Открытые проблемы в теории чисел
Поделись знанием:
– Я за Долохова! – кричал третий. – Разними, Курагин.
– Ну, бросьте Мишку, тут пари.
– Одним духом, иначе проиграно, – кричал четвертый.
– Яков, давай бутылку, Яков! – кричал сам хозяин, высокий красавец, стоявший посреди толпы в одной тонкой рубашке, раскрытой на средине груди. – Стойте, господа. Вот он Петруша, милый друг, – обратился он к Пьеру.
Другой голос невысокого человека, с ясными голубыми глазами, особенно поражавший среди этих всех пьяных голосов своим трезвым выражением, закричал от окна: «Иди сюда – разойми пари!» Это был Долохов, семеновский офицер, известный игрок и бретёр, живший вместе с Анатолем. Пьер улыбался, весело глядя вокруг себя.
– Ничего не понимаю. В чем дело?
– Стойте, он не пьян. Дай бутылку, – сказал Анатоль и, взяв со стола стакан, подошел к Пьеру.
– Прежде всего пей.
Пьер стал пить стакан за стаканом, исподлобья оглядывая пьяных гостей, которые опять столпились у окна, и прислушиваясь к их говору. Анатоль наливал ему вино и рассказывал, что Долохов держит пари с англичанином Стивенсом, моряком, бывшим тут, в том, что он, Долохов, выпьет бутылку рому, сидя на окне третьего этажа с опущенными наружу ногами.
– Ну, пей же всю! – сказал Анатоль, подавая последний стакан Пьеру, – а то не пущу!
– Нет, не хочу, – сказал Пьер, отталкивая Анатоля, и подошел к окну.
Долохов держал за руку англичанина и ясно, отчетливо выговаривал условия пари, обращаясь преимущественно к Анатолю и Пьеру.
Долохов был человек среднего роста, курчавый и с светлыми, голубыми глазами. Ему было лет двадцать пять. Он не носил усов, как и все пехотные офицеры, и рот его, самая поразительная черта его лица, был весь виден. Линии этого рта были замечательно тонко изогнуты. В средине верхняя губа энергически опускалась на крепкую нижнюю острым клином, и в углах образовывалось постоянно что то вроде двух улыбок, по одной с каждой стороны; и всё вместе, а особенно в соединении с твердым, наглым, умным взглядом, составляло впечатление такое, что нельзя было не заметить этого лица. Долохов был небогатый человек, без всяких связей. И несмотря на то, что Анатоль проживал десятки тысяч, Долохов жил с ним и успел себя поставить так, что Анатоль и все знавшие их уважали Долохова больше, чем Анатоля. Долохов играл во все игры и почти всегда выигрывал. Сколько бы он ни пил, он никогда не терял ясности головы. И Курагин, и Долохов в то время были знаменитостями в мире повес и кутил Петербурга.
Бутылка рому была принесена; раму, не пускавшую сесть на наружный откос окна, выламывали два лакея, видимо торопившиеся и робевшие от советов и криков окружавших господ.
Анатоль с своим победительным видом подошел к окну. Ему хотелось сломать что нибудь. Он оттолкнул лакеев и потянул раму, но рама не сдавалась. Он разбил стекло.
– Ну ка ты, силач, – обратился он к Пьеру.
Пьер взялся за перекладины, потянул и с треском выворотип дубовую раму.
– Всю вон, а то подумают, что я держусь, – сказал Долохов.
– Англичанин хвастает… а?… хорошо?… – говорил Анатоль.
– Хорошо, – сказал Пьер, глядя на Долохова, который, взяв в руки бутылку рома, подходил к окну, из которого виднелся свет неба и сливавшихся на нем утренней и вечерней зари.
Долохов с бутылкой рома в руке вскочил на окно. «Слушать!»
крикнул он, стоя на подоконнике и обращаясь в комнату. Все замолчали.
– Я держу пари (он говорил по французски, чтоб его понял англичанин, и говорил не слишком хорошо на этом языке). Держу пари на пятьдесят империалов, хотите на сто? – прибавил он, обращаясь к англичанину.
– Нет, пятьдесят, – сказал англичанин.
– Хорошо, на пятьдесят империалов, – что я выпью бутылку рома всю, не отнимая ото рта, выпью, сидя за окном, вот на этом месте (он нагнулся и показал покатый выступ стены за окном) и не держась ни за что… Так?…
– Очень хорошо, – сказал англичанин.
Анатоль повернулся к англичанину и, взяв его за пуговицу фрака и сверху глядя на него (англичанин был мал ростом), начал по английски повторять ему условия пари.
– Постой! – закричал Долохов, стуча бутылкой по окну, чтоб обратить на себя внимание. – Постой, Курагин; слушайте. Если кто сделает то же, то я плачу сто империалов. Понимаете?
Англичанин кивнул головой, не давая никак разуметь, намерен ли он или нет принять это новое пари. Анатоль не отпускал англичанина и, несмотря на то что тот, кивая, давал знать что он всё понял, Анатоль переводил ему слова Долохова по английски. Молодой худощавый мальчик, лейб гусар, проигравшийся в этот вечер, взлез на окно, высунулся и посмотрел вниз.
– У!… у!… у!… – проговорил он, глядя за окно на камень тротуара.
– Смирно! – закричал Долохов и сдернул с окна офицера, который, запутавшись шпорами, неловко спрыгнул в комнату.
Поставив бутылку на подоконник, чтобы было удобно достать ее, Долохов осторожно и тихо полез в окно. Спустив ноги и расперевшись обеими руками в края окна, он примерился, уселся, опустил руки, подвинулся направо, налево и достал бутылку. Анатоль принес две свечки и поставил их на подоконник, хотя было уже совсем светло. Спина Долохова в белой рубашке и курчавая голова его были освещены с обеих сторон. Все столпились у окна. Англичанин стоял впереди. Пьер улыбался и ничего не говорил. Один из присутствующих, постарше других, с испуганным и сердитым лицом, вдруг продвинулся вперед и хотел схватить Долохова за рубашку.
– Господа, это глупости; он убьется до смерти, – сказал этот более благоразумный человек.
Анатоль остановил его:
– Не трогай, ты его испугаешь, он убьется. А?… Что тогда?… А?…
Долохов обернулся, поправляясь и опять расперевшись руками.
