Математическая формулировка общей теории относительности
В этой статье рассматривается математический базис общей теории относительности.
Содержание
- 1 Исходные положения
- 2 Геометрия пространства-времени
- 3 Уравнения Эйнштейна
- 4 Тензор энергии-импульса
- 5 Примечания
Исходные положения
Наше интуитивное восприятие указывает нам, что пространство-время является регулярным и непрерывным, то есть не имеет «дыр». Математически эти свойства обозначают, что пространство-время будет моделироваться гладким дифференцируемым многообразием 4 измерений <math> M_4 </math>, то есть пространством размерности 4, для которого окрестность каждой точки походит локально на четырёхмерное евклидово пространство. Гладкость здесь означает достаточную дифференцируемость, пока без уточнения её степени.
Так как кроме того с хорошей точностью выполняются законы специальной теории относительности, то такое многообразие можно наделить лоренцевой метрикой, то есть невырожденным метрическим тензором с сигнатурой <math>\{-,+,+,+\}</math> (или, что эквивалентно, <math>\{+,-,-,-\}</math>). Значение этого раскрывается в следующем разделе.
Геометрия пространства-времени
NB Эта статья следует классическим соглашениям знаков Мизнера, Торна и Уилера[1]
В этой статье принимается также соглашение Эйнштейна для суммирования по повторяющимся индексам.
Метрический тензор
Дифференцируемое многообразие[2] M, снабжённое лоренцевым метрическим тензором g, и представляет собой таким образом Лоренцево многообразие, которое составляет частный случай псевдориманова многообразия (определение «лоренцев» будет уточнено дальше в тексте; см. ниже раздел Лоренцева метрика).
Возьмём какую-нибудь систему координат <math> x^{\mu} </math> в окрестности точки <math> P </math>, и пусть <math>{\mathbf e}_{\mu}(x) </math> — локальный базис в касательном пространстве <math> T_xM </math> к многообразию <math> M </math> в точке <math>x\in M </math>. Касательный вектор <math> \mathbf w \in T_xM</math> запишется тогда как линейная комбинация базисных векторов:
| <math> \mathbf{w} \ = \ w^{\mu} \ \mathbf{e}_{\mu}.</math> |
При этом величины <math> \ w^{\mu} </math> называются контравариантными компонентами вектора w. Метрический тензор <math> \mathbf g </math> тогда — симметричная билинейная форма:
| <math>\mathbf g \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ dx^{\mu}\ \otimes \ dx^{\nu},</math> |
где через <math> dx^{\mu} </math> обозначен дуальный по отношению к <math>{\mathbf e}_{\mu}(x)</math> базис в кокасательном пространстве <math>T_x^*M</math>, то есть такие линейные формы на <math>T_xM</math>, что:
| <math> dx^{\nu} ({\mathbf e}_{\mu}) \ =\ \delta_{\mu}^{\nu}. </math> |
Далее будем предполагать, что компоненты <math> g_{\mu\nu}(x) </math> метрического тензора меняются в пространстве-времени непрерывно[3].
Метрический тензор, таким образом, может быть представлен действительной симметричной матрицей 4x4:
| <math> g_{\mu\nu} \ = \ g_{\nu\mu}. </math> |
Вообще любая действительная матрица 4x4 имеет априори 4 x 4 = 16 независимых элементов. Условие симметрии уменьшает это число до 10: на самом деле, остаётся 4 диагональных элемента, к которым надо добавить (16 — 4)/2 = 6 недиагональных элементов. Тензор <math>g_{\mu\nu}</math> обладает, таким образом, только 10 независимыми компонентами.
Скалярное произведение
Метрический тензор определяет для каждой точки <math> x \in M </math> многообразия псевдо-скалярное произведение («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора); см. Лоренцева метрика) в касательном к многообразию <math>M^{}</math> в точке <math>x</math> псевдоевклидовом пространстве <math>T_xM</math>. Если <math>\mathbf u</math> и <math>\mathbf v</math> — два вектора <math>T_xM</math>, их скалярное произведение запишется как:
| <math>\mathbf u \cdot \mathbf v \ = \ \mathbf g (\mathbf u, \mathbf v) \ = \ g_{\mu \nu} \ u^{\mu} \ v^{\nu}</math> |
В частности, взяв два базисных вектора, получаем компоненты:
| <math>g_{\mu \nu} \ = \ \mathbf g ({\mathbf e}_{\mu}, {\mathbf e}_{\nu}) \ = \ {\mathbf e}_{\mu} \cdot {\mathbf e}_{\nu} </math> |
Замечание: если величины <math>w^{\mu}</math> обозначают контравариантные компоненты вектора w, то можно определить также его ковариантные компоненты как:
| <math> w_{\mu} \ = \ \mathbf w \ \cdot \mathbf e_{\mu}.</math> |
Элементарное расстояние — интервал
Рассмотрим вектор элементарного перемещения <math> d\mathbf P \ = \ \epsilon^{\mu} \mathbf e_{\mu}</math> между точкой <math>P^{}</math> и бесконечно близкой точкой: <math> | \epsilon^{\mu} | \ll 1 </math>. Инвариантной инфинитезимальной нормой этого вектора будет действительное число, обозначаемое <math> ds^2 </math>, называемое квадратом интервала, и равное:
| <math> ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x)\ \epsilon^{\mu} \ \epsilon^{\nu}</math>. |
Если обозначить компоненты вектора элементарного перемещения «по-физически» <math> \epsilon^{\mu} = dx^{\mu} </math>, инфинитезимальный квадрат длины (интервала) запишется формально как:
| <math>ds^2 \ = \ g_{\mu\nu}(x) \ dx^{\mu} \ dx^{\nu}</math> |
Внимание: в этой формуле, а также и далее, <math>dx^{\mu}</math> представляет собой действительное число, которое интерпретируется физически как «инфинитезимальное изменение» координаты <math>x^{\mu}</math>, а не как дифференциальная форма!
