Теорема Брахмагупты

Теоре́ма Брахмагу́пты — теорема элементарной геометрии, найденная в седьмом столетии нашей эры индийским математиком Брахмагуптой.

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке <math>M</math>, то прямая, проходящая через точку <math>M</math> и перпендикулярная одной из его сторон, делит противоположную ей сторону пополам.

Замечание. По аналогии с серединным перпендикуляром (медиатрисой) к стороне треугольника отрезок FE на рисунке справа называют антимедиатрисой противоположных сторон четырехугольника. С учетом этого замечания теорема Брахмагупты может быть сформулирована в виде:

Если вписанный четырёхугольник имеет перпендикулярные диагонали, пересекающиеся в точке M, то две пары его антимедиатрис проходят через точку M.

Доказательство

На рисунке изображён вписанный четырёхугольник <math>ABCD</math>, имеющий перпендикулярные диагонали <math>AC</math> и <math>BD</math>, а прямая <math>ME</math> перпендикулярна стороне <math>BC</math> и пересекает сторону <math>DA</math> в точке <math>F</math>. Тогда <math>\angle{DMF}=\angle{BME}=\angle{MCE}\equiv\angle{ACB}=\angle{ADB}\equiv\angle{FDM}.</math> Следовательно, треугольник <math>FMD</math> — равнобедренный. Аналогично, равнобедренным будет и треугольник <math>FAM</math>. Поэтому <math>|FA|=|FM|=|FD|</math>.

Ссылки

• Коксетер Г. С. М., Грейтцер С. П. [ilib.mccme.ru/djvu/geometry/kokseter.htm Новые встречи с геометрией]. — М.: Наука, 1978. — Т. 14. — (Библиотека математического кружка).

Отрывок, характеризующий Теорема Брахмагупты

– Как доносили лазутчики, в ночь на плотах переправились последние.
– Достаточно ли фуража в Кремсе?
– Фураж не был доставлен в том количестве…
Император перебил его.
– В котором часу убит генерал Шмит?…
– В семь часов, кажется.
– В 7 часов. Очень печально! Очень печально!
Император сказал, что он благодарит, и поклонился. Князь Андрей вышел и тотчас же со всех сторон был окружен придворными. Со всех сторон глядели на него ласковые глаза и слышались ласковые слова. Вчерашний флигель адъютант делал ему упреки, зачем он не остановился во дворце, и предлагал ему свой дом. Военный министр подошел, поздравляя его с орденом Марии Терезии З й степени, которым жаловал его император. Камергер императрицы приглашал его к ее величеству. Эрцгерцогиня тоже желала его видеть. Он не знал, кому отвечать, и несколько секунд собирался с мыслями. Русский посланник взял его за плечо, отвел к окну и стал говорить с ним.
Вопреки словам Билибина, известие, привезенное им, было принято радостно. Назначено было благодарственное молебствие. Кутузов был награжден Марией Терезией большого креста, и вся армия получила награды. Болконский получал приглашения со всех сторон и всё утро должен был делать визиты главным сановникам Австрии. Окончив свои визиты в пятом часу вечера, мысленно сочиняя письмо отцу о сражении и о своей поездке в Брюнн, князь Андрей возвращался домой к Билибину. У крыльца дома, занимаемого Билибиным, стояла до половины уложенная вещами бричка, и Франц, слуга Билибина, с трудом таща чемодан, вышел из двери.