– Ежели кто ко мне еще будет соваться, – сказал он, редко пропуская слова сквозь стиснутые и тонкие губы, – я того сейчас спущу вот сюда. Ну!…
Сказав «ну»!, он повернулся опять, отпустил руки, взял бутылку и поднес ко рту, закинул назад голову и вскинул кверху свободную руку для перевеса. Один из лакеев, начавший подбирать стекла, остановился в согнутом положении, не спуская глаз с окна и спины Долохова. Анатоль стоял прямо, разинув глаза. Англичанин, выпятив вперед губы, смотрел сбоку. Тот, который останавливал, убежал в угол комнаты и лег на диван лицом к стене. Пьер закрыл лицо, и слабая улыбка, забывшись, осталась на его лице, хоть оно теперь выражало ужас и страх. Все молчали. Пьер отнял от глаз руки: Долохов сидел всё в том же положении, только голова загнулась назад, так что курчавые волосы затылка прикасались к воротнику рубахи, и рука с бутылкой поднималась всё выше и выше, содрогаясь и делая усилие. Бутылка видимо опорожнялась и с тем вместе поднималась, загибая голову. «Что же это так долго?» подумал Пьер. Ему казалось, что прошло больше получаса. Вдруг Долохов сделал движение назад спиной, и рука его нервически задрожала; этого содрогания было достаточно, чтобы сдвинуть всё тело, сидевшее на покатом откосе. Он сдвинулся весь, и еще сильнее задрожали, делая усилие, рука и голова его. Одна рука поднялась, чтобы схватиться за подоконник, но опять опустилась. Пьер опять закрыл глаза и сказал себе, что никогда уж не откроет их. Вдруг он почувствовал, что всё вокруг зашевелилось. Он взглянул: Долохов стоял на подоконнике, лицо его было бледно и весело.
– Пуста!
Он кинул бутылку англичанину, который ловко поймал ее. Долохов спрыгнул с окна. От него сильно пахло ромом.
– Отлично! Молодцом! Вот так пари! Чорт вас возьми совсем! – кричали с разных сторон.
Англичанин, достав кошелек, отсчитывал деньги. Долохов хмурился и молчал. Пьер вскочил на окно.
Господа! Кто хочет со мною пари? Я то же сделаю, – вдруг крикнул он. – И пари не нужно, вот что. Вели дать бутылку. Я сделаю… вели дать.
– Пускай, пускай! – сказал Долохов, улыбаясь.
– Что ты? с ума сошел? Кто тебя пустит? У тебя и на лестнице голова кружится, – заговорили с разных сторон.
– Я выпью, давай бутылку рому! – закричал Пьер, решительным и пьяным жестом ударяя по столу, и полез в окно.
Его схватили за руки; но он был так силен, что далеко оттолкнул того, кто приблизился к нему.
– Нет, его так не уломаешь ни за что, – говорил Анатоль, – постойте, я его обману. Послушай, я с тобой держу пари, но завтра, а теперь мы все едем к***.
– Едем, – закричал Пьер, – едем!… И Мишку с собой берем…
И он ухватил медведя, и, обняв и подняв его, стал кружиться с ним по комнате.
Князь Василий исполнил обещание, данное на вечере у Анны Павловны княгине Друбецкой, просившей его о своем единственном сыне Борисе. О нем было доложено государю, и, не в пример другим, он был переведен в гвардию Семеновского полка прапорщиком. Но адъютантом или состоящим при Кутузове Борис так и не был назначен, несмотря на все хлопоты и происки Анны Михайловны. Вскоре после вечера Анны Павловны Анна Михайловна вернулась в Москву, прямо к своим богатым родственникам Ростовым, у которых она стояла в Москве и у которых с детства воспитывался и годами живал ее обожаемый Боренька, только что произведенный в армейские и тотчас же переведенный в гвардейские прапорщики. Гвардия уже вышла из Петербурга 10 го августа, и сын, оставшийся для обмундирования в Москве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов.
У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь. С утра, не переставая, подъезжали и отъезжали цуги, подвозившие поздравителей к большому, всей Москве известному дому графини Ростовой на Поварской. Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.
Графиня была женщина с восточным типом худого лица, лет сорока пяти, видимо изнуренная детьми, которых у ней было двенадцать человек. Медлительность ее движений и говора, происходившая от слабости сил, придавала ей значительный вид, внушавший уважение. Княгиня Анна Михайловна Друбецкая, как домашний человек, сидела тут же, помогая в деле принимания и занимания разговором гостей. Молодежь была в задних комнатах, не находя нужным участвовать в приеме визитов. Граф встречал и провожал гостей, приглашая всех к обеду.
«Очень, очень вам благодарен, ma chere или mon cher [моя дорогая или мой дорогой] (ma сherе или mon cher он говорил всем без исключения, без малейших оттенков как выше, так и ниже его стоявшим людям) за себя и за дорогих именинниц. Смотрите же, приезжайте обедать. Вы меня обидите, mon cher. Душевно прошу вас от всего семейства, ma chere». Эти слова с одинаковым выражением на полном веселом и чисто выбритом лице и с одинаково крепким пожатием руки и повторяемыми короткими поклонами говорил он всем без исключения и изменения. Проводив одного гостя, граф возвращался к тому или той, которые еще были в гостиной; придвинув кресла и с видом человека, любящего и умеющего пожить, молодецки расставив ноги и положив на колена руки, он значительно покачивался, предлагал догадки о погоде, советовался о здоровье, иногда на русском, иногда на очень дурном, но самоуверенном французском языке, и снова с видом усталого, но твердого в исполнении обязанности человека шел провожать, оправляя редкие седые волосы на лысине, и опять звал обедать. Иногда, возвращаясь из передней, он заходил через цветочную и официантскую в большую мраморную залу, где накрывали стол на восемьдесят кувертов, и, глядя на официантов, носивших серебро и фарфор, расставлявших столы и развертывавших камчатные скатерти, подзывал к себе Дмитрия Васильевича, дворянина, занимавшегося всеми его делами, и говорил: «Ну, ну, Митенька, смотри, чтоб всё было хорошо. Так, так, – говорил он, с удовольствием оглядывая огромный раздвинутый стол. – Главное – сервировка. То то…» И он уходил, самодовольно вздыхая, опять в гостиную.
– Марья Львовна Карагина с дочерью! – басом доложил огромный графинин выездной лакей, входя в двери гостиной.