Лоренцева метрика
Уточним теперь выражение «лоренцева» (точнее локально лоренцева), которое означает, что метрический тензор имеет сигнатуру (1,3) и локально совпадает в первом порядке с лоренцевой метрикой специальной теории относительности. Принцип эквивалентности утверждает, что можно «стереть» локально поле гравитации, выбирая локально инерциальную систему координат. С математической точки зрения такой выбор является переформулировкой известной теоремы о возможности приведения квадратичной формы к главным осям.
В такой локально инерциальной системе координат <math> X^{\alpha} </math> инвариант <math> ds^2 </math> в точке <math> P </math> запишется как:
| <math>ds^2 \ = \ \eta_{\alpha \beta} \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta} \ = \ - \ c^2 \, dT^2 \, + \, dX^2 \, + \, dY^2 \, + \, dZ^2,</math> |
где <math>\eta_{\alpha\beta}</math> является метрикой пространства-времени Минковского, а в малой окрестности этой точки
| <math>ds^2 \ = \ (\eta_{\alpha \beta}+\delta_{\alpha \beta}) \ dX^{\alpha} \ d X^{\beta},</math> |
где <math>\delta_{\alpha\beta}</math> имеет минимум второй порядок малости по отклонениям координат от точки <math> P </math>, то есть <math>\delta_{\alpha\beta}|_{P}=0,\ \left.\frac{\partial \delta_{\alpha\beta}}{\partial X^\alpha}\right|_{P}=0</math>. Принимая соглашение знаков Мизнера, Торна и Уилера, имеем[1]:
| <math>\eta_{\alpha \beta} \ = \ \mathrm{diag} \ ( -1, \, +1, \, +1, \, +1 \, )</math> |
Далее используются следующие обычные соглашения:
- греческие индексы меняются от 0 до 3. Они соответствуют величинам в пространстве-времени.
- латинские индексы меняются от 1 до 3. Они соответствуют пространственным составляющим величин в пространстве-времени.
Например, 4-вектор положения запишется в локально инерциальной системе координат как:
| <math> X^{\alpha} \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{i} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} X^{0} \\ X^{1} \\ X^{2} \\ X^{3} \end{matrix} \right) \ = \ \left( \begin{matrix} c \, T \\ X \\ Y \\ Z \end{matrix} \right). </math> |
Внимание: на самом деле конечные, а не инфинитезимальные приращения координат не образуют вектора. Вектор из них возникает лишь в однородном пространстве нулевой кривизны и тривиальной топологии.
Лоренцев характер многообразия <math>M^{}</math> обеспечивает, таким образом, то, что касательные к <math>M^{}</math> в каждой точке псевдоевклидова пространства будут обладать псевдоскалярными произведениями («псевдо-» в том смысле, что отсутствует положительная определённость ассоциированной квадратичной формы (квадрата вектора)) с тремя строго положительными собственными значениями (соответствующими пространству) и одним строго отрицательным собственным значением (соответствующим времени). В частности, элементарный интервал «собственного времени», отделяющий два последовательных события, всегда:
| <math> d \tau^2 \ = \ - \frac{ds^2}{c^2} \ > \ 0. </math> |
Общие понятия аффинной связности и ковариантной производной
Обобщенно, аффинной связностью называется оператор <math> \nabla </math>, который приводит в соответствие векторному полю <math> \mathbf V </math> из касательного пучка <math> TM </math> поле эндоморфизмов <math> \nabla \mathbf V </math> этого пучка. Если <math> {\mathbf w} \in T_xM </math> — касательный вектор в точке <math> x \in M </math>, обычно обозначают
| <math> \nabla_{\mathbf w} \ \mathbf V(x) \ = \ \nabla \mathbf V(x,\mathbf w).</math> |
Говорят, что <math> \nabla_{\mathbf w} \mathbf V </math> является «ковариантной производной» вектора <math>\mathbf V </math> в направлении <math> {\mathbf w} </math>. Предположим к тому же, что <math> \nabla \mathbf V </math> удовлетворяет дополнительному условию: для любой функции f справедливо
| <math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math> |
Ковариантная производная удовлетворяет следующим двум свойствам линейности:
- линейность по w, то есть, какими бы ни были поля векторов w и u и действительные числа a и b, мы имеем:
| <math>\nabla_{(a \mathbf w + b \mathbf u)} \mathbf V \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ b \ \nabla_{\mathbf u} \mathbf V.</math> |
- линейность по V, то есть, какими бы ни были поля векторов X и действительные числа a и b, мы имеем:
| <math>\nabla_{\mathbf w} (a\mathbf X + b\mathbf Y) \ = \ a \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf X \ + b \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf Y.</math> |
Как только ковариантная производная определена для полей векторов, она может быть распространена на тензорные поля с использованием правила Лейбница: если <math> \mathbf T </math> и <math> \mathbf S </math> — два любых тензора, то по определению:
| <math>\nabla_{\mathbf w}(\mathbf T \otimes \mathbf S) \ = \ (\nabla_{\mathbf w} \mathbf T )\otimes \mathbf S \ + \ \mathbf T \otimes(\nabla_{\mathbf w} \mathbf S)</math> |
Ковариантная производная поля тензора вдоль вектора w есть снова поле тензора того же типа.
