Полнократное число

Полнократное число — положительное целое число, которое делится нацело квадратом каждого своего простого делителя.

Эквивалентное определение: число, представимое в виде <math>a^2 b^3</math>, где <math>a</math> и <math>b</math> — положительные целые числа.

Полнократные числа систематически изучены Палом Эрдёшем и Дьёрдем Секерешем, наименование дано Соломоном Голомбом.

Список полнократных чисел между 1 и 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Эквивалентность двух определений

Если <math>m = a^2 b^3</math>, то любое простое в разложении <math>a</math> входит дважды, а входящее в <math>b</math> — не менее трёх раз; так что любое простое в разложении <math>m</math> входит не менее, чем в квадрате.

С другой стороны, пусть <math>m</math> — полнократное число с разложением

<math>m = \prod p_i^{\alpha_i}</math>,

где каждое <math>\alpha_i \ge 2</math>. Определим <math>\gamma_i</math> равным трём, если <math>\alpha_i</math> нечётно, и нулю в противном случае, и определим <math>\beta_i = \alpha_i - \gamma_i</math>. Тогда все значения <math>\beta_i</math> являются неотрицательными чётными целыми, и все значения <math>\gamma_i</math> либо равны нулю, либо трём, так что:

<math>m = (\prod p_i^{\beta_i})(\prod p_i^{\gamma_i}) = (\prod p_i^{\beta_i/2})^2(\prod p_i^{\gamma_i/3})^3</math>

даёт искомое представление <math>m</math>, как произведение квадрата и куба.

Иными словами, для данного разложения числа <math>m</math> можно взять в качестве <math>b</math> произведение простых множителей, входящих в разложение с нечётными степенями (если таких нет, то 1). Поскольку <math>m</math> — полнократное, каждый простой множитель, входящий в разложение с нечётной степенью, имеет степень не менее 3, так что <math>m / b^3</math> является целым. Теперь каждый простой множитель <math>m / b^3</math> имеет чётную степень, так что <math>m / b^3</math> — полный квадрат, обозначим его как <math>a^2</math>; и получается <math>m = a^2 b^3</math>. Например:

<math>m = 21600 = 2^5 \times 3^3 \times 5^2</math>,

<math>b = 2 \times 3 = 6</math>,

<math>a = \sqrt{\frac{m}{b^3}} = \sqrt{2^2 \times 5^2} = 10</math>,

<math>m = a^2b^3 = 10^2 \times 6^3</math>.

Математические свойства

Сумма обратных величин полнократных чисел сходится:

<math>\prod_p\left(1+\frac{1}{p(p-1)}\right)=\frac{\zeta(2)\zeta(3)}{\zeta(6)} = \frac{315}{2\pi^4}\zeta(3)</math>,

где <math>p</math> — обходит все простые числа, <math>\zeta(s)</math> — дзета-функция Римана, и <math>\zeta(3)</math> — постоянная Апери (Голомб, 1970).

Пусть <math>k(x)</math> означает количество полнократных чисел в интервале <math>[1,x]</math>. Тогда <math>k(x)</math> пропорционально квадратному корню из <math>x</math>. Точнее:

<math>cx^{1/2}-3x^{1/3}\le k(x) \le cx^{1/2}, c=\zeta(3/2)/\zeta(3)=2,173\cdots</math>.

Два наименьших последовательных полнократных числа — это 8 и 9. Поскольку уравнение Пелля <math>x^2 - 8y^2 = 1</math> имеет бесконечное число решений, то имеется и бесконечное число пар последовательных полнократных чисел; Более общо, можно найти последовательные полнократные числа, найдя решение уравнения, похожего на уравнение Пелля, <math>x^2 - ny^2 = \pm 1</math> для любого куба <math>n</math>. Однако одно из полнократных чисел в паре, полученной таким образом, должно быть квадратом. Согласно Гаю, Эрдёш задавал вопрос, бесконечно ли число пар полнократных чисел вида <math>(23^3, 2^3 \cdot 3^2 \cdot 13^2</math>, в которых ни одно из чисел в паре не является квадратом. Ярослав Вроблевский показал, что, наоборот, имеется бесконечно много таких пар, показав, что <math>3^3 c^2 +1 = 7^3 d^2</math> имеет бесконечно много решений.