Графиня подумала и понюхала из золотой табакерки с портретом мужа.
– Замучили меня эти визиты, – сказала она. – Ну, уж ее последнюю приму. Чопорна очень. Проси, – сказала она лакею грустным голосом, как будто говорила: «ну, уж добивайте!»
Высокая, полная, с гордым видом дама с круглолицей улыбающейся дочкой, шумя платьями, вошли в гостиную.
«Chere comtesse, il y a si longtemps… elle a ete alitee la pauvre enfant… au bal des Razoumowsky… et la comtesse Apraksine… j'ai ete si heureuse…» [Дорогая графиня, как давно… она должна была пролежать в постеле, бедное дитя… на балу у Разумовских… и графиня Апраксина… была так счастлива…] послышались оживленные женские голоса, перебивая один другой и сливаясь с шумом платьев и передвиганием стульев. Начался тот разговор, который затевают ровно настолько, чтобы при первой паузе встать, зашуметь платьями, проговорить: «Je suis bien charmee; la sante de maman… et la comtesse Apraksine» [Я в восхищении; здоровье мамы… и графиня Апраксина] и, опять зашумев платьями, пройти в переднюю, надеть шубу или плащ и уехать. Разговор зашел о главной городской новости того времени – о болезни известного богача и красавца Екатерининского времени старого графа Безухого и о его незаконном сыне Пьере, который так неприлично вел себя на вечере у Анны Павловны Шерер.
– Я очень жалею бедного графа, – проговорила гостья, – здоровье его и так плохо, а теперь это огорченье от сына, это его убьет!
– Что такое? – спросила графиня, как будто не зная, о чем говорит гостья, хотя она раз пятнадцать уже слышала причину огорчения графа Безухого.
– Вот нынешнее воспитание! Еще за границей, – проговорила гостья, – этот молодой человек предоставлен был самому себе, и теперь в Петербурге, говорят, он такие ужасы наделал, что его с полицией выслали оттуда.
– Скажите! – сказала графиня.
– Он дурно выбирал свои знакомства, – вмешалась княгиня Анна Михайловна. – Сын князя Василия, он и один Долохов, они, говорят, Бог знает что делали. И оба пострадали. Долохов разжалован в солдаты, а сын Безухого выслан в Москву. Анатоля Курагина – того отец как то замял. Но выслали таки из Петербурга.
– Да что, бишь, они сделали? – спросила графиня.
– Это совершенные разбойники, особенно Долохов, – говорила гостья. – Он сын Марьи Ивановны Долоховой, такой почтенной дамы, и что же? Можете себе представить: они втроем достали где то медведя, посадили с собой в карету и повезли к актрисам. Прибежала полиция их унимать. Они поймали квартального и привязали его спина со спиной к медведю и пустили медведя в Мойку; медведь плавает, а квартальный на нем.
– Хороша, ma chere, фигура квартального, – закричал граф, помирая со смеху.
– Ах, ужас какой! Чему тут смеяться, граф?
Но дамы невольно смеялись и сами.
– Насилу спасли этого несчастного, – продолжала гостья. – И это сын графа Кирилла Владимировича Безухова так умно забавляется! – прибавила она. – А говорили, что так хорошо воспитан и умен. Вот всё воспитание заграничное куда довело. Надеюсь, что здесь его никто не примет, несмотря на его богатство. Мне хотели его представить. Я решительно отказалась: у меня дочери.
Теория чисел — это раздел математики, занимающийся преимущественно изучением натуральных и целых чисел и их свойств, часто с привлечением методов математического анализа и других разделов математики. Теория чисел содержит множество проблем, попытки решения которых предпринимались математиками в течение десятков, а иногда даже сотен лет, но которые пока так и остаются открытыми. Ниже приведены некоторые из наиболее известных нерешённых проблем.
Содержание
Гипотезы о простых числах
- Сильная проблема Гольдбаха. Каждое чётное число, большее 2, можно представить в виде суммы двух простых чисел.
-
Слабая проблема Гольдбаха.Каждое нечётное число, большее 5, можно представить в виде суммы трёх простых чисел (доказана Харальдом Гельфготтом в 2013 году). - Проблема Ризеля: поиск такого минимального нечётного <math>k</math>, что число <math>k \cdot 2^n - 1</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>.
- Проблема Серпинского: поиск такого минимального нечётного натурального <math>k</math>, что число <math>k \cdot 2^n + 1</math> является составным для всех натуральных <math>n</math>.
- Гипотеза Артина о бесконечности множества простых чисел, по модулю которых заданное целое число является первообразным корнем.
- Гипотеза Лежандра. Для любого натурального <math>n</math> между <math>n^2</math> и <math>(n+1)^2</math> найдётся хотя бы одно простое число.
- Гипотеза Брокарда. Для любого натурального <math>n</math> между <math>p_n^2</math> и <math>p_{n+1}^2</math> (где <math>p_n</math> — это <math>n</math>-ое простое число) найдётся хотя бы четыре простых числа.
- Гипотеза Полиньяка. Для любого чётного числа <math>n</math> найдётся бесконечно много пар соседних простых чисел, разность между которыми равна <math>n</math>.
- Верно ли, что для любого положительного иррационального числа <math>\theta</math> и любого положительного <math>\epsilon</math> существует бесконечное количество пар простых чисел <math>(p, q),</math> для которых выполняется неравенство <math>\left|\theta-\frac{p}{q}\right|<q^{-2+\epsilon}</math>?[1]
- Сходится ли ряд <math>\sum_{k=1}^\infty (-1)^k \frac{k}{p_k}</math>?[2]
- Гипотеза Гильбрайта. Для любого натурального числа <math>n</math> последовательность абсолютных разностей <math>n</math>-го порядка для последовательности простых чисел начинается с 1. Абсолютные разности 1-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними простыми числами: <math>1, 2, 2, 4, 2, \dots,</math> разности 2-го порядка — это абсолютные величины разностей между соседними элементами в последовательности абсолютных разностей 1-го порядка: <math>1, 0, 2, 2, 2, \dots</math> и т. д. Гипотеза проверена для всех n < 3×1011[3]
- Гипотеза Буняковского Если <math>f(x)</math> — целозначный неприводимый многочлен и d — наибольший общий делитель всех его значений, то целозначный многочлен <math>f(x)/d</math> принимает бесконечно много простых значений. 4-я проблема Ландау — частный случай этой гипотезы при <math>f(x)=x^2+1</math>.