Связность, ассоциированная с метрикой
Можно доказать, что связность, ассоциированная с метрикой — связность Леви-Чивиты [www.math.u-psud.fr/~pansu/web_dea/chapitre3.pdf], является единственной связностью, помимо предыдущих условий дополнительно обеспечивающей то, что для любых полей векторов X, Y, Z из TM
- <math>\nabla_{\mathbf X}(\mathbf g(\mathbf Y,\mathbf Z)) \ = \ \mathbf g(\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y,\mathbf Z) \ + \ \mathbf g(\mathbf Y,\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z)</math> (метричность — тензор неметричности равен нулю).
- <math>\nabla_{\mathbf X} \mathbf Y \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \mathbf X \ = \ [\mathbf X, \mathbf Y]</math>, где <math>[\mathbf X,\mathbf Y]</math> — коммутатор Ли от X и Y (отсутствие кручения — тензор кручения равен нулю).
Описание в координатах
Ковариантная производная вектора есть вектор, и, таким образом, она может быть выражена как линейная комбинация всех базисных векторов:
| <math>\nabla_{\mathbf w} V \ = \ \left[ \, \nabla_{\mathbf w} V \, \right]^\rho \ \mathbf e_\rho \ = \ \Gamma^\rho \ \mathbf e_\rho,</math> |
где <math> \Gamma^\rho </math> представляют собой компоненты вектора ковариантной производной в направлении <math> \mathbf e_\rho </math> (эта составляющая зависит от выбранного вектора w).
Чтобы описать ковариантную производную, достаточно описать её для каждого из базисных векторов <math> \mathbf e_\nu </math> вдоль направления <math> \mathbf e_\mu </math>. Определим тогда символы Кристоффеля (или просто кристоффели) <math> \Gamma^\rho {}_{\mu \nu}, </math> зависящие от 3 индексов[4]
| <math> \nabla_{\mu} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \nabla_{{\mathbf e}_{\mu}} {\mathbf e}_{\nu} \ = \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho</math> |
Связность Леви-Чивиты полностью характеризуется своими символами Кристоффеля. Согласно общей формуле
| <math>\nabla_{\mathbf w} (f \mathbf V) \ = \ f \ \nabla_{\mathbf w} \mathbf V \ + \ df(\mathbf w) \ \mathbf V </math> |
для вектора V:
| <math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \nabla_{\mu} (V^\nu \mathbf e_\nu) \ = \ V^\nu \ (\nabla_{\mu} \mathbf e_\nu ) \ + \ dV^\nu(\mathbf e_\mu) \ \mathbf e_\nu. </math> |
Зная, что <math> dV^\nu (\mathbf e_\mu) = \partial_\mu V^\nu </math>, получаем:
| <math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ V^\nu \ \Gamma^\rho {}_{\mu \nu} \ {\mathbf e}_\rho \ + \ \partial_\mu V^\nu \ \mathbf e_\nu </math> |
Первый член этой формулы описывает «деформацию» системы координат по отношению к ковариантной производной, а второй — изменения координат вектора V. При суммировании по немым индексам мы можем переписать это соотношение в форме
| <math>\nabla_{\mu} \mathbf V \ = \ \left[ \, V^\rho \ \Gamma^\nu {}_{\mu \rho} \ + \ \partial_\mu V^\nu \, \right] \ \mathbf e_\nu </math> |
Из этого получаем важную формулу для компонент:
| <math>\nabla_{\mu} \mathbf{V}^{\nu} \ = \ \left[ \, \nabla_{\mu} \mathbf{V} \, \right]^{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V^{\nu} \ + \ \Gamma_{~ \mu \rho}^{\nu} \ V^{\rho} </math> |
Используя формулу Лейбница, таким же образом можно продемонстрировать, что:
| <math> \nabla_{\mu} \mathbf{V}_{\nu} \ = \ \partial_{\mu} V_{\nu} \ - \ \Gamma_{~ \mu \nu}^{\rho} \ V_{\rho}. </math> |
Чтобы вычислить эти составляющие в явной форме, выражения для символов Кристоффеля должны быть определены, исходя из метрики. Их легко получить, написав следующие условия:
| <math> \nabla_{\mu} \ \mathbf{g}_{\nu \rho} \ = \ 0. </math> |
Расчёт этой ковариантной производной приводит к
| <math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ g^{\mu \nu} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right), </math> |