Согласно гипотезе Эрдёша — Моллина — Уолша, не существует трёх последовательных полнократных чисел.

Суммы и разности полнократных чисел

Любое нечётное число представимо в виде разности двух последовательных квадратов:

<math>(k+1)^2 = k^2 + 2k + 1 \Rightarrow (k+1)^2 - k^2 = 2k + 1</math>.

Таким же образом, любое число кратное четырём представимо в виде разности двух чисел, отличающихся на два: <math>(k + 2)^2 - k^2 = 4k + 4</math>. Однако число, делящееся на два, но не на четыре, нельзя представить в виде разности квадратов, то есть возникает вопрос: какие чётные числа, не делящиеся на 4, могут быть представлены в виде разности двух полнократных чисел.

Голомб дал несколько таких представлений:

2 = 3³ − 5²

10 = 13³ − 3⁷

18 = 19² − 7³ = 3²(3³ − 5²).

Сначала высказана гипотеза, что число 6 нельзя представить в таком виде, и Голомб предположил, что имеется бесконечно много целых чисел, которые нельзя представить в виде разности двух полнократных чисел. Однако Наркивич обнаружил, что существует бесконечно много способов представления числа 6, например

6 = 5⁴7³ − 463²,

и Макдэниел показал, что любое число имеет бесконечное число таких представлений .

Эрдёш высказал гипотезу, что любое достаточно большое целое число является суммой максимум трёх полнократных чисел. Гипотеза была доказана Роджером Хит-Брауном.

Обобщение

<math>k</math>-полнократные числа — числа, в разложении которых простые числа входят со степенью не менее <math>k</math>.

<math>(2^{k+1} - 1)^k</math>, <math>2^k(2^{k+1}-1)^k</math>, <math>(2^{k+1}-1)^{k+1}</math> являются <math>k</math>-полнократными в арифметической прогрессии.

Более того, если <math>a_1, a_2, \dots, a_s</math> являются <math>k</math>-полнократными в арифметической прогрессии с разностью <math>d</math>, то:

<math>(a_1 + d)^k, a_2(a_s + d)^k, \dots, a_s(a_s + d)^k, a_s(a_s + d)^{k + 1}</math>

являются <math>k</math>-полнократными числами в арифметической прогрессии.

Для <math>k</math>- полнократных чисел имеет место:

<math>a^k(a^l + \dots + 1)^k + a^{k+1}(a^l + \dots + 1) + \dots + a^{k+l}(a^l + \dots + 1) = a^k(a^l + \dots + 1)^{k+1}</math>.

Это равенство даёт бесконечно много наборов длины <math>l+1</math> <math>k</math>- полнократных чисел, суммы которых тоже <math>k</math>-полнократны. Нитадж показал, что имеется бесконечно много решений уравнения <math>x + y = z</math> среди взаимно простых 3-полнократных чисел. Кон сконструировал бесконечное семейство решений уравнения <math>x + y = z</math> среди взаимно простых 3-полнократных чисел: тройка

<math>X = 9712247684771506604963490444281</math>,

<math>Y = 32295800804958334401937923416351</math>,

<math>Z = 27474621855216870941749052236511</math>

является решением уравнения <math>32X^3 + 49Y^3 = 81Z^3</math>. Возможно сконструировать другое решение, положив <math>X' = X(49Y^3 + 81Z^3), Y' = - Y(32X^3 + 81Z^3), Z' = Z(32X^3 - 49Y^3)</math> и убирая общий делитель.