- Гипотеза Диксона Если <math>a_1n+b_1, a_2n+b_2...,a_rn+b_r</math> — конечное число арифметических прогрессий, то существует бесконечно много натуральных чисел n таких, что для каждого такого n все r чисел <math>a_1n+b_1, a_2n+b_2...,a_rn+b_r</math> являются простыми одновременно. Причём из рассмотрения исключается тривиальный случай, когда существует такое простое p, что при любом n хотя бы одно число <math>a_jn+b_j</math> кратно p.
- Имеются ли простые числа Вольстенхольма, отличные от 16 843 и 2 124 679?
- Открытым является вопрос бесконечности количества простых чисел в каждой из следующих последовательностей[4]:
| Последовательность | Название |
| <math>2^n-1</math> | числа Мерсенна |
| <math>n^2+1</math> | 4-я проблема Ландау |
| <math>n^k+1</math>, <math>k>1</math> | обобщение проблема Ландау[5]. |
| <math>n\cdot 2^n+1</math> | числа Каллена |
| <math>n\cdot 2^n-1</math> | числа Вудала |
| <math>2^{2^n}+1</math> | числа Ферма |
| <math>F_n</math> | числа Фибоначчи |
| пары <math>(n,\;n+2)</math> | простые близнецы |
| пары <math>(n,\;2n+1)</math> | простые числа Софи Жермен |
| <math>n! \pm 1</math> | факториальные числа |
| <math>n\# \pm 1</math> | праймориальные числа |
| <math>k \cdot 2^n + 1</math>, <math>k</math> — нечетно, <math>2^n > k</math> | числа Прота |
- Существует ли многочлен <math>f(x)</math> , кроме линейного, среди значений которого существует бесконечно много простых чисел?[6]
- Почему простые числа располагаются в цепочки вдоль диагоналей скатерти Улама?[6]
Гипотезы о совершенных числах
- Не существует нечётных совершенных чисел.[7]
- Количество совершенных чисел бесконечно.
Гипотезы о дружественных числах
- Не существует взаимно простых дружественных чисел.
- Любая пара дружественных чисел имеет одинаковую чётность.
- Дружественных чисел бесконечно много.
Диофантовы уравнения
- Каждое ли перечислимое множество имеет однократное диофантово представление?[8]
- Может ли не иметь однократного диофантова представления объединение двух множеств, каждое из которых имеет однократное диофантово представление?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно всех переменных (параметров и неизвестных)?
- Каждое ли перечислимое множество имеет диофантово представление в виде уравнения степени 3 относительно неизвестных?
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение? Какую наименьшую степень оно может иметь при таком числе переменных? Наименьший известный результат — 9 переменных. Наименьшая известная степень уравнения при 9 переменных превышает <math>10^{45}.</math>[9]
- Какое наименьшее число переменных может иметь универсальное диофантово уравнение степени 4? Наименьший известный результат составляет 58.
- Существует ли универсальное диофантово уравнение степени 3? Если да, то какое наименьшее число переменных оно может иметь?
- Какое наименьшее количество операций (сложений, вычитаний и умножений) может иметь универсальное диофантово уравнение? Наименьший известный результат составляет 100.
- Бесконечно ли множество решений диофантова уравнения <math>9(u^2+7v^2)^2-7(r^2+7s^2)^2=2</math>?[8]
- Существование прямоугольного параллелепипеда с тремя целочисленными рёбрами и целочисленными диагоналями.
- Существование множества из пяти положительных целых чисел, произведение любых двух из которых на единицу меньше точного квадрата.
Многие нерешённые проблемы (например, проблема Гольдбаха или гипотеза Римана) могут быть переформулированы как вопросы о разрешимости диофантовых уравнений 4-й степени некоторого специального вида, однако такая переформулировка обычно не делает проблему проще ввиду отсутствия общего метода решения диофантовых уравнений[10][8].
Аналитическая теория чисел
- Гипотеза Римана (теоретико-числовая формулировка). Верна ли следующая асимптотическая формула для распределения простых чисел:
- <math>\pi(x) = \int\limits_2^x\!\frac{dt}{\ln t} + O\left(\sqrt x\ln x\right) ?</math>
- Известно, что количество точек с положительными целочисленными координатами в области, ограниченной гиперболой <math>x y=N</math> и положительными полуосями, выражается асимптотической формулой
- <math>\Phi(N) = \sum_{k=1}^N \tau(k) = N \ln N + (2\gamma-1)N+O(N^\theta),</math>
- где <math>\tau(k)</math> — количество делителей числа k, <math>\gamma</math> — постоянная Эйлера — Маскерони, а <math>\theta</math> может быть выбрано равным <math>\frac{131}{416}.</math> Однако, неизвестно, при каком наименьшем значении <math>\theta</math> эта формула останется верной (известно, что оно не меньше, чем <math>\frac{1}{4}</math>)[11][12][13].
- Гипотеза Крамера о пробелах между простыми числами: <math>\max_{i\le n} (p_{i+1}-p_i)=O(\ln ^2 p_n)</math>.
- Ослабленная гипотеза Мертенса: доказать, что функция Мертенса <math>M(n)</math> оценивается как <math>M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})</math>. Ослабленная гипотеза Мертенса эквивалентна гипотезе Римана.
- Первая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о плотности распределения кортежей простых чисел вида <math>(p,p+a_2...,p+a_k)</math>, утверждающая, в частности, что число таких кортежей бесконечно, исключая тривиальные случаи. Эта гипотеза является уточнением гипотезы о простых близнецах, а также является частным случаем гипотезы Диксона.
- Вторая гипотеза Харди — Литлвуда — гипотеза о логарифмическом свойстве функции числа простых чисел: <math>\pi(x+y)\leqslant\pi(x)+\pi(y)</math>.
- Гипотеза Сингмастера. Обозначим через <math>N(a)</math> количество раз, которое натуральное число <math>a</math>, большее единицы, встречается в треугольнике Паскаля. Сингмастер показал, что <math>N(a)=O(\ln a)</math>, что в дальнейшем было улучшено до <math>N(a) = O(\ln a \cdot \ln \ln \ln a \cdot {\ln}^{-3} \ln a)</math>. Верно ли более сильное утверждение <math>N(a)=O(1)</math>?