где <math>g^{\mu \nu}\ </math> — компоненты «обратного» метрического тензора, определенные уравнениями
| <math>g^{\mu \nu} \ g_{\nu \rho} \ = \ \delta^\mu{}_\rho </math> |
Символы Кристоффеля «симметричны»[5] по отношению к нижним индексам: <math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma}=\Gamma^\mu {}_{\sigma \rho}.\ </math>
Замечание: иногда определяются также следующие символы:
| <math>\Gamma_{\nu \rho \sigma} \ = \ \frac{1}{2} \ \left(\partial_\sigma g_{\nu \rho } \ + \ \partial_\rho g_{\nu \sigma} \ - \ \partial_\nu g_{\rho \sigma} \right) </math> |
получаемые как:
| <math>\Gamma^\mu {}_{\rho \sigma} \ = \ g^{\mu \nu} \ \Gamma_{\nu \rho \sigma}</math> |
Тензор кривизны Римана
Тензор кривизны Римана R — тензор 4-й валентности, определённый для любых векторных полей X, Y, Z из M как
| <math>\mathbf R(\mathbf X,\mathbf Y)\mathbf Z \ = \ \nabla_{\mathbf X} \, (\nabla_{\mathbf Y} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{\mathbf Y} \, (\nabla_{\mathbf X} \mathbf Z) \ - \ \nabla_{[\mathbf X,\mathbf Y]} \mathbf Z\; .</math> |
Его компоненты в явной форме выражаются из метрических коэффициентов:
| <math> R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ \frac{1}{2}\left( \partial^2_{ \nu \rho } g_{ \mu \sigma } \ + \ \partial^2_{ \mu \sigma } g_{ \nu \rho } \ - \ \partial^2_{ \nu \sigma } g_{ \mu \rho } \ - \ \partial^2_{ \mu \rho } g_{ \nu \sigma } \right) \ +</math> |
| <math> + \ g_{ \lambda \tau } \left( \Gamma^\lambda {}_{ \nu \rho } \Gamma^\tau {}_{ \mu \sigma } \ - \ \Gamma^\lambda {}_{ \nu \sigma } \Gamma^\tau {}_{ \mu \rho } \right)\;.</math> |
Симметрии этого тензора:
| <math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ R_{ \rho \sigma \mu \nu }\;, </math> |
| <math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{ \nu \mu \rho \sigma } \ = \ - \ R_{\mu \nu \sigma \rho }\;. </math> |
Он удовлетворяет также следующему соотношению:
| <math>R_{ \mu \nu \rho \sigma } \ + \ R_{ \mu \sigma \nu \rho } \ + \ R_{ \mu \rho \sigma \nu } \ = \ 0. </math> |
Тензор кривизны Риччи
Тензор Риччи — тензор валентности 2, определенный свёрткой тензора кривизны Римана
| <math>R_{\mu \nu} \ = \ g^{\rho \sigma} \ R_{\rho \mu \sigma \nu} \ = \ R^\sigma_{~ \mu \sigma \nu} \; .</math> |
Его компоненты в явном виде через символы Кристоффеля:
| <math>R_{\mu \nu} \ = \ \partial_{\rho} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \ - \ \partial_{\nu} \Gamma^{\rho} {}_{\mu \rho} \ + \ \Gamma^{\rho} {}_{\mu \nu} \Gamma^{\sigma} {}_{\rho \sigma} \ - \ \Gamma^{\sigma} {}_{\mu \rho}\Gamma^{\rho} {}_{\nu \sigma} \; .</math> |
Этот тензор симметричен: <math> R_{\mu\nu} \ = \ R_{\nu \mu} \ </math>.
Скалярная кривизна
Скалярная кривизна является инвариантом, определяемым свёрткой тензора Риччи с метрикой
| <math>R \ = \ g^{\mu \nu} \ R_{\mu \nu} \ = \ R^\nu_{~ \nu}. </math> |
Уравнения Эйнштейна
Уравнения гравитационного поля, которые называются уравнениями Эйнштейна, записываются так
| <math> R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math> |
или так
| <math> E_{\mu \nu} \ + \ \Lambda \ g_{\mu \nu} \ = \ \frac{8 \pi G}{c^4} \ T_{\mu \nu}, </math> |
где <math> \Lambda </math> — космологическая константа, <math> c </math> — скорость света в вакууме, <math> G </math> — гравитационная постоянная, которая появляется также в законе всемирного тяготения Ньютона, <math>E_{\mu \nu} = R_{\mu \nu} \ - \ \frac{1}{2} \, g_{\mu \nu} \, R</math> — тензор Эйнштейна, а <math> T_{\mu\nu} </math> — тензор энергии-импульса.
Симметричный тензор <math> g_{\mu\nu} </math> имеет только 10 независимых составляющих, тензорное уравнение Эйнштейна в заданной системе координат эквивалентно системе 10 скалярных уравнений. Эта система 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных в большинстве случаев очень трудна для изучения.
