Теорема Эренфеста

Квантовая механика

<math>\Delta x\cdot\Delta p_x \geqslant \frac{\hbar}{2} </math>

Принцип неопределённости

Введение Математические основы

Основа Классическая механика · Постоянная Планка · Интерференция · Бра и кет · Гамильтониан · Старая квантовая теория Фундаментальные понятия Квантовое состояние · Квантовая наблюдаемая · Волновая функция · Квантовая суперпозиция · Квантовая запутанность · Смешанное состояние · Измерение · Неопределённость · Принцип Паули · Дуализм · Декогеренция · Теорема Эренфеста · Туннельный эффект Эксперименты Опыт Дэвиссона — Джермера · Опыт Поппера · Опыт Штерна — Герлаха · Опыт Юнга · Проверка неравенств Белла · Фотоэффект · Эффект Комптона Формулировки Представление Шрёдингера · Представление Гейзенберга · Представление взаимодействия · Матричная квантовая механика · Интегралы по траекториям · Диаграммы Фейнмана Уравнения Уравнение Шрёдингера · Уравнение Паули · Уравнение Клейна — Гордона · Уравнение Дирака · Уравнение Швингера — Томонаги · Уравнение фон Неймана · Уравнение Блоха · Уравнение Линдблада · Уравнение Гейзенберга Интерпретации Копенгагенская · Теория скрытых параметров · Многомировая · Теория де Бройля — Бома Развитие теории Квантовая теория поля · Квантовая электродинамика · Теория Глэшоу — Вайнберга — Салама · Квантовая хромодинамика · Стандартная модель · Квантовая гравитация Сложные темы Квантовая теория поля · Квантовая гравитация · Теория всего Известные учёные Планк · Эйнштейн · Шрёдингер · Гейзенберг · Йордан · Бор · Паули · Дирак · Фок · Борн · де Бройль · Ландау · Фейнман · Бом · Эверетт

См. также: Портал:Физика

Теоре́ма Эренфе́ста (Уравнения Эренфеста) — утверждение о виде уравнений квантовой механики для средних значений наблюдаемых величин гамильтоновых систем. Эти уравнения впервые получены П. Эренфестом в 1927 году.

Формулировка теоремы:

В квантовой механике средние значения координат и импульсов частицы, а также силы, действующей на неё, связаны между собой уравнениями, аналогичными соответствующим уравнениям классической механики, то есть при движении частицы средние значения этих величин в квантовой механике изменяются так, как изменяются значения этих величин в классической механике (полная аналогия только при соблюдении ряда условий, подробнее ).

Уравнение Эренфеста для среднего значения квантовой наблюдаемой гамильтоновой системы имеет вид

<math>\frac{d}{dt}\langle A\rangle = \frac{1}{i\hbar}\langle [A,H] \rangle + \left\langle \frac{\partial A}{\partial t}\right\rangle , </math>

где <math>\ A</math> — квантовая наблюдаемая, <math>\ H</math> — оператор Гамильтона системы, угловыми скобками обозначено взятие среднего значения. Это уравнение может быть выведено из уравнения Гейзенберга.

В частном случае, средние значения координаты <math>\ q</math> и импульса <math>\ p</math> частицы описываются уравнениями

<math> \frac{d}{dt}\langle q\rangle = \frac{1}{m}\langle p\rangle , </math>

<math> \frac{d}{dt}\langle p\rangle = - \left\langle \frac{\partial U}{\partial q}\right\rangle ,</math>

где <math>\ m </math> — масса частицы, <math>\ U(q) </math> — оператор потенциальной энергии частицы.

Уравнения Эренфеста для средних координат и импульсов являются квантовыми аналогами системы канонических уравнений Гамильтона и задают квантовое обобщение второго закона Ньютона.