- Гипотеза Зарембы (англ.). Для любого натурального числа q найдётся такое число p, что в разложении <math>\frac pq</math> в цепную дробь все неполные частные не превосходят пяти. В 2011 году Жаном Бургейном и Алексом Конторовичем было доказано, что для дробей с неполными частными, ограниченными 50, гипотеза верна на множестве плотностью 1[14].
Теория Рамсея
- Значения чисел Рамсея <math>R(r,\;s)</math>. Точно известны только несколько первых чисел. Например, неизвестно, при каком наименьшем N в любой группе из N человек найдутся 5 человек, попарно знакомых друг с другом, или 5 человек, попарно незнакомых друг с другом — это число обозначается <math>R(5,\;5)</math>, про него известно только, что <math>43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 49</math>.
| <math>r,\;s</math> | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 2 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 3 | 1 | 3 | 6 | 9 | 14 | 18 | 23 | 28 | 36 | [40, 43] |
| 4 | 1 | 4 | 9 | 18 | 25 | [35, 41] | [49, 61] | [56, 84] | [73, 115] | [92, 149] |
| 5 | 1 | 5 | 14 | 25 | [43, 49] | [58, 87] | [80, 143] | [101, 216] | [125, 316] | [143, 442] |
| 6 | 1 | 6 | 18 | [35, 41] | [58, 87] | [102, 165] | [113, 298] | [127, 495] | [169, 780] | [179, 1171] |
| 7 | 1 | 7 | 23 | [49, 61] | [80, 143] | [113, 298] | [205, 540] | [216, 1031] | [233, 1713] | [289, 2826] |
| 8 | 1 | 8 | 28 | [56, 84] | [101, 216] | [127, 495] | [216, 1031] | [282, 1870] | [317, 3583] | ≤ 6090 |
| 9 | 1 | 9 | 36 | [73, 115] | [125, 316] | [169, 780] | [233, 1713] | [317, 3583] | [565, 6588] | [580, 12 677] |
| 10 | 1 | 10 | [40, 43] | [92, 149] | [143, 442] | [179, 1171] | [289, 2826] | ≤ 6090 | [580, 12 677] | [798, 23 556] |
- Значения чисел ван дер Вардена[en]. На данный момент известны значения только 6 первых чисел[15]: 1, 3, 9, 35, 178 и 1132. Например, неизвестно, при каком наименьшем N при любом разбиении множества <math>\{1, 2, \dots, N\}</math> на два подмножества хотя бы одно из них будет содержать арифметическую прогрессию длиной 7 (известно, что <math>3704 \leqslant N \leqslant {}^8 2</math>, где выражение для верхней границы использует тетрацию)[16].
Другие проблемы
- Пусть <math>x</math> — положительное число такое, что <math>2^x</math> и <math>3^x</math> — целые числа. Может ли <math>x</math> не быть целым числом?
- Существование слегка избыточных чисел.
- Существуют ли попарно различные натуральные числа <math>a,\;b,\;c,\;d</math> такие, что <math>a^5+b^5=c^5+d^5</math>?[17]
- Существуют ли две различные пифагоровы тройки, имеющие одинаковое произведение?[18]
- Гипотеза Била. Если <math>A^x+B^y=C^z,</math> где <math>A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z</math> — натуральные и <math>x,\;y,\;z>2</math>, то <math>A,\;B,\;C</math> имеют общий простой делитель.
- Гипотеза Эрдёша. Если сумма обратных величин для некоторого множества натуральных чисел расходится, то в этом множестве можно найти сколь угодно длинную арифметическую прогрессию.
- Насколько велика может быть сумма обратных величин последовательности натуральных чисел, в которой никакой элемент не равен сумме нескольких других различных элементов? (Эрдёш)[19]
- Гипотеза Коллатца (гипотеза 3n+1).
- Гипотеза жонглёра. Любая последовательность жонглёра достигает 1[20]. Последовательность жонглёра описывается рекурсивной формулой:
- <math>a_{k+1}=\begin{cases}
\left\lfloor a_k^{1/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is even}; \\ \\
\left\lfloor a_k^{3/2}\right\rfloor, & \text{if}\ a_k\ \text{is odd}.
\end{cases}</math>
- Задача Брокара. Имеет ли уравнение <math>n!+1=m^2</math> решения в натуральных числах, кроме (4, 5), (5, 11) и (7, 71)?[21]
- Гипотеза Томашевски. Только числа 1, 6 и 120 являются одновременно треугольными и факториалами[22]. В альтернативной формулировке сводится к решению уравнения <math>8\cdot n!+1=m^2</math> в натуральных числах.
- Конечно ли множество решений уравнения <math>2^n \equiv 3 \pmod n?</math> В настоящее время известно только 5 решений[23].[24][25]
- Верно ли утверждение, что квадрат всякого рационального числа представим в виде суммы четвёртых степеней четырёх рациональных чисел?
- Проблема Варинга и её обобщения:
- Конечно ли множество натуральных чисел, которые нельзя представить в виде суммы 6 кубов неотрицательных целых чисел?[26] Аналогичный вопрос стоит для сумм 5 и 4 кубов, а также для многих чисел слагаемых со степенями выше 4.
- С какой точностью натуральное число можно представить суммой квадратов двух целых чисел?
- Проблема 196. Существуют ли такие натуральные числа, которые в результате повторения операции «перевернуть и сложить», никогда не превратятся в палиндром?
- Существует ли параллелепипед Эйлера (параллелепипед со всеми целочисленными диагоналями), пространственная диагональ которого также имеет целую длину?[27]
См. также
- Открытые математические проблемы — проблемы из других разделов математики
Напишите отзыв о статье "Открытые проблемы в теории чисел"
Примечания
- ↑ [books.google.ru/books?id=4lT3M6F745sC Mathematical developments arising from Hilbert problems], стр. 39
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PrimeSums.html Prime Sums] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/GilbreathsConjecture.html Гипотеза Гильбрайта] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/IntegerSequencePrimes.html Integer Sequence Primes] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 68.
- ↑ 1 2 Матиясевич, Ю. В. [kvant.mccme.ru/au/matiyasevich_yu.htm Формулы для простых чисел] // Квант. — 1975. — Т. 1. — № 5. — С. 8.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 404.