Тензор энергии-импульса
Тензор энергии-импульса может быть записан в виде действительной симметричной матрицы 4x4:
<math> T_{\mu \nu} \ = \ \left( \begin{matrix}
T_{00} & T_{01} & T_{02} & T_{03} \\
T_{10} & T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{20} & T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{30} & T_{31} & T_{32} & T_{33}
\end{matrix} \right).
</math>
|
В нём обнаруживаются следующие физические величины:
- T00 — объёмная плотность энергии. Она должна быть положительной.
- T10, T20, T30 — плотности компонент импульса.
- T01, T02, T03 — компоненты потока энергии.
- Под-матрица 3 x 3 из чисто пространственных компонент:
<math> T_{ik} \ = \ \left( \begin{matrix}
T_{11} & T_{12} & T_{13} \\
T_{21} & T_{22} & T_{23} \\
T_{31} & T_{32} & T_{33}
\end{matrix} \right) </math>
|
— матрица потоков импульсов. В механике жидкости диагональные компоненты соответствуют давлению, а прочие составляющие — тангенциальным усилиям (напряжениям или в старой терминологии — натяжениям), вызванным вязкостью.
Для жидкости в покое тензор энергии-импульса сводится к диагональной матрице <math>{\rm{diag}}({{\rho}c^2},~p,~p,~p)</math>, где <math>{\rho}</math> есть плотность массы, а <math>p</math> — гидростатическое давление.
Напишите отзыв о статье "Математическая формулировка общей теории относительности"
Примечания
- ↑ 1 2 C. W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler ; Gravitation, Freeman & Co. (San Francisco-1973), ISBN 0-7167-0344-0. или Ч. МИЗНЕР, К. ТОРН, Дж. УИЛЕР. ГРАВИТАЦИЯ. том I—III. М. Мир, 1977.
- ↑ Далее мы везде не пишем индекс 4, уточняющий размерность многообразия «M».
- ↑ Более точно, они должны быть по крайней мере класса C².
- ↑ Внимание, символы Кристоффеля не являются тензорами.
- ↑ Слово «симметричны» взято в кавычки, так как эти индексы в силу своего происхождения — не тензорные.
| Теории гравитации
| |||
| Стандартные теории гравитации | Альтернативные теории гравитации | Квантовые теории гравитации | Единые теории поля |
|---|---|---|---|
Классическая физика
Принципы |
Классические
Релятивистские
|
Многомерные
Струнные Прочие |
Отрывок, характеризующий Математическая формулировка общей теории относительности
– Ну, что, Михайла Иванович, Буонапарте то нашему плохо приходится. Как мне князь Андрей (он всегда так называл сына в третьем лице) порассказал, какие на него силы собираются! А мы с вами всё его пустым человеком считали.Михаил Иванович, решительно не знавший, когда это мы с вами говорили такие слова о Бонапарте, но понимавший, что он был нужен для вступления в любимый разговор, удивленно взглянул на молодого князя, сам не зная, что из этого выйдет.
– Он у меня тактик великий! – сказал князь сыну, указывая на архитектора.
И разговор зашел опять о войне, о Бонапарте и нынешних генералах и государственных людях. Старый князь, казалось, был убежден не только в том, что все теперешние деятели были мальчишки, не смыслившие и азбуки военного и государственного дела, и что Бонапарте был ничтожный французишка, имевший успех только потому, что уже не было Потемкиных и Суворовых противопоставить ему; но он был убежден даже, что никаких политических затруднений не было в Европе, не было и войны, а была какая то кукольная комедия, в которую играли нынешние люди, притворяясь, что делают дело. Князь Андрей весело выдерживал насмешки отца над новыми людьми и с видимою радостью вызывал отца на разговор и слушал его.
– Всё кажется хорошим, что было прежде, – сказал он, – а разве тот же Суворов не попался в ловушку, которую ему поставил Моро, и не умел из нее выпутаться?
– Это кто тебе сказал? Кто сказал? – крикнул князь. – Суворов! – И он отбросил тарелку, которую живо подхватил Тихон. – Суворов!… Подумавши, князь Андрей. Два: Фридрих и Суворов… Моро! Моро был бы в плену, коли бы у Суворова руки свободны были; а у него на руках сидели хофс кригс вурст шнапс рат. Ему чорт не рад. Вот пойдете, эти хофс кригс вурст раты узнаете! Суворов с ними не сладил, так уж где ж Михайле Кутузову сладить? Нет, дружок, – продолжал он, – вам с своими генералами против Бонапарте не обойтись; надо французов взять, чтобы своя своих не познаша и своя своих побиваша. Немца Палена в Новый Йорк, в Америку, за французом Моро послали, – сказал он, намекая на приглашение, которое в этом году было сделано Моро вступить в русскую службу. – Чудеса!… Что Потемкины, Суворовы, Орловы разве немцы были? Нет, брат, либо там вы все с ума сошли, либо я из ума выжил. Дай вам Бог, а мы посмотрим. Бонапарте у них стал полководец великий! Гм!…
– Я ничего не говорю, чтобы все распоряжения были хороши, – сказал князь Андрей, – только я не могу понять, как вы можете так судить о Бонапарте. Смейтесь, как хотите, а Бонапарте всё таки великий полководец!
