Математическая формула

Эта статья об обозначениях элементарной математики; Для более общего контекста см.: Математические обозначения.

Математическая формула (от лат. formula — уменьшительное от forma — образ, вид) — в математике, а также физике и прикладных науках, является, наряду с термами, разновидностью математического выражения; имеет вид комбинации знаков, имеющей самостоятельный смысл и представляющей собой символическую запись высказывания (которое выражает логическое суждение), либо формы высказывания. В более широком смысле формула — всякая чисто символьная запись (см. ниже), противопоставляемая в математике различным выразительным способам, имеющим геометрическую коннотацию: чертежам, графикам, диаграммам, графам и т. п.

Основные виды (численных) формул

Как правило, в формулу входят переменные (одна или более), причём сама формула представляет собой не просто выражение, а некое суждение. Такое суждение может утверждать что-то о переменных, а может — о применяемых операциях. Точный смысл формулы зачастую подразумевается из контекста и его невозможно понять непосредственно из её вида. Можно выделить три распространённых случая:

• Формула должна сообщить, как искать значения переменной (уравнения и т. п.);
• Формула (записываемая как «искомое = выражение») определяет величину через свои параметры (аналогично присваиванию в программировании и иногда записывается через диграф «:=» как в языке Pascal, но в принципе может считаться вырожденным частным случаем уравнения);
• Формула является собственно логическим утверждением: тождеством (например, аксиомой), утверждением теоремы и т. п.

Уравнения

Уравнение — формула, внешняя (верхняя) связка которого представляет собой бинарное отношение равенства. Однако важная особенность уравнения заключается также в том, что входящие в него символы делятся на переменные и параметры (присутствие последних, впрочем, необязательно). Например, <math>x^2 = 1</math> является уравнением, где x — переменная. Значения переменной, при которых равенство истинно, называются корнями уравнения: в данном случае таковыми являются два числа 1 и −1. Как правило, если уравнение на одну переменную не является тождеством (см. ниже), то корни уравнения представляют собой дискретное, чаще всего конечное (возможно и пустое) множество.

Если в уравнение входят параметры, то его смысл — для заданных параметров найти корни (то есть значения переменной, при котором равенство верно). Иногда это можно сформулировать как нахождение неявной зависимости переменной от параметра (параметров). Например <math>x^2 = a</math> понимается как уравнение на x (это обычная буква для обозначения переменной, наряду с y, z и t). Корнями уравнения является квадратный корень из a (считается, что их имеется два, разных знаков). Следует отметить, что подобная формула, сама по себе, задаёт лишь бинарное отношение между x и a и её можно понимать в обратную сторону, как уравнение на a относительно x. В данном элементарном случае, речь может идти скорее об определении a через x: <math>a = x^2</math>.

Тождества

См. также: Тождество

Тождество — суждение, верное при любых значениях переменных. Обычно, под тождеством подразумевают тождественно верное равенство, хотя снаружи тождества может стоять и неравенство или какое-либо другое отношение. Во многих случаях тождество можно понимать как некое свойство используемых в нём операций, например тождество <math>a+b = b+a</math> утверждает коммутативность сложения.

С помощью математической формулы довольно сложные предложения могут быть записаны в компактной и удобной форме. Формулы, становящиеся истинными при любом замещении переменных конкретными объектами из некоторой области, называются тождественно-истинными в данной области. Например: «для любых a и b имеет место равенство <math>(a+b)^2=a^2+2ab+b^2</math>». Данное тождество можно вывести из аксиом сложения и умножения в коммутативном кольце, которые сами по себе также имеют вид тождеств.

Тождество может и не включать в себя переменные и являться арифметическим (или каким-то ещё) равенством, как например <math>6^3 = 3^3 + 4^3 + 5^3</math>.

Приближённые равенства

См. также: Приближение (математика)

Например: <math>x \approx \sin(x)</math> — приближённое равенство при малых <math>x</math>;

Неравенства

Формула-неравенство может пониматься в обоих описанных в начале раздела смыслах: как тождество (например, неравенство Коши — Буняковского) или же, подобно уравнению, как задача на отыскание множества (а точнее, подмножества области определения), которому может принадлежать переменная, или переменные.

Используемые операции

См. также: Алгебраическое выражение

В данном разделе будут перечислены операции, используемые в алгебре, а также некоторые общеупотребительные функции из математического анализа.

Сложение и вычитание

См. также: Сложение и Вычитание

Используются знаки «+» и «−» (последний на письме довольно слабо отличим от дефиса). Унарный минус чаще используется лишь при первом (левом) слагаемом, поскольку другие случаи, типа «a + (−b)» и «a − (−b)», ничем не отличаются по смыслу от более простых «a − b» и «a + b» соответственно.