- ↑ 1 2 3 Ю. В. Матиясевич. Упражнение 2.10 // [logic.pdmi.ras.ru/~yumat/H10Pbook/index.html Десятая проблема Гильберта]. — М.: Наука, 1993. — 223 с. — (Математическая логика и основания математики; выпуск № 26). — ISBN 502014326X.
- ↑ Jones J. P. (1980). «[www.ams.org/bull/1980-03-02/S0273-0979-1980-14832-6/S0273-0979-1980-14832-6.pdf Undecidable diophantine equations]». Bull. Amer. Math. Soc. 3: 859-862. DOI:10.1090/S0273-0979-1980-14832-6.
- ↑ Yuri Matiyasevich, [www.claymath.org/events/h10/matiyasevich2.pdf Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done]
- ↑ А. А. Бухштаб. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Buhshtab1966ru.djvu Теория чисел]. — М.: Просвещение, 1966.
- ↑ [dic.academic.ru/dic.nsf/enc_mathematics/190/АНАЛИТИЧЕСКАЯ Аналитическая теория чисел]
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/DirichletDivisorProblem.html Dirichlet Divisor Problem] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. [arxiv.org/abs/1103.0422 On Zaremba’s Conjecture].
- ↑ Последовательность A005346 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/vanderWaerdenNumber.html Число ван дер Вардена] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ [cage.ugent.be/~hvernaev/problems/Proble18.html Unsolved Problem 18: Are there distinct positive integers, a, b, c, and, d such that a^5+b^5=c^5+d^5?] [cage.ugent.be/~hvernaev/problems/archive.html Unsolved Problem of the Week]. MathPro Press.
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/PythagoreanTriple.html Пифагорова тройка] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/A-Sequence.html A-Sequence] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Последовательности A007320, A094716 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/BrocardsProblem.html Проблема Брокарда] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Последовательности A000142, A000217 в OEIS
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/2.html Число 2] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ [oeis.org/wiki/2%5En_mod_n 2^n mod n - OeisWiki]
- ↑ web.archive.org/web/20120104074313/www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
- ↑ Weisstein, Eric W. [mathworld.wolfram.com/CubicNumber.html Cubic Number] (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
- ↑ Стюарт, 2015, с. 406.
Литература
- Стюарт Иэн. Величайшие математические задачи. — М.: Альпина нон-фикшн, 2015. — 460 с. — ISBN 978-5-91671-318-3.
Ссылки
- [garden.irmacs.sfu.ca/ Open Problem Garden] (англ.)
- [www.openquestions.com/oq-math.htm Open Questions: Mathematics] (англ.)
- [maven.smith.edu/~orourke/TOPP/ The Open Problems Project] (англ.)
- [www.google.com/Top/Science/Math/Research/Open_Problems/ Открытые математические проблемы в Google Directory] (англ.)
- [etudes.ru Видеоклипы о нерешённых математических проблемах]
- unsolvedproblems.org/
Отрывок, характеризующий Открытые проблемы в теории чисел
– Смотри не поддерживать! – кричал другой.– Я за Долохова! – кричал третий. – Разними, Курагин.
– Ну, бросьте Мишку, тут пари.
– Одним духом, иначе проиграно, – кричал четвертый.
– Яков, давай бутылку, Яков! – кричал сам хозяин, высокий красавец, стоявший посреди толпы в одной тонкой рубашке, раскрытой на средине груди. – Стойте, господа. Вот он Петруша, милый друг, – обратился он к Пьеру.
Другой голос невысокого человека, с ясными голубыми глазами, особенно поражавший среди этих всех пьяных голосов своим трезвым выражением, закричал от окна: «Иди сюда – разойми пари!» Это был Долохов, семеновский офицер, известный игрок и бретёр, живший вместе с Анатолем. Пьер улыбался, весело глядя вокруг себя.
– Ничего не понимаю. В чем дело?
– Стойте, он не пьян. Дай бутылку, – сказал Анатоль и, взяв со стола стакан, подошел к Пьеру.
– Прежде всего пей.
Пьер стал пить стакан за стаканом, исподлобья оглядывая пьяных гостей, которые опять столпились у окна, и прислушиваясь к их говору. Анатоль наливал ему вино и рассказывал, что Долохов держит пари с англичанином Стивенсом, моряком, бывшим тут, в том, что он, Долохов, выпьет бутылку рому, сидя на окне третьего этажа с опущенными наружу ногами.
– Ну, пей же всю! – сказал Анатоль, подавая последний стакан Пьеру, – а то не пущу!
– Нет, не хочу, – сказал Пьер, отталкивая Анатоля, и подошел к окну.
Долохов держал за руку англичанина и ясно, отчетливо выговаривал условия пари, обращаясь преимущественно к Анатолю и Пьеру.
Долохов был человек среднего роста, курчавый и с светлыми, голубыми глазами. Ему было лет двадцать пять. Он не носил усов, как и все пехотные офицеры, и рот его, самая поразительная черта его лица, был весь виден. Линии этого рта были замечательно тонко изогнуты. В средине верхняя губа энергически опускалась на крепкую нижнюю острым клином, и в углах образовывалось постоянно что то вроде двух улыбок, по одной с каждой стороны; и всё вместе, а особенно в соединении с твердым, наглым, умным взглядом, составляло впечатление такое, что нельзя было не заметить этого лица. Долохов был небогатый человек, без всяких связей. И несмотря на то, что Анатоль проживал десятки тысяч, Долохов жил с ним и успел себя поставить так, что Анатоль и все знавшие их уважали Долохова больше, чем Анатоля. Долохов играл во все игры и почти всегда выигрывал. Сколько бы он ни пил, он никогда не терял ясности головы. И Курагин, и Долохов в то время были знаменитостями в мире повес и кутил Петербурга.
Бутылка рому была принесена; раму, не пускавшую сесть на наружный откос окна, выламывали два лакея, видимо торопившиеся и робевшие от советов и криков окружавших господ.
Анатоль с своим победительным видом подошел к окну. Ему хотелось сломать что нибудь. Он оттолкнул лакеев и потянул раму, но рама не сдавалась. Он разбил стекло.
– Ну ка ты, силач, – обратился он к Пьеру.
Пьер взялся за перекладины, потянул и с треском выворотип дубовую раму.
– Всю вон, а то подумают, что я держусь, – сказал Долохов.
– Англичанин хвастает… а?… хорошо?… – говорил Анатоль.
