Задача двух тел

В классической механике, задача двух тел состоит в том, чтобы определить движение двух точечных частиц, которые взаимодействуют только друг с другом. Распространённые примеры включают спутник, обращающийся вокруг планеты, планета, обращающаяся вокруг звезды, две звезды, обращающиеся вокруг друг друга (двойная звезда), и классический электрон, движущийся вокруг атомного ядра.

Задачу двух тел можно представить как две независимые задачи одного тела, которые привлекают решение для движения одной частицы во внешнем потенциале. Так как многие задачи с одним телом могут быть решены точно, соответствующая задача с двумя телами также может быть решена. В отличие от этого, задача с тремя телами (и, более широко, задача n тел) не может быть решена, кроме специальных случаев.

Постановка задачи

Пусть <math>\mathbf{x}_{1}</math> и <math>\mathbf{x}_{2}</math> радиус-векторы двух тел, а <math>m_{1}</math> и <math>m_{2}</math> их массы. Наша цель определить траектории <math>\mathbf{x}_{1}(t)</math> и <math>\mathbf{x}_{2}(t)</math> для любого времени <math>t</math>, при заданных начальных координатах

<math>\mathbf{x}_{1}(t=0)</math>, <math>\mathbf{x}_{2}(t=0)</math>

и скоростях

<math>\dot{\mathbf{x}}_{1}(t=0)</math>, <math>\dot{\mathbf{x}}_{2}(t=0)</math>.

Второй закон Ньютона применительно к данной системе утверждает, что

<math>\mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{1} \ddot{\mathbf{x}}_{1} \quad \quad \quad (1)</math>

<math>\mathbf{F}_{21}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = m_{2} \ddot{\mathbf{x}}_{2} \quad \quad \quad (2)</math>

где

<math>\mathbf{F}_{12}</math> — сила, действующая на первое тело из-за взаимодействия со вторым телом, и

<math>\mathbf{F}_{21}</math> — сила, действующая на второе тело со стороны первого.

Складывая и вычитая эти два уравнения, можно разделить одну задачу на две задачи с одним телом, которые могут быть решены независимо. "Сложение" уравнений (1) и (2) приводит к уравнению, описывающему движение центра масс . В отличие от этого, "вычитание" уравнения (2) из уравнения (1) приводит к уравнению, которое описывает, как вектор <math>\mathbf{r} \equiv \mathbf{x}_{1} - \mathbf{x}_{2}</math> между массами изменяется со временем. Решение этих независимых задач может помочь в нахождении траекторий <math>\mathbf{x}_{1}(t)</math> и <math>\mathbf{x}_{2}(t)</math>.

Движение центра масс (первая задача)

Сложение уравнений (1) и (2) приводит к равенству

<math>

m_{1}\ddot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\ddot{\mathbf{x}}_{2} = (m_{1} + m_{2})\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = \mathbf{F}_{12} + \mathbf{F}_{21} = 0 </math>

где мы использовали третий закон Ньютона <math>\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}</math> и где

<math>\mathbf{x}_{cm} \equiv \frac{m_{1}\mathbf{x}_{1} + m_{2}\mathbf{x}_{2}}{m_{1} + m_{2}}</math>

позиция центра масс системы. Уравнение в итоге запишется в виде

<math>

\ddot{\mathbf{x}}_{cm} = 0 </math> Оно показывает, что скорость <math>\dot{\mathbf{x}}_{cm}</math> центра масс постоянна. Отсюда следует, что полный момент количества движения <math>m_{1}\dot{\mathbf{x}}_{1} + m_{2}\dot{\mathbf{x}}_{2}</math> также сохраняется (сохранение импульса). Позиция и скорость центра масс может быть получена в любой момент времени.

