Общая теория относительности в многомерном пространстве

Общая теория относительности

<math>G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,</math>

Гравитация Математическая формулировка Космология

Фундаментальные принципы Специальная теория относительности · Пространство-время · Принцип эквивалентности · Мировая линия · Псевдориманова геометрия Явления Задача Кеплера в ОТО · Гравитационное линзирование · Гравитационная волна · Увлечение инерциальных систем отсчёта · Расхождение геодезических · Горизонт событий · Гравитационная сингулярность · Чёрная дыра Уравнения Уравнения Эйнштейна · Линеаризованная ОТО · Постньютоновский формализм Развитие теории Параметризованный постньютоновский формализм · Теории типа Калуцы — Клейна · Квантовая гравитация · Альтернативные теории Решения Точные решения: Шварцшильда · Райсснера — Нордстрёма · Керра · Керра — Ньюмена · Гёделя · Казнера · Фридмана — Леметра — Робертсона — Уокера Приближённые решения: Постньютоновский формализм · Ковариантная теория возмущений · Численная относительность Журналы General Relativity and Gravitation · Classical and Quantum Gravity · Гравитация и космология · Living Reviews in Relativity Известные учёные Эйнштейн · Минковский · Шварцшильд · Леметр · Эддингтон · Фридман · Фок · Керр · Чандрасекар · Пенроуз Хокинг и другие…

См. также: Портал:Физика

О́бщая тео́рия относи́тельности в многоме́рном простра́нстве — это обобщение общей теории относительности на пространство-время с размерностью больше или меньше 4. Эта теория даёт основу для так называемой геометризации взаимодействий — одного из двух путей (наряду с калибровочным подходом) к построению единой теории поля. Она состоит из различных физических теорий, которые пытаются обобщить теорию относительности Эйнштейна на более высоких размерностях. Такая попытка обобщения находится под большим влиянием теории струн и М-теории. От других многомерных моделей общая теория относительности в многомерном пространстве отличается фиксированным видом используемой лагранжевой плотности — в данной теории это может быть только скалярная кривизна.

Математическая основа

Как известно, уравнения Эйнштейна для гравитации, получаемые варьированием из действия Эйнштейна — Гильберта, не содержат никаких внутренних ограничений на размерность пространства и его сигнатуру, и содержат лишь очень слабые ограничения на топологию. Они лишь связывают локально для некого пространства метрический тензор, который описывает геометрические свойства этого пространства, с тензором энергии-импульса, который описывает содержащиеся в этом пространстве материальные (негравитационные) поля.

Размерность, топология и сигнатура пространства должны быть заданы дополнительно, что позволяет легко обобщить общую теорию относительности на пространства с большим или меньшим числом измерений как собственно пространства, так и времени. Количество пространственных и временных измерений определяется сигнатурой метрического тензора, а точнее, количествами его собственных значений разных знаков, положительных и отрицательных. Например, в евклидовой квантовой гравитации фигурируют лишь 4 пространственных измерения вообще без временного.

В содержательной теории подобного типа, по-видимому, в пространстве должно быть не менее 4 измерений. Дело в том, что одномерное пространство вообще не может быть внутренне искривлено, кривизна двумерного пространства полностью определяется его скалярной кривизной, а трёхмерного — тензором Риччи, почему согласно с уравнениями Эйнштейна вне компактного распределения полей в таких пространствах никаких эффектов наблюдаться вообще не будет (кроме глобальных топологических, см. космическая струна). Только начиная с четырёхмерного пространства появляется дальнодействие гравитационного поля — оно может распространяться за пределы породившего его объекта и даже образовывать волны в пустом пространстве, что связано с тем, что описание кривизны, начиная с этой размерности, требует также знания тензора Вейля.

Высшая размерность пространства для уравнений Эйнштейна не ограничена. Поэтому можно рассматривать уравнения Эйнштейна в любом пространстве с размерностью более трёх. Основной проблемой при этом является физическая интерпретация высших размерностей.

Физическая интерпретация высших измерений

Мы живём в трёхмерном пространстве и одномерном времени. Наши приборы не фиксируют наличия высших измерений, которые вводятся в этой теории. Это пытаются объяснить разными способами, исторически первый из них возник в теории Калуцы — Клейна: высшие размерности в каждой точке имеют замкнутую топологию (в виде сфер, торов или многообразий Калаби — Яу) с диаметрами порядка планковской длины, поэтому они никак не проявляют себя в обычных условиях. Чтобы «развернуть» эти размерности, нужна огромная энергия, так как возбуждения полей по ним имеют субпланковскую длину волны и соответствующую энергию. Эта возможность называется компактными дополнительными измерениями.