– Хорошо, – сказал Пьер, глядя на Долохова, который, взяв в руки бутылку рома, подходил к окну, из которого виднелся свет неба и сливавшихся на нем утренней и вечерней зари.
Долохов с бутылкой рома в руке вскочил на окно. «Слушать!»
крикнул он, стоя на подоконнике и обращаясь в комнату. Все замолчали.
– Я держу пари (он говорил по французски, чтоб его понял англичанин, и говорил не слишком хорошо на этом языке). Держу пари на пятьдесят империалов, хотите на сто? – прибавил он, обращаясь к англичанину.
– Нет, пятьдесят, – сказал англичанин.
– Хорошо, на пятьдесят империалов, – что я выпью бутылку рома всю, не отнимая ото рта, выпью, сидя за окном, вот на этом месте (он нагнулся и показал покатый выступ стены за окном) и не держась ни за что… Так?…
– Очень хорошо, – сказал англичанин.
Анатоль повернулся к англичанину и, взяв его за пуговицу фрака и сверху глядя на него (англичанин был мал ростом), начал по английски повторять ему условия пари.
– Постой! – закричал Долохов, стуча бутылкой по окну, чтоб обратить на себя внимание. – Постой, Курагин; слушайте. Если кто сделает то же, то я плачу сто империалов. Понимаете?
Англичанин кивнул головой, не давая никак разуметь, намерен ли он или нет принять это новое пари. Анатоль не отпускал англичанина и, несмотря на то что тот, кивая, давал знать что он всё понял, Анатоль переводил ему слова Долохова по английски. Молодой худощавый мальчик, лейб гусар, проигравшийся в этот вечер, взлез на окно, высунулся и посмотрел вниз.
– У!… у!… у!… – проговорил он, глядя за окно на камень тротуара.
– Смирно! – закричал Долохов и сдернул с окна офицера, который, запутавшись шпорами, неловко спрыгнул в комнату.
Поставив бутылку на подоконник, чтобы было удобно достать ее, Долохов осторожно и тихо полез в окно. Спустив ноги и расперевшись обеими руками в края окна, он примерился, уселся, опустил руки, подвинулся направо, налево и достал бутылку. Анатоль принес две свечки и поставил их на подоконник, хотя было уже совсем светло. Спина Долохова в белой рубашке и курчавая голова его были освещены с обеих сторон. Все столпились у окна. Англичанин стоял впереди. Пьер улыбался и ничего не говорил. Один из присутствующих, постарше других, с испуганным и сердитым лицом, вдруг продвинулся вперед и хотел схватить Долохова за рубашку.
– Господа, это глупости; он убьется до смерти, – сказал этот более благоразумный человек.
Анатоль остановил его:
– Не трогай, ты его испугаешь, он убьется. А?… Что тогда?… А?…
Долохов обернулся, поправляясь и опять расперевшись руками.
– Ежели кто ко мне еще будет соваться, – сказал он, редко пропуская слова сквозь стиснутые и тонкие губы, – я того сейчас спущу вот сюда. Ну!…
Сказав «ну»!, он повернулся опять, отпустил руки, взял бутылку и поднес ко рту, закинул назад голову и вскинул кверху свободную руку для перевеса. Один из лакеев, начавший подбирать стекла, остановился в согнутом положении, не спуская глаз с окна и спины Долохова. Анатоль стоял прямо, разинув глаза. Англичанин, выпятив вперед губы, смотрел сбоку. Тот, который останавливал, убежал в угол комнаты и лег на диван лицом к стене. Пьер закрыл лицо, и слабая улыбка, забывшись, осталась на его лице, хоть оно теперь выражало ужас и страх. Все молчали. Пьер отнял от глаз руки: Долохов сидел всё в том же положении, только голова загнулась назад, так что курчавые волосы затылка прикасались к воротнику рубахи, и рука с бутылкой поднималась всё выше и выше, содрогаясь и делая усилие. Бутылка видимо опорожнялась и с тем вместе поднималась, загибая голову. «Что же это так долго?» подумал Пьер. Ему казалось, что прошло больше получаса. Вдруг Долохов сделал движение назад спиной, и рука его нервически задрожала; этого содрогания было достаточно, чтобы сдвинуть всё тело, сидевшее на покатом откосе. Он сдвинулся весь, и еще сильнее задрожали, делая усилие, рука и голова его. Одна рука поднялась, чтобы схватиться за подоконник, но опять опустилась. Пьер опять закрыл глаза и сказал себе, что никогда уж не откроет их. Вдруг он почувствовал, что всё вокруг зашевелилось. Он взглянул: Долохов стоял на подоконнике, лицо его было бледно и весело.
– Пуста!
Он кинул бутылку англичанину, который ловко поймал ее. Долохов спрыгнул с окна. От него сильно пахло ромом.
– Отлично! Молодцом! Вот так пари! Чорт вас возьми совсем! – кричали с разных сторон.
Англичанин, достав кошелек, отсчитывал деньги. Долохов хмурился и молчал. Пьер вскочил на окно.
Господа! Кто хочет со мною пари? Я то же сделаю, – вдруг крикнул он. – И пари не нужно, вот что. Вели дать бутылку. Я сделаю… вели дать.
– Пускай, пускай! – сказал Долохов, улыбаясь.
– Что ты? с ума сошел? Кто тебя пустит? У тебя и на лестнице голова кружится, – заговорили с разных сторон.
– Я выпью, давай бутылку рому! – закричал Пьер, решительным и пьяным жестом ударяя по столу, и полез в окно.
Его схватили за руки; но он был так силен, что далеко оттолкнул того, кто приблизился к нему.
– Нет, его так не уломаешь ни за что, – говорил Анатоль, – постойте, я его обману. Послушай, я с тобой держу пари, но завтра, а теперь мы все едем к***.
– Едем, – закричал Пьер, – едем!… И Мишку с собой берем…
И он ухватил медведя, и, обняв и подняв его, стал кружиться с ним по комнате.
Князь Василий исполнил обещание, данное на вечере у Анны Павловны княгине Друбецкой, просившей его о своем единственном сыне Борисе. О нем было доложено государю, и, не в пример другим, он был переведен в гвардию Семеновского полка прапорщиком. Но адъютантом или состоящим при Кутузове Борис так и не был назначен, несмотря на все хлопоты и происки Анны Михайловны. Вскоре после вечера Анны Павловны Анна Михайловна вернулась в Москву, прямо к своим богатым родственникам Ростовым, у которых она стояла в Москве и у которых с детства воспитывался и годами живал ее обожаемый Боренька, только что произведенный в армейские и тотчас же переведенный в гвардейские прапорщики. Гвардия уже вышла из Петербурга 10 го августа, и сын, оставшийся для обмундирования в Москве, должен был догнать ее по дороге в Радзивилов.