Движение вектора смещения (вторая задача)

Вычитая уравнение (2) из уравнения (1) и преобразуя приходим к уравнению

<math>

\ddot{\mathbf{x}}_{1} - \ddot{\mathbf{x}}_{2} = \left( \frac{\mathbf{F}_{12}}{m_{1}} - \frac{\mathbf{F}_{21}}{m_{2}} \right) = \left(\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}} \right)\mathbf{F}_{12} </math>

где мы снова использовали третий закон Ньютона <math>\mathbf{F}_{12} = -\mathbf{F}_{21}</math> и где <math>\mathbf{r}</math> (определённый выше) - вектор смещения, направленный от второго тела к первому.

Сила между двумя телами должна быть функцией только <math>\mathbf{r}</math> а не абсолютных положений <math>\mathbf{x}_{1}</math> и <math>\mathbf{x}_{2}</math>; в противном случае задача не имеет трансляционной симметрии, то есть законы физики менялись бы от точки к точке. Таким образом можно записать:

<math>

\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}_{12}(\mathbf{x}_{1},\mathbf{x}_{2}) = \mathbf{F}(\mathbf{r}) </math>

где <math>\mu</math> -приведённая масса

<math>

\mu = \frac{1}{\frac{1}{m_{1}} + \frac{1}{m_{2}}} = \frac{m_{1}m_{2}}{m_{1} + m_{2}} </math>

Как только мы найдём решение для <math>\mathbf{x}_{cm}(t)</math> и <math>\mathbf{r}(t)</math>, первоначальные траектории можно записать в виде

<math>

\mathbf{x}_{1}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) + \frac{m_{2}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t) </math>

<math>

\mathbf{x}_{2}(t) = \mathbf{x}_{cm}(t) - \frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} \mathbf{r}(t) </math> как может быть показано подстановкой в уравнения для <math>\mathbf{x}_{cm}(t)</math> и <math>\mathbf{r}(t)</math>.

Решение задачи двух тел

Согласно третьему закону Ньютона силы, с которыми тела действуют друг на друга, равны по величине и противоположны по направлению. Таким образом, для задачи двух тел можно записать

<math>m_1\ddot{\mathbf{r}}_1 + m_2\ddot{\mathbf{r}}_2 = 0.</math>

Проинтегрировав это уравнение два раза, получим

<math>m_1\dot{\mathbf{r}}_1 + m_2\dot{\mathbf{r}}_2 = \mathbf{a};</math>

<math>m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2 = \mathbf{a}t + \mathbf{b},</math>

где a и b – некоторые векторы.

Обозначив через r и M координату центра тяжести двух тел и их суммарную массу соответственно

<math>M = m_1 + m_2;</math>

<math>M\mathbf{r} = m_1\mathbf{r}_1 + m_2\mathbf{r}_2,</math>

получим

<math>M\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{a},</math>

то есть центр масс системы движется с постоянной скоростью.

Запишем силы, действующие на каждое из тел, следующим образом

<math>\ddot{\mathbf{r}}_1 = Gm_2\frac{\mathbf{r}}{r^3};\;\;\;

\ddot{\mathbf{r}}_2 = -Gm_1\frac{\mathbf{r}}{r^3},</math>     где     <math>\mathbf{r} = \mathbf{r}_2 - \mathbf{r}_1.</math>

Вычитая второе уравнение из первого, получим

<math>\ddot{\mathbf{r}} = -\frac{\mu\mathbf{r}}{r^3},</math>     где     <math>\mu = G(m_1+m_2). \;\;\; (1)</math>

Векторно умножая последнее уравнение на r и интегрируя, получим

<math>\mathbf{r} \times \ddot{\mathbf{r}} = 0;</math>

<math>\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h}.</math>

Постоянный вектор h, являющийся постоянной интегрирования, называется кинетическим моментом системы. Взаимное движение тел происходит в плоскости, перпендикулярной этому вектору. Введём систему цилиндрических координат r, φ, z. Единичные векторы вдоль радиальной, трансверсальной и вертикальной оси обозначим как i, j и k. Проекции скорости на радиальную и трансверсальную оси составят