– Михайла Иванович! – закричал старый князь архитектору, который, занявшись жарким, надеялся, что про него забыли. – Я вам говорил, что Бонапарте великий тактик? Вон и он говорит.
– Как же, ваше сиятельство, – отвечал архитектор.
Князь опять засмеялся своим холодным смехом.
– Бонапарте в рубашке родился. Солдаты у него прекрасные. Да и на первых он на немцев напал. А немцев только ленивый не бил. С тех пор как мир стоит, немцев все били. А они никого. Только друг друга. Он на них свою славу сделал.
И князь начал разбирать все ошибки, которые, по его понятиям, делал Бонапарте во всех своих войнах и даже в государственных делах. Сын не возражал, но видно было, что какие бы доводы ему ни представляли, он так же мало способен был изменить свое мнение, как и старый князь. Князь Андрей слушал, удерживаясь от возражений и невольно удивляясь, как мог этот старый человек, сидя столько лет один безвыездно в деревне, в таких подробностях и с такою тонкостью знать и обсуживать все военные и политические обстоятельства Европы последних годов.
– Ты думаешь, я, старик, не понимаю настоящего положения дел? – заключил он. – А мне оно вот где! Я ночи не сплю. Ну, где же этот великий полководец твой то, где он показал себя?
– Это длинно было бы, – отвечал сын.
– Ступай же ты к Буонапарте своему. M lle Bourienne, voila encore un admirateur de votre goujat d'empereur! [вот еще поклонник вашего холопского императора…] – закричал он отличным французским языком.
– Vous savez, que je ne suis pas bonapartiste, mon prince. [Вы знаете, князь, что я не бонапартистка.]
– «Dieu sait quand reviendra»… [Бог знает, вернется когда!] – пропел князь фальшиво, еще фальшивее засмеялся и вышел из за стола.
Маленькая княгиня во всё время спора и остального обеда молчала и испуганно поглядывала то на княжну Марью, то на свекра. Когда они вышли из за стола, она взяла за руку золовку и отозвала ее в другую комнату.
– Сomme c'est un homme d'esprit votre pere, – сказала она, – c'est a cause de cela peut etre qu'il me fait peur. [Какой умный человек ваш батюшка. Может быть, от этого то я и боюсь его.]
– Ax, он так добр! – сказала княжна.
Князь Андрей уезжал на другой день вечером. Старый князь, не отступая от своего порядка, после обеда ушел к себе. Маленькая княгиня была у золовки. Князь Андрей, одевшись в дорожный сюртук без эполет, в отведенных ему покоях укладывался с своим камердинером. Сам осмотрев коляску и укладку чемоданов, он велел закладывать. В комнате оставались только те вещи, которые князь Андрей всегда брал с собой: шкатулка, большой серебряный погребец, два турецких пистолета и шашка, подарок отца, привезенный из под Очакова. Все эти дорожные принадлежности были в большом порядке у князя Андрея: всё было ново, чисто, в суконных чехлах, старательно завязано тесемочками.
В минуты отъезда и перемены жизни на людей, способных обдумывать свои поступки, обыкновенно находит серьезное настроение мыслей. В эти минуты обыкновенно поверяется прошедшее и делаются планы будущего. Лицо князя Андрея было очень задумчиво и нежно. Он, заложив руки назад, быстро ходил по комнате из угла в угол, глядя вперед себя, и задумчиво покачивал головой. Страшно ли ему было итти на войну, грустно ли бросить жену, – может быть, и то и другое, только, видимо, не желая, чтоб его видели в таком положении, услыхав шаги в сенях, он торопливо высвободил руки, остановился у стола, как будто увязывал чехол шкатулки, и принял свое всегдашнее, спокойное и непроницаемое выражение. Это были тяжелые шаги княжны Марьи.
– Мне сказали, что ты велел закладывать, – сказала она, запыхавшись (она, видно, бежала), – а мне так хотелось еще поговорить с тобой наедине. Бог знает, на сколько времени опять расстаемся. Ты не сердишься, что я пришла? Ты очень переменился, Андрюша, – прибавила она как бы в объяснение такого вопроса.
Она улыбнулась, произнося слово «Андрюша». Видно, ей самой было странно подумать, что этот строгий, красивый мужчина был тот самый Андрюша, худой, шаловливый мальчик, товарищ детства.
– А где Lise? – спросил он, только улыбкой отвечая на ее вопрос.
– Она так устала, что заснула у меня в комнате на диване. Ax, Andre! Que! tresor de femme vous avez, [Ax, Андрей! Какое сокровище твоя жена,] – сказала она, усаживаясь на диван против брата. – Она совершенный ребенок, такой милый, веселый ребенок. Я так ее полюбила.
Князь Андрей молчал, но княжна заметила ироническое и презрительное выражение, появившееся на его лице.
– Но надо быть снисходительным к маленьким слабостям; у кого их нет, Аndre! Ты не забудь, что она воспитана и выросла в свете. И потом ее положение теперь не розовое. Надобно входить в положение каждого. Tout comprendre, c'est tout pardonner. [Кто всё поймет, тот всё и простит.] Ты подумай, каково ей, бедняжке, после жизни, к которой она привыкла, расстаться с мужем и остаться одной в деревне и в ее положении? Это очень тяжело.