Литература

• Эренфест П. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Erenfest1972ru.djvu Относительность. Кванты. Статистика. Сборник статей], — М.: Наука, 1972. (Статья «Замечание о приближенной справедливости классической механики в рамках квантовой механики» стр. 82-84)
• Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. 5-ое изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с (параграф 32, стр. 130—133)
• Матвеев А. Н. Атомная физика, — М.: Высшая школа, 1989. — 439 с (стр. 124—126)
• Мессиа А. [eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Messia_t1_1978ru.djvu Квантовая механика. В 2-х томах] / Под ред. Л.Д. Фадеева. Перевод с франц. В.Т. Хозяинова.. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — С. 307. (VI.2. стр.214-216)
• Борисов А. В. [nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161226&uri=index.html Основы квантовой механики], — Физический факультет МГУ, 1998 г. ([nature.web.ru/db/msg.html?mid=1161226&uri=page7.html#6-3 Теоремы Эренфеста])

Отрывок, характеризующий Теорема Эренфеста

Кутузов сидел, понурив седую голову и опустившись тяжелым телом, на покрытой ковром лавке, на том самом месте, на котором утром его видел Пьер. Он не делал никаких распоряжении, а только соглашался или не соглашался на то, что предлагали ему.
«Да, да, сделайте это, – отвечал он на различные предложения. – Да, да, съезди, голубчик, посмотри, – обращался он то к тому, то к другому из приближенных; или: – Нет, не надо, лучше подождем», – говорил он. Он выслушивал привозимые ему донесения, отдавал приказания, когда это требовалось подчиненным; но, выслушивая донесения, он, казалось, не интересовался смыслом слов того, что ему говорили, а что то другое в выражении лиц, в тоне речи доносивших интересовало его. Долголетним военным опытом он знал и старческим умом понимал, что руководить сотнями тысяч человек, борющихся с смертью, нельзя одному человеку, и знал, что решают участь сраженья не распоряжения главнокомандующего, не место, на котором стоят войска, не количество пушек и убитых людей, а та неуловимая сила, называемая духом войска, и он следил за этой силой и руководил ею, насколько это было в его власти.
Общее выражение лица Кутузова было сосредоточенное, спокойное внимание и напряжение, едва превозмогавшее усталость слабого и старого тела.
В одиннадцать часов утра ему привезли известие о том, что занятые французами флеши были опять отбиты, но что князь Багратион ранен. Кутузов ахнул и покачал головой.
– Поезжай к князю Петру Ивановичу и подробно узнай, что и как, – сказал он одному из адъютантов и вслед за тем обратился к принцу Виртембергскому, стоявшему позади него:
– Не угодно ли будет вашему высочеству принять командование первой армией.
Вскоре после отъезда принца, так скоро, что он еще не мог доехать до Семеновского, адъютант принца вернулся от него и доложил светлейшему, что принц просит войск.
Кутузов поморщился и послал Дохтурову приказание принять командование первой армией, а принца, без которого, как он сказал, он не может обойтись в эти важные минуты, просил вернуться к себе. Когда привезено было известие о взятии в плен Мюрата и штабные поздравляли Кутузова, он улыбнулся.
– Подождите, господа, – сказал он. – Сражение выиграно, и в пленении Мюрата нет ничего необыкновенного. Но лучше подождать радоваться. – Однако он послал адъютанта проехать по войскам с этим известием.
Когда с левого фланга прискакал Щербинин с донесением о занятии французами флешей и Семеновского, Кутузов, по звукам поля сражения и по лицу Щербинина угадав, что известия были нехорошие, встал, как бы разминая ноги, и, взяв под руку Щербинина, отвел его в сторону.
– Съезди, голубчик, – сказал он Ермолову, – посмотри, нельзя ли что сделать.
Кутузов был в Горках, в центре позиции русского войска. Направленная Наполеоном атака на наш левый фланг была несколько раз отбиваема. В центре французы не подвинулись далее Бородина. С левого фланга кавалерия Уварова заставила бежать французов.