<math>\dot{\mathbf{r}}_r = \mathbf{i}\dot r;

~~~\dot{\mathbf{r}}_\phi = \mathbf{j}r\dot\phi, ~~~\dot{\mathbf{r}} = \mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi.</math> Тогда

<math>\mathbf{r} \times \dot{\mathbf{r}} = \mathbf{h};</math>

<math>\mathbf{i}r \times (\mathbf{i}\dot r + \mathbf{j}r\dot\phi) = \mathbf{k}h;</math>

<math>\mathbf{i}r \times \mathbf{j}r\dot\phi = \mathbf{k}h;</math>

<math>\mathbf{k}r^2\dot\phi = \mathbf{k}h;</math>

<math>r^2\dot\phi = h.</math>

В левой части последнего выражения стоит удвоенная площадь треугольника, описываемого радиус-вектором r за единицу времени. Таким образом, это соотношение является математической записью второго закона Кеплера.

Уравнение (1) умножаем скалярно на скорость и интегрируем. Получим

Подробный вывод  

<math>\dot{\mathbf{r

\cdot\ddot{\mathbf{r}} = -\mu\frac{\dot{\mathbf{r}}\cdot\mathbf{r}}{r^3};</math>

Распишем последнее выражение в координатах:

<math>\frac{dx}{dt} \frac{d^2x}{dt^2} +

\frac{dy}{dt} \frac{d^2y}{dt^2} = -\frac{\mu}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}} \left( x\frac{dx}{dt} + y\frac{dy}{dt} \right); </math>

<math>\frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right) +

\frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right) = -\frac{\mu\left( xdx+ydy \right)}{\sqrt{\left( x^2+y^2\right)^3}}. </math>

Заметим, что

<math>d\left(r^2\right)=d\left(x^2+y^2\right)=2xdx+2ydy.</math>

Тогда

<math>\frac{dx}{dt}d\left(\frac{dx}{dt}\right) +

\frac{dy}{dt}d\left(\frac{dy}{dt}\right) = -\frac{\mu}{2}\left(r^2\right)^{-3/2}d\left(r^2\right). </math>

Интегрируя обе части, получим

<math>\frac{1}{2}\left(\frac{dx}{dt}\right)^2

+\frac{1}{2}\left(\frac{dy}{dt}\right)^2 = -\frac{\mu}{2}\frac{\left(r^2\right)^{-1/2}}{-1/2} + C; </math>

<math>\frac{v^2}{2} = \frac{\mu}{r} + C;</math>

}}

<math>\frac{v^2}{2} - \frac{\mu}{r} = C.</math>

Последнее соотношение является выражением закона сохранения механической энергии в системе.

Движение двух тел в плоскости

Замечательно, что движение двух тел всегда происходит в плоскости. Определим линейный импульс <math>\mathbf{p} = \mu \dot{\mathbf{r}}</math> и угловой момент

<math>

\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} </math>

Скорость изменения углового момента равна моменту силы <math>\mathbf{N}</math>

<math>

\frac{d\mathbf{L}}{dt} = \dot{\mathbf{r}} \times \mu\dot{\mathbf{r}} + \mathbf{r} \times \mu\ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = \mathbf{N} </math>

однако законы движения Ньютона выполняются для всех физических сил, и гласят, что сила, действующая между двумя частицами (материальными точками) направлена по линии соединяющей их положения, то есть <math>\mathbf{F} || \mathbf{r}</math>. Отсюда <math>\mathbf{r} \times \mathbf{F} = 0</math> и угловой момент сохраняется. тогда вектор смещения <math>\mathbf{r}</math> и его скорость <math>\dot{\mathbf{r}}</math> лежат в плоскости перпендикулярной постоянному вектору <math>\mathbf{L}</math>.

Общее решение для силы, зависящей от расстояния

Часто полезно перейти в полярные координаты, поскольку движение происходит в плоскости и для многих физических задач сила <math>\mathbf{F}(\mathbf{r})</math> является функцией радиуса <math>r</math> (центральные силы). Поскольку r-компонента ускорения равняется <math>\ddot{r} - r \dot{\theta}^{2}</math>, уравнение для r-компоненты вектора смещения <math>\mu \ddot{\mathbf{r}} = \mathbf{F}(r) \equiv F(r)</math> можно переписать в виде

<math>

\mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \mu r \omega^{2} = \mu\frac{d^{2}r}{dt^{2}} - \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r) </math>