С другой стороны, можно считать, что все измерения равноправны, но наблюдаемые нами физические поля и взаимодействия каким-то образом привязаны к четырёхмерной гиперповерхности — бране — в пространстве большей размерности. Такой подход популярен среди приверженцев теории струн и позволяет, как утверждается, решить проблему тёмной материи.

Наиболее простой моделью пространства, которая позволяет объединить все 4 вида фундаментальных взаимодействий является 10-мерная (11-мерная в теориях с суперсимметрией) со следующими измерениями:

• 0-е измерение <math>x^0 = c t</math> — время;
• 1-е измерение <math>x^1 = x</math> — «длина»;
• 2-е измерение <math>x^2 = y</math> — «ширина»;
• 3-е измерение <math>x^3 = z</math> — «высота»;
• 4-е измерение <math>x^4</math> — электрический заряд;
• 5-е измерение <math>x^5</math> — гиперзаряд;
• 6-е измерение <math>x^6</math> — проекция изоспина;
• 7-е измерение <math>x^7</math> — цвет 1;
• 8-е измерение <math>x^8</math> — цвет 2;
• 9-е измерение <math>x^9</math> — цвет 3.

Из-за своей компактности, дополнительные измерения вводятся в уравнения как колебательные степени свободы.

История

После создания общей теории относительности, которая является релятивистской геометрической теорией гравитации, теоретики стали пытаться объединить с ней теорию электромагнетизма Максвелла также геометрическим путём. Как оказалось, сделать это в рамках четырёх измерений невозможно. Это стало ясно после провала теории Вейля, который пытался объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках четырёхмерного пространства, используя сложную геометрию с кручением (геометрия Вейля). Эта теория давала физические следствия, противоречащие экспериментальным, например, скорость хода часов зависела в ней от их истории.

Впервые попытку объединить гравитацию и электромагнетизм в рамках пяти измерений предпринял Т. Калуца (см. теория Калуцы — Клейна). Пятимерные уравнения Эйнштейна путём (4+1)-расщепления удалось разделить на четырёхмерные уравнения Эйнштейна и уравнения Максвелла. Неясной в таком подходе является причина такого расщепления и требование, которое пришлось предъявить к допустимым преобразованиям координат (они должны оставлять неизменной и равной единице электромагно-электромагнитную компоненту метрики) — это влечёт потерю общей ковариантности теории. Но наиболее существенным недостатком теории стало верхняя граница на отношение заряда частицы к её массе, совпадающая по форме с ограничением на существование горизонта событий в пространстве чёрной дыры Рейсснера — Нордстрёма, которому противоречат электроны и все другие известные заряженные элементарные частицы.

Открытие в 1960-х Вайнбергом, Саламом и Глэшоу единства электрослабого взаимодействия позволило вывести и слабые взаимодействия из уравнений Эйнштейна, правда для этого их размерность пришлось увеличить до семи. Таким образом происходит нарастание размерности пространства:

• 3 измерения — «классический мир»
• 4 измерения — общая теория относительности (гравитация)
• 5 измерений — теория Калуцы-Клейна (гравитация и электромагнетизм)
• 7 измерений — электрослабое взаимодействие + ОТО (гравитация, электромагнетизм и слабое взаимодействие)
• 10 измерений — хромодинамика + электрослабое взаимодействие + ОТО (гравитация, электромагнетизм, слабое и сильное взаимодействия)
• 11 измерений — хромодинамика + электрослабое взаимодействие + ОТО + суперсимметрия (супергравитация)
• 12 измерений — супергравитация с двухмерным временем (теория Барса)

Экспериментальная проверка

В настоящее время (2010 год) предположение о существовании дополнительных измерений продолжает развиваться благодаря огромному количеству теоретических рассуждений, но не имеет никаких экспериментальных подтверждений, в отличие от четырёхмерной общей теории относительности. В частности, в одном из вариантов пятимерной теории относительности электрический заряд не является инвариантом в гравитационном поле и его величина может меняться в зависимости от гравитации. Для экспериментальной проверки этого предложено, например, изучать эффект Холла, когда Земля находится в перигелии и в афелии. Однако, чувствительность современной аппаратуры недостаточна для обнаружения предсказываемых эффектов.

Ввиду невозможности проверки многомерных обобщений ОТО в лабораторных условиях, ведётся наблюдение за космическими объектами, чья мощная гравитация могла бы выявить новые явления, но пока тоже безрезультатно.

Литература

Ю. С. Владимиров Размерность физического пространства-времени и объединение взаимодействий. — М.: Изд-во МГУ, 1987.