У Ростовых были именинницы Натальи, мать и меньшая дочь. С утра, не переставая, подъезжали и отъезжали цуги, подвозившие поздравителей к большому, всей Москве известному дому графини Ростовой на Поварской. Графиня с красивой старшею дочерью и гостями, не перестававшими сменять один другого, сидели в гостиной.
Графиня была женщина с восточным типом худого лица, лет сорока пяти, видимо изнуренная детьми, которых у ней было двенадцать человек. Медлительность ее движений и говора, происходившая от слабости сил, придавала ей значительный вид, внушавший уважение. Княгиня Анна Михайловна Друбецкая, как домашний человек, сидела тут же, помогая в деле принимания и занимания разговором гостей. Молодежь была в задних комнатах, не находя нужным участвовать в приеме визитов. Граф встречал и провожал гостей, приглашая всех к обеду.
«Очень, очень вам благодарен, ma chere или mon cher [моя дорогая или мой дорогой] (ma сherе или mon cher он говорил всем без исключения, без малейших оттенков как выше, так и ниже его стоявшим людям) за себя и за дорогих именинниц. Смотрите же, приезжайте обедать. Вы меня обидите, mon cher. Душевно прошу вас от всего семейства, ma chere». Эти слова с одинаковым выражением на полном веселом и чисто выбритом лице и с одинаково крепким пожатием руки и повторяемыми короткими поклонами говорил он всем без исключения и изменения. Проводив одного гостя, граф возвращался к тому или той, которые еще были в гостиной; придвинув кресла и с видом человека, любящего и умеющего пожить, молодецки расставив ноги и положив на колена руки, он значительно покачивался, предлагал догадки о погоде, советовался о здоровье, иногда на русском, иногда на очень дурном, но самоуверенном французском языке, и снова с видом усталого, но твердого в исполнении обязанности человека шел провожать, оправляя редкие седые волосы на лысине, и опять звал обедать. Иногда, возвращаясь из передней, он заходил через цветочную и официантскую в большую мраморную залу, где накрывали стол на восемьдесят кувертов, и, глядя на официантов, носивших серебро и фарфор, расставлявших столы и развертывавших камчатные скатерти, подзывал к себе Дмитрия Васильевича, дворянина, занимавшегося всеми его делами, и говорил: «Ну, ну, Митенька, смотри, чтоб всё было хорошо. Так, так, – говорил он, с удовольствием оглядывая огромный раздвинутый стол. – Главное – сервировка. То то…» И он уходил, самодовольно вздыхая, опять в гостиную.
– Марья Львовна Карагина с дочерью! – басом доложил огромный графинин выездной лакей, входя в двери гостиной.
Графиня подумала и понюхала из золотой табакерки с портретом мужа.
– Замучили меня эти визиты, – сказала она. – Ну, уж ее последнюю приму. Чопорна очень. Проси, – сказала она лакею грустным голосом, как будто говорила: «ну, уж добивайте!»
Высокая, полная, с гордым видом дама с круглолицей улыбающейся дочкой, шумя платьями, вошли в гостиную.
«Chere comtesse, il y a si longtemps… elle a ete alitee la pauvre enfant… au bal des Razoumowsky… et la comtesse Apraksine… j'ai ete si heureuse…» [Дорогая графиня, как давно… она должна была пролежать в постеле, бедное дитя… на балу у Разумовских… и графиня Апраксина… была так счастлива…] послышались оживленные женские голоса, перебивая один другой и сливаясь с шумом платьев и передвиганием стульев. Начался тот разговор, который затевают ровно настолько, чтобы при первой паузе встать, зашуметь платьями, проговорить: «Je suis bien charmee; la sante de maman… et la comtesse Apraksine» [Я в восхищении; здоровье мамы… и графиня Апраксина] и, опять зашумев платьями, пройти в переднюю, надеть шубу или плащ и уехать. Разговор зашел о главной городской новости того времени – о болезни известного богача и красавца Екатерининского времени старого графа Безухого и о его незаконном сыне Пьере, который так неприлично вел себя на вечере у Анны Павловны Шерер.
– Я очень жалею бедного графа, – проговорила гостья, – здоровье его и так плохо, а теперь это огорченье от сына, это его убьет!
– Что такое? – спросила графиня, как будто не зная, о чем говорит гостья, хотя она раз пятнадцать уже слышала причину огорчения графа Безухого.
– Вот нынешнее воспитание! Еще за границей, – проговорила гостья, – этот молодой человек предоставлен был самому себе, и теперь в Петербурге, говорят, он такие ужасы наделал, что его с полицией выслали оттуда.
– Скажите! – сказала графиня.
– Он дурно выбирал свои знакомства, – вмешалась княгиня Анна Михайловна. – Сын князя Василия, он и один Долохов, они, говорят, Бог знает что делали. И оба пострадали. Долохов разжалован в солдаты, а сын Безухого выслан в Москву. Анатоля Курагина – того отец как то замял. Но выслали таки из Петербурга.
– Да что, бишь, они сделали? – спросила графиня.
– Это совершенные разбойники, особенно Долохов, – говорила гостья. – Он сын Марьи Ивановны Долоховой, такой почтенной дамы, и что же? Можете себе представить: они втроем достали где то медведя, посадили с собой в карету и повезли к актрисам. Прибежала полиция их унимать. Они поймали квартального и привязали его спина со спиной к медведю и пустили медведя в Мойку; медведь плавает, а квартальный на нем.
– Хороша, ma chere, фигура квартального, – закричал граф, помирая со смеху.
– Ах, ужас какой! Чему тут смеяться, граф?
Но дамы невольно смеялись и сами.
– Насилу спасли этого несчастного, – продолжала гостья. – И это сын графа Кирилла Владимировича Безухова так умно забавляется! – прибавила она. – А говорили, что так хорошо воспитан и умен. Вот всё воспитание заграничное куда довело. Надеюсь, что здесь его никто не примет, несмотря на его богатство. Мне хотели его представить. Я решительно отказалась: у меня дочери.
