Характеристический многочлен матрицы

Характеристический многочлен матрицы — это многочлен, определяющий её собственные значения.

Характеристический многочлен графа — это характеристический многочлен его матрицы смежности.

Определение

Для данной матрицы <math>A</math>, <math>\chi(\lambda)=\det(A-\lambda E)</math>, где <math>E</math> — единичная матрица, является многочленом от <math>\lambda</math>, который называется характеристическим многочленом матрицы <math>A</math> (иногда также «вековым уравнением» (англ. secular equation)).

Ценность характеристического многочлена в том, что собственные значения матрицы являются его корнями. Действительно, если уравнение <math>Av=\lambda v</math> имеет ненулевое решение, то <math>(A-\lambda E)v=0</math>, значит матрица <math>A-\lambda E</math> вырождена и её определитель <math>\det(A-\lambda E)=\chi(\lambda)</math> равен нулю.

Связанные определения

• Матрицу <math>A-\lambda E</math> называют характеристической матрицей матрицы <math>A</math>.
• Уравнение <math>\chi(\lambda)=0</math> называют характеристическим уравнением матрицы <math>A</math>.

Свойства

• Для матрицы <math>n\times n</math>, характеристический многочлен имеет степень <math>n</math>.
• Все корни характеристического многочлена матрицы являются её собственными значениями.
• Теорема Гамильтона — Кэли: если <math>\chi(\lambda)</math> — характеристический многочлен матрицы <math>A</math>, то <math>\chi(A)=0</math>.
• Характеристические многочлены подобных матриц совпадают: <math>\chi_{ABA^{-1}}=\chi_{B}</math>.
• Если <math>A</math> и <math>B</math> — две <math>n\times n</math>-матрицы, то <math>\chi_{AB}\,=\,\chi_{BA}</math>. В частности, отсюда вытекает, что след их произведения <math>\mathrm{tr}\,(AB) = \mathrm{tr}\,(BA)</math> и <math>\det (AB) = \det (BA)</math>.
• В более общем виде, если <math>A</math> — <math>m\times n</math>-матрица, а <math>B</math> — <math>n\times m</math>-матрица, причем <math>m<n</math>, так что <math>AB</math> и <math>BA</math> — квадратные матрицы размеров <math>m</math> и <math>n</math> соответственно, то

<math>\chi_{BA}(\lambda)\,=\,\lambda^{n-m}\,\chi_{AB}(\lambda)</math>.

Ссылки

• В. Ю. Киселёв, А. С. Пяртли, Т. Ф. Калугина. [elib.ispu.ru/library/math/sem1/pyartli1/node80.html Высшая математика. Линейная алгебра]. — Ивановский государственный энергетический университет.

Отрывок, характеризующий Характеристический многочлен матрицы

– Как же звезда то в образе очутилась? – спросил Пьер.
– В генералы и матушку произвели? – сказал князь Aндрей улыбаясь.
Пелагеюшка вдруг побледнела и всплеснула руками.
– Отец, отец, грех тебе, у тебя сын! – заговорила она, из бледности вдруг переходя в яркую краску.
– Отец, что ты сказал такое, Бог тебя прости. – Она перекрестилась. – Господи, прости его. Матушка, что ж это?… – обратилась она к княжне Марье. Она встала и чуть не плача стала собирать свою сумочку. Ей, видно, было и страшно, и стыдно, что она пользовалась благодеяниями в доме, где могли говорить это, и жалко, что надо было теперь лишиться благодеяний этого дома.
– Ну что вам за охота? – сказала княжна Марья. – Зачем вы пришли ко мне?…
– Нет, ведь я шучу, Пелагеюшка, – сказал Пьер. – Princesse, ma parole, je n'ai pas voulu l'offenser, [Княжна, я право, не хотел обидеть ее,] я так только. Ты не думай, я пошутил, – говорил он, робко улыбаясь и желая загладить свою вину. – Ведь это я, а он так, пошутил только.
Пелагеюшка остановилась недоверчиво, но в лице Пьера была такая искренность раскаяния, и князь Андрей так кротко смотрел то на Пелагеюшку, то на Пьера, что она понемногу успокоилась.


Странница успокоилась и, наведенная опять на разговор, долго потом рассказывала про отца Амфилохия, который был такой святой жизни, что от ручки его ладоном пахло, и о том, как знакомые ей монахи в последнее ее странствие в Киев дали ей ключи от пещер, и как она, взяв с собой сухарики, двое суток провела в пещерах с угодниками. «Помолюсь одному, почитаю, пойду к другому. Сосну, опять пойду приложусь; и такая, матушка, тишина, благодать такая, что и на свет Божий выходить не хочется».
Пьер внимательно и серьезно слушал ее. Князь Андрей вышел из комнаты. И вслед за ним, оставив божьих людей допивать чай, княжна Марья повела Пьера в гостиную.
– Вы очень добры, – сказала она ему.
– Ах, я право не думал оскорбить ее, я так понимаю и высоко ценю эти чувства!
Княжна Марья молча посмотрела на него и нежно улыбнулась. – Ведь я вас давно знаю и люблю как брата, – сказала она. – Как вы нашли Андрея? – спросила она поспешно, не давая ему времени сказать что нибудь в ответ на ее ласковые слова. – Он очень беспокоит меня. Здоровье его зимой лучше, но прошлой весной рана открылась, и доктор сказал, что он должен ехать лечиться. И нравственно я очень боюсь за него. Он не такой характер как мы, женщины, чтобы выстрадать и выплакать свое горе. Он внутри себя носит его. Нынче он весел и оживлен; но это ваш приезд так подействовал на него: он редко бывает таким. Ежели бы вы могли уговорить его поехать за границу! Ему нужна деятельность, а эта ровная, тихая жизнь губит его. Другие не замечают, а я вижу.