Отрывок, характеризующий Общая теория относительности в многомерном пространстве

– Так точно с и у папеньки в кабинете светится.
– Еще не ложились? А? как ты думаешь? Смотри же не забудь, тотчас достань мне новую венгерку, – прибавил Ростов, ощупывая новые усы. – Ну же пошел, – кричал он ямщику. – Да проснись же, Вася, – обращался он к Денисову, который опять опустил голову. – Да ну же, пошел, три целковых на водку, пошел! – закричал Ростов, когда уже сани были за три дома от подъезда. Ему казалось, что лошади не двигаются. Наконец сани взяли вправо к подъезду; над головой своей Ростов увидал знакомый карниз с отбитой штукатуркой, крыльцо, тротуарный столб. Он на ходу выскочил из саней и побежал в сени. Дом также стоял неподвижно, нерадушно, как будто ему дела не было до того, кто приехал в него. В сенях никого не было. «Боже мой! все ли благополучно?» подумал Ростов, с замиранием сердца останавливаясь на минуту и тотчас пускаясь бежать дальше по сеням и знакомым, покривившимся ступеням. Всё та же дверная ручка замка, за нечистоту которой сердилась графиня, также слабо отворялась. В передней горела одна сальная свеча.
Старик Михайла спал на ларе. Прокофий, выездной лакей, тот, который был так силен, что за задок поднимал карету, сидел и вязал из покромок лапти. Он взглянул на отворившуюся дверь, и равнодушное, сонное выражение его вдруг преобразилось в восторженно испуганное.
– Батюшки, светы! Граф молодой! – вскрикнул он, узнав молодого барина. – Что ж это? Голубчик мой! – И Прокофий, трясясь от волненья, бросился к двери в гостиную, вероятно для того, чтобы объявить, но видно опять раздумал, вернулся назад и припал к плечу молодого барина.
– Здоровы? – спросил Ростов, выдергивая у него свою руку.
– Слава Богу! Всё слава Богу! сейчас только покушали! Дай на себя посмотреть, ваше сиятельство!
– Всё совсем благополучно?
– Слава Богу, слава Богу!
Ростов, забыв совершенно о Денисове, не желая никому дать предупредить себя, скинул шубу и на цыпочках побежал в темную, большую залу. Всё то же, те же ломберные столы, та же люстра в чехле; но кто то уж видел молодого барина, и не успел он добежать до гостиной, как что то стремительно, как буря, вылетело из боковой двери и обняло и стало целовать его. Еще другое, третье такое же существо выскочило из другой, третьей двери; еще объятия, еще поцелуи, еще крики, слезы радости. Он не мог разобрать, где и кто папа, кто Наташа, кто Петя. Все кричали, говорили и целовали его в одно и то же время. Только матери не было в числе их – это он помнил.
– А я то, не знал… Николушка… друг мой!
– Вот он… наш то… Друг мой, Коля… Переменился! Нет свечей! Чаю!
– Да меня то поцелуй!
– Душенька… а меня то.
Соня, Наташа, Петя, Анна Михайловна, Вера, старый граф, обнимали его; и люди и горничные, наполнив комнаты, приговаривали и ахали.
Петя повис на его ногах. – А меня то! – кричал он. Наташа, после того, как она, пригнув его к себе, расцеловала всё его лицо, отскочила от него и держась за полу его венгерки, прыгала как коза всё на одном месте и пронзительно визжала.
Со всех сторон были блестящие слезами радости, любящие глаза, со всех сторон были губы, искавшие поцелуя.
Соня красная, как кумач, тоже держалась за его руку и вся сияла в блаженном взгляде, устремленном в его глаза, которых она ждала. Соне минуло уже 16 лет, и она была очень красива, особенно в эту минуту счастливого, восторженного оживления. Она смотрела на него, не спуская глаз, улыбаясь и задерживая дыхание. Он благодарно взглянул на нее; но всё еще ждал и искал кого то. Старая графиня еще не выходила. И вот послышались шаги в дверях. Шаги такие быстрые, что это не могли быть шаги его матери.
Но это была она в новом, незнакомом еще ему, сшитом без него платье. Все оставили его, и он побежал к ней. Когда они сошлись, она упала на его грудь рыдая. Она не могла поднять лица и только прижимала его к холодным снуркам его венгерки. Денисов, никем не замеченный, войдя в комнату, стоял тут же и, глядя на них, тер себе глаза.
– Василий Денисов, друг вашего сына, – сказал он, рекомендуясь графу, вопросительно смотревшему на него.
– Милости прошу. Знаю, знаю, – сказал граф, целуя и обнимая Денисова. – Николушка писал… Наташа, Вера, вот он Денисов.
Те же счастливые, восторженные лица обратились на мохнатую фигуру Денисова и окружили его.
– Голубчик, Денисов! – визгнула Наташа, не помнившая себя от восторга, подскочила к нему, обняла и поцеловала его. Все смутились поступком Наташи. Денисов тоже покраснел, но улыбнулся и взяв руку Наташи, поцеловал ее.