Литература

• Cohn, J. H. E. [www.ams.org/mcom/1998-67-221/S0025-5718-98-00881-3/ A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers] // Math. Comp. — 1998. — Т. 67, вып. 221. — С. 439—440. — DOI:10.1090/S0025-5718-98-00881-3.
• Pál Erdős, György Szekeres Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem // Acta Litt. Sci. Szeged. — 1934. — № 7. — С. 95—102.
• Solomon W. Golomb Powerful numbers // American Mathematical Monthly. — 1970. — Т. 77, № 8. — С. 848—852. — DOI:10.2307/2317020.
• Richard K. Guy. Section B16 // Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition. — Springer-Verlag, 2004. — ISBN 0-387-20860-7.
• Roger Heath-Brown. Ternary quadratic forms and sums of three square-full numbers. — Boston: Birkhäuser, 1988. — С. 137—163. — (Séminaire de Théorie des Nombres, Paris, 1986-7).
• Roger Heath-Brown. Sums of three square-full numbers. — Colloq. Math. Soc. János Bolyai, no. 51, 1990. — С. 163—171. — (Number Theory, I (Budapest, 1987)).
• Wayne L. McDaniel Representations of every integer as the difference of powerful numbers // Fibonacci Quarterly. — 1982. — № 20.
• Abderrahmane Nitaj On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers // Bull. London Math. Soc.. — 1995. — Т. 4, № 27. — С. 317—318. — DOI:10.1112/blms/27.4.317.

Ссылки

• Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PowerfulNumber.html Powerful number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
• [www.math.unicaen.fr/~nitaj/abc.html The abc conjecture]

Отрывок, характеризующий Полнократное число

– Ах… Боже мой! Боже мой! что ж это такое! – вдруг вскрикнула она. – Спать так спать! – и захлопнула окно.
«И дела нет до моего существования!» подумал князь Андрей в то время, как он прислушивался к ее говору, почему то ожидая и боясь, что она скажет что нибудь про него. – «И опять она! И как нарочно!» думал он. В душе его вдруг поднялась такая неожиданная путаница молодых мыслей и надежд, противоречащих всей его жизни, что он, чувствуя себя не в силах уяснить себе свое состояние, тотчас же заснул.


На другой день простившись только с одним графом, не дождавшись выхода дам, князь Андрей поехал домой.
Уже было начало июня, когда князь Андрей, возвращаясь домой, въехал опять в ту березовую рощу, в которой этот старый, корявый дуб так странно и памятно поразил его. Бубенчики еще глуше звенели в лесу, чем полтора месяца тому назад; всё было полно, тенисто и густо; и молодые ели, рассыпанные по лесу, не нарушали общей красоты и, подделываясь под общий характер, нежно зеленели пушистыми молодыми побегами.
Целый день был жаркий, где то собиралась гроза, но только небольшая тучка брызнула на пыль дороги и на сочные листья. Левая сторона леса была темна, в тени; правая мокрая, глянцовитая блестела на солнце, чуть колыхаясь от ветра. Всё было в цвету; соловьи трещали и перекатывались то близко, то далеко.
«Да, здесь, в этом лесу был этот дуб, с которым мы были согласны», подумал князь Андрей. «Да где он», подумал опять князь Андрей, глядя на левую сторону дороги и сам того не зная, не узнавая его, любовался тем дубом, которого он искал. Старый дуб, весь преображенный, раскинувшись шатром сочной, темной зелени, млел, чуть колыхаясь в лучах вечернего солнца. Ни корявых пальцев, ни болячек, ни старого недоверия и горя, – ничего не было видно. Сквозь жесткую, столетнюю кору пробились без сучков сочные, молодые листья, так что верить нельзя было, что этот старик произвел их. «Да, это тот самый дуб», подумал князь Андрей, и на него вдруг нашло беспричинное, весеннее чувство радости и обновления. Все лучшие минуты его жизни вдруг в одно и то же время вспомнились ему. И Аустерлиц с высоким небом, и мертвое, укоризненное лицо жены, и Пьер на пароме, и девочка, взволнованная красотою ночи, и эта ночь, и луна, – и всё это вдруг вспомнилось ему.
«Нет, жизнь не кончена в 31 год, вдруг окончательно, беспеременно решил князь Андрей. Мало того, что я знаю всё то, что есть во мне, надо, чтобы и все знали это: и Пьер, и эта девочка, которая хотела улететь в небо, надо, чтобы все знали меня, чтобы не для одного меня шла моя жизнь, чтоб не жили они так независимо от моей жизни, чтоб на всех она отражалась и чтобы все они жили со мною вместе!»