где <math>\omega \equiv \dot\theta</math> и угловой момент <math>L = \mu r^{2}\omega</math> сохраняется. сохранение углового момента позволят найти решение для траектории <math>r(\theta)</math> используя замену переменных. Переходя от <math>t</math> к <math>\theta</math>

<math>

\frac{d}{dt} = \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{d}{d\theta} </math>

получим уравнение движения

<math>

\frac{L}{r^{2}} \frac{d}{d\theta} \left( \frac{L}{\mu r^{2}} \frac{dr}{d\theta} \right)- \frac{L^{2}}{\mu r^{3}} = F(r) </math>

Это уравнение становится квазилинейным при замене переменных <math>u \equiv \frac{1}{r}</math> и умножение обеих частей уравнения на <math>\frac{\mu r^{2}}{L^{2}} = \frac{\mu}{L^{2} u^{2}}</math>

<math>

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = -\frac{\mu}{L^{2}u^{2}} F(1/u) </math>

Применение

Для сил <math>F</math> обратно пропорциональных квадрату расстояния, таких как гравитация или электростатика в классической физике получим

<math>

F = \frac{\alpha}{r^{2}} = \alpha u^{2} </math>

для некоторых констант <math>\alpha</math>, уравнение для траекторий становится линейным

<math>

\frac{d^{2}u}{d\theta^{2}} + u = \frac{\alpha \mu}{L^{2}} </math>

Решение этого уравнения

<math>

u(\theta) \equiv \frac{1}{r(\theta)} = \frac{\alpha \mu}{L^{2}} + A \cos(\theta - \theta_{0}) </math>

где <math>A>0</math> и <math>\theta_{0}</math> константы. Это решение показывает, что орбита представляет собой коническое сечение, то есть эллипс, гиперболу или параболу, в зависимости от того меньше <math>A</math> выражения <math>\frac{\alpha \mu}{L^{2}}</math>, больше или равно.

Задача двух тел в ОТО

Нормальная орбита любого тела, захваченного притяжением другого тела, представляет собой эллипс или окружность — именно такие орбиты мы наблюдаем в Солнечной системе. Однако, общая теория относительности утверждает, что в окрестностях крайне массивных тел — там, где пространство оказывается сильно искривлено благодаря наличию колоссального гравитационного поля — спектр возможных стабильных орбит значительно расширяется, Напротив, устойчивые в классической задаче двух тел орбиты оказываются неустойчивыми в релятивистской задаче двух тел. При малых расстояниях от притягивающего центра исчезает существующий в классической кеплеровской задаче «центробежный барьер», не позволяющий пробной частице упасть на притягивающий центр.

На самом деле даже в относительно слабом гравитационном поле в Солнечной системе наблюдаются релятивистские отклонения от классических эллиптических орбит. Такое отклонение для Меркурия (поворот перигелия орбиты со скоростью около 43 угловых секунд за столетие), не предсказываемое ньютоновской механикой, было известно задолго до создания общей теории относительности, которая смогла объяснить этот ранее загадочный эффект.

Пример

Любая классическая система, состоящая из двух частиц, по определению задача двух тел. Во многих случаях, однако, одно тело много тяжелее другого, как например в системе Земля и Солнце. В таких случаях более тяжёлая частица играет роль центра масс и задача сводится к задаче о движения одного тела в потенциале другого.

См. также

• Законы Кеплера
• Теорема о вириале
• Задача трёх тел
• Гравитационная задача N тел
• Задача Бертрана

Литература

• Курс теоретической физики Ландау и Лифшица
• H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

Отрывок, характеризующий Задача двух тел