По причине ассоциативности сложения, расстановка скобок для задания порядка выполнения сложения не имеет математического смысла. В алгебре слагаемыми называют аргументы как сложения, так и вычитания. Порядок выполнения вычитания, при отсутствии скобок, таков, что вычитаемым оказывается лишь член, выписанный непосредственно справа от знака вычитания, а не результат выполнения операций каких-либо сложения и вычитания, записанных правее. Таким образом со знаком минус входят в сумму лишь те «слагаемые», непосредственно слева от которых знак «−» имеется.

Умножение

См. также: Умножение

Знак умножения чаще всего опускается. Это не вызывает двусмысленности, поскольку переменные обозначаются обычно одиночными буквами, а выписывать умножение записанных цифрами констант друг на друга бессмысленно. В редких случаях, когда двусмысленности не избежать, умножение обозначается центрированным по вертикали символом точки «·». Символ «×» применяется лишь в школьной арифметике, в технических текстах (в особом контексте), а также некоторые системы вставляют его на месте знака умножения при переносе формулы на другую строку (обычно, перенос по знаку умножения избегается).

Деление

Деление в формулах записывается при помощи дробной черты. В школьной арифметике применяется также «÷» (обелюс).

Возведение в степень

См. также: Возведение в степень

Элементарные функции

См. также: Элементарные функции

Абсолютная величина, знак и т. п.

См. также: Абсолютная величина и sgn(x)

Приоритет операций и скобки

См. также: Приоритет операции

Приоритет, ранг или старшинство операции или оператора — формальное свойство оператора/операции, влияющее на очерёдность его выполнения в выражении с несколькими различными операторами при отсутствии явного (с помощью скобок) указания на порядок их вычисления. Например, операцию умножения обычно наделяют бо́льшим приоритетом, чем операцию сложения, поэтому в выражении будет получено сначала произведение y и z, а потом уже сумма.

Примеры

Например:

<math>2 + 2 = 7</math> — пример формулы, имеющей значение «ложь»;

<math> y = \ln(x)+\sin(x)</math> — функция одного действительного аргумента или однозначная функция;

<math>z=\frac{y^3}{y^2+x^2}</math> — функция нескольких аргументов или многозначная функция (график одной из самых замечательных кривых — верзьера Аньези);

<math>y = 1 - | 1 - x |</math> — не дифференцируемая функция в точке <math> x = 1</math> (непрерывная ломаная линия не имеет касательной);

<math>x^3 + y^3 = 3axy</math> — уравнение, то есть неявная функция (график кривой «декартов лист»);

<math> t_n=n!</math> — целочисленная функция;

<math> y =y^3 \sin(nx)</math> — чётная функция;

<math> y = \operatorname{tg}(x)</math> — нечётная функция;

<math> f(P) = \sqrt {x^2+y^2+z^2}</math> — функция точки, расстояние от точки до начала (декартовых) координат;

<math> y = \frac{1}{x - 3}</math> — разрывная функция в точке <math>x = 3</math>;

<math> x=a[t-\sin(t)]\,;\ y=a[1-\cos(t)]</math> — параметрически заданная функция (график циклоиды);

<math>y=\ln(x),\ x=e^y</math> — прямая и обратная функции;

<math>f(x) = \int\limits_{-\infty}^x |f(t)|\,dt</math> — интегральное уравнение.

Литература

• Чупахин И.Я., Бродский И.Н. Формальная логика. — Ленинград: Издательство Ленинградского университета, 1977. — 357 с.
• Колмогоров А.Н., Драгилин А.Г. Математическа логика. — М.: КомКнига, 2006. — 240 с. — ISBN 5-484-00520-5.

Ссылки

• [www.philipp-bittner.com/Bse/STRU-YA/2728.htm Большая советская энциклопедия](недоступная ссылка с 28-08-13 (3896 дней))
• [lesovikov.livejournal.com/1054316.html Самые красивые физические и математические формулы]
• [gabriel-solodova.narod.ru/form.htm Красивые формулы элементарной математики](недоступная ссылка с 28-08-13 (3896 дней))
• [www.yugzone.ru/x/spravochnik-po-vyssheiy-matematike/ М. Я. Выгодский. Справочник по высшей математике]
• Н. К. Верещагин, А. Шень. Лекции по математической логике и теории алгоритмов. Часть 1. Начала теории множеств.

См. также

• Алгебраическое выражение — математическое обозначение, не выражающее законченную мысль.
• Интерполяционные формулы
• Формула конечных приращений
• Формула Симпсона
• Рекуррентная формула
• Формула Эйлера
• ISO 31
• Трансцендентная функция