто казак Лихачев, а очень может быть, что это – самый добрый, храбрый, самый чудесный, самый превосходный человек на свете, которого никто не знает. Может быть, это точно проходил гусар за водой и пошел в лощину, а может быть, он только что исчез из виду и совсем исчез, и его не было.