– On fera du chemin cette fois ci. Oh! quand il s'en mele lui meme ca chauffe… Nom de Dieu… Le voila!.. Vive l'Empereur! Les voila donc les Steppes de l'Asie! Vilain pays tout de meme. Au revoir, Beauche; je te reserve le plus beau palais de Moscou. Au revoir! Bonne chance… L'as tu vu, l'Empereur? Vive l'Empereur!.. preur! Si on me fait gouverneur aux Indes, Gerard, je te fais ministre du Cachemire, c'est arrete. Vive l'Empereur! Vive! vive! vive! Les gredins de Cosaques, comme ils filent. Vive l'Empereur! Le voila! Le vois tu? Je l'ai vu deux fois comme jete vois. Le petit caporal… Je l'ai vu donner la croix a l'un des vieux… Vive l'Empereur!.. [Теперь походим! О! как он сам возьмется, дело закипит. Ей богу… Вот он… Ура, император! Так вот они, азиатские степи… Однако скверная страна. До свиданья, Боше. Я тебе оставлю лучший дворец в Москве. До свиданья, желаю успеха. Видел императора? Ура! Ежели меня сделают губернатором в Индии, я тебя сделаю министром Кашмира… Ура! Император вот он! Видишь его? Я его два раза как тебя видел. Маленький капрал… Я видел, как он навесил крест одному из стариков… Ура, император!] – говорили голоса старых и молодых людей, самых разнообразных характеров и положений в обществе. На всех лицах этих людей было одно общее выражение радости о начале давно ожидаемого похода и восторга и преданности к человеку в сером сюртуке, стоявшему на горе.
13 го июня Наполеону подали небольшую чистокровную арабскую лошадь, и он сел и поехал галопом к одному из мостов через Неман, непрестанно оглушаемый восторженными криками, которые он, очевидно, переносил только потому, что нельзя было запретить им криками этими выражать свою любовь к нему; но крики эти, сопутствующие ему везде, тяготили его и отвлекали его от военной заботы, охватившей его с того времени, как он присоединился к войску. Он проехал по одному из качавшихся на лодках мостов на ту сторону, круто повернул влево и галопом поехал по направлению к Ковно, предшествуемый замиравшими от счастия, восторженными гвардейскими конными егерями, расчищая дорогу по войскам, скакавшим впереди его. Подъехав к широкой реке Вилии, он остановился подле польского уланского полка, стоявшего на берегу.
– Виват! – также восторженно кричали поляки, расстроивая фронт и давя друг друга, для того чтобы увидать его. Наполеон осмотрел реку, слез с лошади и сел на бревно, лежавшее на берегу. По бессловесному знаку ему подали трубу, он положил ее на спину подбежавшего счастливого пажа и стал смотреть на ту сторону. Потом он углубился в рассматриванье листа карты, разложенного между бревнами. Не поднимая головы, он сказал что то, и двое его адъютантов поскакали к польским уланам.
– Что? Что он сказал? – слышалось в рядах польских улан, когда один адъютант подскакал к ним.
Было приказано, отыскав брод, перейти на ту сторону. Польский уланский полковник, красивый старый человек, раскрасневшись и путаясь в словах от волнения, спросил у адъютанта, позволено ли ему будет переплыть с своими уланами реку, не отыскивая брода. Он с очевидным страхом за отказ, как мальчик, который просит позволения сесть на лошадь, просил, чтобы ему позволили переплыть реку в глазах императора. Адъютант сказал, что, вероятно, император не будет недоволен этим излишним усердием.