Возвратившись из своей поездки, князь Андрей решился осенью ехать в Петербург и придумал разные причины этого решенья. Целый ряд разумных, логических доводов, почему ему необходимо ехать в Петербург и даже служить, ежеминутно был готов к его услугам. Он даже теперь не понимал, как мог он когда нибудь сомневаться в необходимости принять деятельное участие в жизни, точно так же как месяц тому назад он не понимал, как могла бы ему притти мысль уехать из деревни. Ему казалось ясно, что все его опыты жизни должны были пропасть даром и быть бессмыслицей, ежели бы он не приложил их к делу и не принял опять деятельного участия в жизни. Он даже не понимал того, как на основании таких же бедных разумных доводов прежде очевидно было, что он бы унизился, ежели бы теперь после своих уроков жизни опять бы поверил в возможность приносить пользу и в возможность счастия и любви. Теперь разум подсказывал совсем другое. После этой поездки князь Андрей стал скучать в деревне, прежние занятия не интересовали его, и часто, сидя один в своем кабинете, он вставал, подходил к зеркалу и долго смотрел на свое лицо. Потом он отворачивался и смотрел на портрет покойницы Лизы, которая с взбитыми a la grecque [по гречески] буклями нежно и весело смотрела на него из золотой рамки. Она уже не говорила мужу прежних страшных слов, она просто и весело с любопытством смотрела на него. И князь Андрей, заложив назад руки, долго ходил по комнате, то хмурясь, то улыбаясь, передумывая те неразумные, невыразимые словом, тайные как преступление мысли, связанные с Пьером, с славой, с девушкой на окне, с дубом, с женской красотой и любовью, которые изменили всю его жизнь. И в эти то минуты, когда кто входил к нему, он бывал особенно сух, строго решителен и в особенности неприятно логичен.
– Mon cher, [Дорогой мой,] – бывало скажет входя в такую минуту княжна Марья, – Николушке нельзя нынче гулять: очень холодно.
– Ежели бы было тепло, – в такие минуты особенно сухо отвечал князь Андрей своей сестре, – то он бы пошел в одной рубашке, а так как холодно, надо надеть на него теплую одежду, которая для этого и выдумана. Вот что следует из того, что холодно, а не то чтобы оставаться дома, когда ребенку нужен воздух, – говорил он с особенной логичностью, как бы наказывая кого то за всю эту тайную, нелогичную, происходившую в нем, внутреннюю работу. Княжна Марья думала в этих случаях о том, как сушит мужчин эта умственная работа.


Князь Андрей приехал в Петербург в августе 1809 года. Это было время апогея славы молодого Сперанского и энергии совершаемых им переворотов. В этом самом августе, государь, ехав в коляске, был вывален, повредил себе ногу, и оставался в Петергофе три недели, видаясь ежедневно и исключительно со Сперанским. В это время готовились не только два столь знаменитые и встревожившие общество указа об уничтожении придворных чинов и об экзаменах на чины коллежских асессоров и статских советников, но и целая государственная конституция, долженствовавшая изменить существующий судебный, административный и финансовый порядок управления России от государственного совета до волостного правления. Теперь осуществлялись и воплощались те неясные, либеральные мечтания, с которыми вступил на престол император Александр, и которые он стремился осуществить с помощью своих помощников Чарторижского, Новосильцева, Кочубея и Строгонова, которых он сам шутя называл comite du salut publique. [комитет общественного спасения.]
Теперь всех вместе заменил Сперанский по гражданской части и Аракчеев по военной. Князь Андрей вскоре после приезда своего, как камергер, явился ко двору и на выход. Государь два раза, встретив его, не удостоил его ни одним словом. Князю Андрею всегда еще прежде казалось, что он антипатичен государю, что государю неприятно его лицо и всё существо его. В сухом, отдаляющем взгляде, которым посмотрел на него государь, князь Андрей еще более чем прежде нашел подтверждение этому предположению. Придворные объяснили князю Андрею невнимание к нему государя тем, что Его Величество был недоволен тем, что Болконский не служил с 1805 года.
«Я сам знаю, как мы не властны в своих симпатиях и антипатиях, думал князь Андрей, и потому нечего думать о том, чтобы представить лично мою записку о военном уставе государю, но дело будет говорить само за себя». Он передал о своей записке старому фельдмаршалу, другу отца. Фельдмаршал, назначив ему час, ласково принял его и обещался доложить государю. Через несколько дней было объявлено князю Андрею, что он имеет явиться к военному министру, графу Аракчееву.