Князь Андрей улыбался, глядя на сестру, как мы улыбаемся, слушая людей, которых, нам кажется, что мы насквозь видим.
– Ты живешь в деревне и не находишь эту жизнь ужасною, – сказал он.
– Я другое дело. Что обо мне говорить! Я не желаю другой жизни, да и не могу желать, потому что не знаю никакой другой жизни. А ты подумай, Andre, для молодой и светской женщины похорониться в лучшие годы жизни в деревне, одной, потому что папенька всегда занят, а я… ты меня знаешь… как я бедна en ressources, [интересами.] для женщины, привыкшей к лучшему обществу. M lle Bourienne одна…
– Она мне очень не нравится, ваша Bourienne, – сказал князь Андрей.
– О, нет! Она очень милая и добрая,а главное – жалкая девушка.У нее никого,никого нет. По правде сказать, мне она не только не нужна, но стеснительна. Я,ты знаешь,и всегда была дикарка, а теперь еще больше. Я люблю быть одна… Mon pere [Отец] ее очень любит. Она и Михаил Иваныч – два лица, к которым он всегда ласков и добр, потому что они оба облагодетельствованы им; как говорит Стерн: «мы не столько любим людей за то добро, которое они нам сделали, сколько за то добро, которое мы им сделали». Mon pеre взял ее сиротой sur le pavе, [на мостовой,] и она очень добрая. И mon pere любит ее манеру чтения. Она по вечерам читает ему вслух. Она прекрасно читает.
– Ну, а по правде, Marie, тебе, я думаю, тяжело иногда бывает от характера отца? – вдруг спросил князь Андрей.
Княжна Марья сначала удивилась, потом испугалась этого вопроса.
– МНЕ?… Мне?!… Мне тяжело?! – сказала она.
– Он и всегда был крут; а теперь тяжел становится, я думаю, – сказал князь Андрей, видимо, нарочно, чтоб озадачить или испытать сестру, так легко отзываясь об отце.
– Ты всем хорош, Andre, но у тебя есть какая то гордость мысли, – сказала княжна, больше следуя за своим ходом мыслей, чем за ходом разговора, – и это большой грех. Разве возможно судить об отце? Да ежели бы и возможно было, какое другое чувство, кроме veneration, [глубокого уважения,] может возбудить такой человек, как mon pere? И я так довольна и счастлива с ним. Я только желала бы, чтобы вы все были счастливы, как я.
Брат недоверчиво покачал головой.
– Одно, что тяжело для меня, – я тебе по правде скажу, Andre, – это образ мыслей отца в религиозном отношении. Я не понимаю, как человек с таким огромным умом не может видеть того, что ясно, как день, и может так заблуждаться? Вот это составляет одно мое несчастие. Но и тут в последнее время я вижу тень улучшения. В последнее время его насмешки не так язвительны, и есть один монах, которого он принимал и долго говорил с ним.
– Ну, мой друг, я боюсь, что вы с монахом даром растрачиваете свой порох, – насмешливо, но ласково сказал князь Андрей.
– Аh! mon ami. [А! Друг мой.] Я только молюсь Богу и надеюсь, что Он услышит меня. Andre, – сказала она робко после минуты молчания, – у меня к тебе есть большая просьба.
– Что, мой друг?
– Нет, обещай мне, что ты не откажешь. Это тебе не будет стоить никакого труда, и ничего недостойного тебя в этом не будет. Только ты меня утешишь. Обещай, Андрюша, – сказала она, сунув руку в ридикюль и в нем держа что то, но еще не показывая, как будто то, что она держала, и составляло предмет просьбы и будто прежде получения обещания в исполнении просьбы она не могла вынуть из ридикюля это что то.
Она робко, умоляющим взглядом смотрела на брата.
– Ежели бы это и стоило мне большого труда… – как будто догадываясь, в чем было дело, отвечал князь Андрей.
– Ты, что хочешь, думай! Я знаю, ты такой же, как и mon pere. Что хочешь думай, но для меня это сделай. Сделай, пожалуйста! Его еще отец моего отца, наш дедушка, носил во всех войнах… – Она всё еще не доставала того, что держала, из ридикюля. – Так ты обещаешь мне?
– Конечно, в чем дело?
– Andre, я тебя благословлю образом, и ты обещай мне, что никогда его не будешь снимать. Обещаешь?
– Ежели он не в два пуда и шеи не оттянет… Чтобы тебе сделать удовольствие… – сказал князь Андрей, но в ту же секунду, заметив огорченное выражение, которое приняло лицо сестры при этой шутке, он раскаялся. – Очень рад, право очень рад, мой друг, – прибавил он.
– Против твоей воли Он спасет и помилует тебя и обратит тебя к Себе, потому что в Нем одном и истина и успокоение, – сказала она дрожащим от волнения голосом, с торжественным жестом держа в обеих руках перед братом овальный старинный образок Спасителя с черным ликом в серебряной ризе на серебряной цепочке мелкой работы.
Она перекрестилась, поцеловала образок и подала его Андрею.