Как только адъютант сказал это, старый усатый офицер с счастливым лицом и блестящими глазами, подняв кверху саблю, прокричал: «Виват! – и, скомандовав уланам следовать за собой, дал шпоры лошади и подскакал к реке. Он злобно толкнул замявшуюся под собой лошадь и бухнулся в воду, направляясь вглубь к быстрине течения. Сотни уланов поскакали за ним. Было холодно и жутко на середине и на быстрине теченья. Уланы цеплялись друг за друга, сваливались с лошадей, лошади некоторые тонули, тонули и люди, остальные старались плыть кто на седле, кто держась за гриву. Они старались плыть вперед на ту сторону и, несмотря на то, что за полверсты была переправа, гордились тем, что они плывут и тонут в этой реке под взглядами человека, сидевшего на бревне и даже не смотревшего на то, что они делали. Когда вернувшийся адъютант, выбрав удобную минуту, позволил себе обратить внимание императора на преданность поляков к его особе, маленький человек в сером сюртуке встал и, подозвав к себе Бертье, стал ходить с ним взад и вперед по берегу, отдавая ему приказания и изредка недовольно взглядывая на тонувших улан, развлекавших его внимание.
Для него было не ново убеждение в том, что присутствие его на всех концах мира, от Африки до степей Московии, одинаково поражает и повергает людей в безумие самозабвения. Он велел подать себе лошадь и поехал в свою стоянку.
Человек сорок улан потонуло в реке, несмотря на высланные на помощь лодки. Большинство прибилось назад к этому берегу. Полковник и несколько человек переплыли реку и с трудом вылезли на тот берег. Но как только они вылезли в обшлепнувшемся на них, стекающем ручьями мокром платье, они закричали: «Виват!», восторженно глядя на то место, где стоял Наполеон, но где его уже не было, и в ту минуту считали себя счастливыми.
Ввечеру Наполеон между двумя распоряжениями – одно о том, чтобы как можно скорее доставить заготовленные фальшивые русские ассигнации для ввоза в Россию, и другое о том, чтобы расстрелять саксонца, в перехваченном письме которого найдены сведения о распоряжениях по французской армии, – сделал третье распоряжение – о причислении бросившегося без нужды в реку польского полковника к когорте чести (Legion d'honneur), которой Наполеон был главою.
Qnos vult perdere – dementat. [Кого хочет погубить – лишит разума (лат.) ]


Русский император между тем более месяца уже жил в Вильне, делая смотры и маневры. Ничто не было готово для войны, которой все ожидали и для приготовления к которой император приехал из Петербурга. Общего плана действий не было. Колебания о том, какой план из всех тех, которые предлагались, должен быть принят, только еще более усилились после месячного пребывания императора в главной квартире. В трех армиях был в каждой отдельный главнокомандующий, но общего начальника над всеми армиями не было, и император не принимал на себя этого звания.
Чем дольше жил император в Вильне, тем менее и менее готовились к войне, уставши ожидать ее. Все стремления людей, окружавших государя, казалось, были направлены только на то, чтобы заставлять государя, приятно проводя время, забыть о предстоящей войне.
После многих балов и праздников у польских магнатов, у придворных и у самого государя, в июне месяце одному из польских генерал адъютантов государя пришла мысль дать обед и бал государю от лица его генерал адъютантов. Мысль эта радостно была принята всеми. Государь изъявил согласие. Генерал адъютанты собрали по подписке деньги. Особа, которая наиболее могла быть приятна государю, была приглашена быть хозяйкой бала. Граф Бенигсен, помещик Виленской губернии, предложил свой загородный дом для этого праздника, и 13 июня был назначен обед, бал, катанье на лодках и фейерверк в Закрете, загородном доме графа Бенигсена.
В тот самый день, в который Наполеоном был отдан приказ о переходе через Неман и передовые войска его, оттеснив казаков, перешли через русскую границу, Александр проводил вечер на даче Бенигсена – на бале, даваемом генерал адъютантами.