Денисова отвели в приготовленную для него комнату, а Ростовы все собрались в диванную около Николушки.
Старая графиня, не выпуская его руки, которую она всякую минуту целовала, сидела с ним рядом; остальные, столпившись вокруг них, ловили каждое его движенье, слово, взгляд, и не спускали с него восторженно влюбленных глаз. Брат и сестры спорили и перехватывали места друг у друга поближе к нему, и дрались за то, кому принести ему чай, платок, трубку.
Ростов был очень счастлив любовью, которую ему выказывали; но первая минута его встречи была так блаженна, что теперешнего его счастия ему казалось мало, и он всё ждал чего то еще, и еще, и еще.
На другое утро приезжие спали с дороги до 10 го часа.
В предшествующей комнате валялись сабли, сумки, ташки, раскрытые чемоданы, грязные сапоги. Вычищенные две пары со шпорами были только что поставлены у стенки. Слуги приносили умывальники, горячую воду для бритья и вычищенные платья. Пахло табаком и мужчинами.
– Гей, Г'ишка, т'убку! – крикнул хриплый голос Васьки Денисова. – Ростов, вставай!
Ростов, протирая слипавшиеся глаза, поднял спутанную голову с жаркой подушки.
– А что поздно? – Поздно, 10 й час, – отвечал Наташин голос, и в соседней комнате послышалось шуршанье крахмаленных платьев, шопот и смех девичьих голосов, и в чуть растворенную дверь мелькнуло что то голубое, ленты, черные волоса и веселые лица. Это была Наташа с Соней и Петей, которые пришли наведаться, не встал ли.
– Николенька, вставай! – опять послышался голос Наташи у двери.
– Сейчас!
В это время Петя, в первой комнате, увидав и схватив сабли, и испытывая тот восторг, который испытывают мальчики, при виде воинственного старшего брата, и забыв, что сестрам неприлично видеть раздетых мужчин, отворил дверь.
– Это твоя сабля? – кричал он. Девочки отскочили. Денисов с испуганными глазами спрятал свои мохнатые ноги в одеяло, оглядываясь за помощью на товарища. Дверь пропустила Петю и опять затворилась. За дверью послышался смех.
– Николенька, выходи в халате, – проговорил голос Наташи.
– Это твоя сабля? – спросил Петя, – или это ваша? – с подобострастным уважением обратился он к усатому, черному Денисову.
Ростов поспешно обулся, надел халат и вышел. Наташа надела один сапог с шпорой и влезала в другой. Соня кружилась и только что хотела раздуть платье и присесть, когда он вышел. Обе были в одинаковых, новеньких, голубых платьях – свежие, румяные, веселые. Соня убежала, а Наташа, взяв брата под руку, повела его в диванную, и у них начался разговор. Они не успевали спрашивать друг друга и отвечать на вопросы о тысячах мелочей, которые могли интересовать только их одних. Наташа смеялась при всяком слове, которое он говорил и которое она говорила, не потому, чтобы было смешно то, что они говорили, но потому, что ей было весело и она не в силах была удерживать своей радости, выражавшейся смехом.
– Ах, как хорошо, отлично! – приговаривала она ко всему. Ростов почувствовал, как под влиянием жарких лучей любви, в первый раз через полтора года, на душе его и на лице распускалась та детская улыбка, которою он ни разу не улыбался с тех пор, как выехал из дома.
– Нет, послушай, – сказала она, – ты теперь совсем мужчина? Я ужасно рада, что ты мой брат. – Она тронула его усы. – Мне хочется знать, какие вы мужчины? Такие ли, как мы? Нет?
– Отчего Соня убежала? – спрашивал Ростов.
– Да. Это еще целая история! Как ты будешь говорить с Соней? Ты или вы?
– Как случится, – сказал Ростов.
– Говори ей вы, пожалуйста, я тебе после скажу.
– Да что же?
– Ну я теперь скажу. Ты знаешь, что Соня мой друг, такой друг, что я руку сожгу для нее. Вот посмотри. – Она засучила свой кисейный рукав и показала на своей длинной, худой и нежной ручке под плечом, гораздо выше локтя (в том месте, которое закрыто бывает и бальными платьями) красную метину.
– Это я сожгла, чтобы доказать ей любовь. Просто линейку разожгла на огне, да и прижала.
Сидя в своей прежней классной комнате, на диване с подушечками на ручках, и глядя в эти отчаянно оживленные глаза Наташи, Ростов опять вошел в тот свой семейный, детский мир, который не имел ни для кого никакого смысла, кроме как для него, но который доставлял ему одни из лучших наслаждений в жизни; и сожжение руки линейкой, для показания любви, показалось ему не бесполезно: он понимал и не удивлялся этому.
– Так что же? только? – спросил он.
– Ну так дружны, так дружны! Это что, глупости – линейкой; но мы навсегда друзья. Она кого полюбит, так навсегда; а я этого не понимаю, я забуду сейчас.