– Пожалуйста, Andre, для меня…
Из больших глаз ее светились лучи доброго и робкого света. Глаза эти освещали всё болезненное, худое лицо и делали его прекрасным. Брат хотел взять образок, но она остановила его. Андрей понял, перекрестился и поцеловал образок. Лицо его в одно и то же время было нежно (он был тронут) и насмешливо.
– Merci, mon ami. [Благодарю, мой друг.]
Она поцеловала его в лоб и опять села на диван. Они молчали.
– Так я тебе говорила, Andre, будь добр и великодушен, каким ты всегда был. Не суди строго Lise, – начала она. – Она так мила, так добра, и положение ее очень тяжело теперь.
– Кажется, я ничего не говорил тебе, Маша, чтоб я упрекал в чем нибудь свою жену или был недоволен ею. К чему ты всё это говоришь мне?
Княжна Марья покраснела пятнами и замолчала, как будто она чувствовала себя виноватою.
– Я ничего не говорил тебе, а тебе уж говорили . И мне это грустно.
Красные пятна еще сильнее выступили на лбу, шее и щеках княжны Марьи. Она хотела сказать что то и не могла выговорить. Брат угадал: маленькая княгиня после обеда плакала, говорила, что предчувствует несчастные роды, боится их, и жаловалась на свою судьбу, на свекра и на мужа. После слёз она заснула. Князю Андрею жалко стало сестру.
– Знай одно, Маша, я ни в чем не могу упрекнуть, не упрекал и никогда не упрекну мою жену , и сам ни в чем себя не могу упрекнуть в отношении к ней; и это всегда так будет, в каких бы я ни был обстоятельствах. Но ежели ты хочешь знать правду… хочешь знать, счастлив ли я? Нет. Счастлива ли она? Нет. Отчего это? Не знаю…
Говоря это, он встал, подошел к сестре и, нагнувшись, поцеловал ее в лоб. Прекрасные глаза его светились умным и добрым, непривычным блеском, но он смотрел не на сестру, а в темноту отворенной двери, через ее голову.
– Пойдем к ней, надо проститься. Или иди одна, разбуди ее, а я сейчас приду. Петрушка! – крикнул он камердинеру, – поди сюда, убирай. Это в сиденье, это на правую сторону.
Княжна Марья встала и направилась к двери. Она остановилась.
– Andre, si vous avez. la foi, vous vous seriez adresse a Dieu, pour qu'il vous donne l'amour, que vous ne sentez pas et votre priere aurait ete exaucee. [Если бы ты имел веру, то обратился бы к Богу с молитвою, чтоб Он даровал тебе любовь, которую ты не чувствуешь, и молитва твоя была бы услышана.]
– Да, разве это! – сказал князь Андрей. – Иди, Маша, я сейчас приду.
По дороге к комнате сестры, в галлерее, соединявшей один дом с другим, князь Андрей встретил мило улыбавшуюся m lle Bourienne, уже в третий раз в этот день с восторженною и наивною улыбкой попадавшуюся ему в уединенных переходах.
– Ah! je vous croyais chez vous, [Ах, я думала, вы у себя,] – сказала она, почему то краснея и опуская глаза.
Князь Андрей строго посмотрел на нее. На лице князя Андрея вдруг выразилось озлобление. Он ничего не сказал ей, но посмотрел на ее лоб и волосы, не глядя в глаза, так презрительно, что француженка покраснела и ушла, ничего не сказав.
Когда он подошел к комнате сестры, княгиня уже проснулась, и ее веселый голосок, торопивший одно слово за другим, послышался из отворенной двери. Она говорила, как будто после долгого воздержания ей хотелось вознаградить потерянное время.
– Non, mais figurez vous, la vieille comtesse Zouboff avec de fausses boucles et la bouche pleine de fausses dents, comme si elle voulait defier les annees… [Нет, представьте себе, старая графиня Зубова, с фальшивыми локонами, с фальшивыми зубами, как будто издеваясь над годами…] Xa, xa, xa, Marieie!
Точно ту же фразу о графине Зубовой и тот же смех уже раз пять слышал при посторонних князь Андрей от своей жены.
Он тихо вошел в комнату. Княгиня, толстенькая, румяная, с работой в руках, сидела на кресле и без умолку говорила, перебирая петербургские воспоминания и даже фразы. Князь Андрей подошел, погладил ее по голове и спросил, отдохнула ли она от дороги. Она ответила и продолжала тот же разговор.
Коляска шестериком стояла у подъезда. На дворе была темная осенняя ночь. Кучер не видел дышла коляски. На крыльце суетились люди с фонарями. Огромный дом горел огнями сквозь свои большие окна. В передней толпились дворовые, желавшие проститься с молодым князем; в зале стояли все домашние: Михаил Иванович, m lle Bourienne, княжна Марья и княгиня.
Князь Андрей был позван в кабинет к отцу, который с глазу на глаз хотел проститься с ним. Все ждали их выхода.
Когда князь Андрей вошел в кабинет, старый князь в стариковских очках и в своем белом халате, в котором он никого не принимал, кроме сына, сидел за столом и писал. Он оглянулся.