Был веселый, блестящий праздник; знатоки дела говорили, что редко собиралось в одном месте столько красавиц. Графиня Безухова в числе других русских дам, приехавших за государем из Петербурга в Вильну, была на этом бале, затемняя своей тяжелой, так называемой русской красотой утонченных польских дам. Она была замечена, и государь удостоил ее танца.
Борис Друбецкой, en garcon (холостяком), как он говорил, оставив свою жену в Москве, был также на этом бале и, хотя не генерал адъютант, был участником на большую сумму в подписке для бала. Борис теперь был богатый человек, далеко ушедший в почестях, уже не искавший покровительства, а на ровной ноге стоявший с высшими из своих сверстников.
В двенадцать часов ночи еще танцевали. Элен, не имевшая достойного кавалера, сама предложила мазурку Борису. Они сидели в третьей паре. Борис, хладнокровно поглядывая на блестящие обнаженные плечи Элен, выступавшие из темного газового с золотом платья, рассказывал про старых знакомых и вместе с тем, незаметно для самого себя и для других, ни на секунду не переставал наблюдать государя, находившегося в той же зале. Государь не танцевал; он стоял в дверях и останавливал то тех, то других теми ласковыми словами, которые он один только умел говорить.
При начале мазурки Борис видел, что генерал адъютант Балашев, одно из ближайших лиц к государю, подошел к нему и непридворно остановился близко от государя, говорившего с польской дамой. Поговорив с дамой, государь взглянул вопросительно и, видно, поняв, что Балашев поступил так только потому, что на то были важные причины, слегка кивнул даме и обратился к Балашеву. Только что Балашев начал говорить, как удивление выразилось на лице государя. Он взял под руку Балашева и пошел с ним через залу, бессознательно для себя расчищая с обеих сторон сажени на три широкую дорогу сторонившихся перед ним. Борис заметил взволнованное лицо Аракчеева, в то время как государь пошел с Балашевым. Аракчеев, исподлобья глядя на государя и посапывая красным носом, выдвинулся из толпы, как бы ожидая, что государь обратится к нему. (Борис понял, что Аракчеев завидует Балашеву и недоволен тем, что какая то, очевидно, важная, новость не через него передана государю.)
Но государь с Балашевым прошли, не замечая Аракчеева, через выходную дверь в освещенный сад. Аракчеев, придерживая шпагу и злобно оглядываясь вокруг себя, прошел шагах в двадцати за ними.
Пока Борис продолжал делать фигуры мазурки, его не переставала мучить мысль о том, какую новость привез Балашев и каким бы образом узнать ее прежде других.
В фигуре, где ему надо было выбирать дам, шепнув Элен, что он хочет взять графиню Потоцкую, которая, кажется, вышла на балкон, он, скользя ногами по паркету, выбежал в выходную дверь в сад и, заметив входящего с Балашевым на террасу государя, приостановился. Государь с Балашевым направлялись к двери. Борис, заторопившись, как будто не успев отодвинуться, почтительно прижался к притолоке и нагнул голову.
Государь с волнением лично оскорбленного человека договаривал следующие слова:
– Без объявления войны вступить в Россию. Я помирюсь только тогда, когда ни одного вооруженного неприятеля не останется на моей земле, – сказал он. Как показалось Борису, государю приятно было высказать эти слова: он был доволен формой выражения своей мысли, но был недоволен тем, что Борис услыхал их.
– Чтоб никто ничего не знал! – прибавил государь, нахмурившись. Борис понял, что это относилось к нему, и, закрыв глаза, слегка наклонил голову. Государь опять вошел в залу и еще около получаса пробыл на бале.
Борис первый узнал известие о переходе французскими войсками Немана и благодаря этому имел случай показать некоторым важным лицам, что многое, скрытое от других, бывает ему известно, и через то имел случай подняться выше во мнении этих особ.