Линейная независимость

В линейной алгебре линейная зависимость — это свойство, которое может иметь подмножество линейного пространства. При линейной зависимости существует нетривиальная линейная комбинация элементов этого множества, равная нулевому элементу. При отсутствии такой комбинации, то есть, когда коэффициенты единственной такой линейной комбинации равны нулю, множество называется линейно независимым.

Пример

В <math>\mathbb{R}^3</math> векторы <math>(1,0,0)</math>, <math>(0,1,0)</math> и <math>(0,0,1)</math> линейно независимы, так как уравнение

<math>a_1\cdot(1,0,0) + a_2\cdot(0,1,0) + a_3\cdot(0,0,1) = (0,0,0) \quad a_i \in \mathbb{R}</math>

имеет только одно — тривиальное — решение.
Векторы <math>(1,0,0)</math> и <math>(5,0,0)</math> являются линейно зависимыми, так как

<math>(1,0,0) \cdot 5 = (5,0,0)</math>,

а, значит,

<math>-5 \cdot (1,0,0) + 1 \cdot (5,0,0) = (0,0,0)</math>

Определение

Пусть <math>V</math> будет линейное пространство над полем <math>K</math> и <math>M \subseteq V</math>. <math>M</math> называется линейно независимым множеством, если любое его конечное подмножество является линейно независимым.

Конечное множество <math>M' = \{v_1, v_2, ..., v_n\}</math> называется линейно независимым, если единственная линейная комбинация, равная нулю, тривиальна, то есть состоит из факторов, равных нулю:

<math>a_1v_1 + a_2v_2 + ... + a_nv_n = 0 \quad \Rightarrow \quad a_1 = a_2 = ... = a_n = 0</math>

Если существует такая линейная комбинация с минимум одним <math>a_i \neq 0</math>, <math>M'</math> называется линейно зависимым. Обратите внимание, что в первом равенстве подразумевается <math>0 \in V</math>, а во втором <math>0 \in K</math>.

Свойства

• <math>0 \in M \Rightarrow M</math> линейно зависимо
• <math>M</math> линейно независимо <math>\Rightarrow</math> <math>M'</math> линейно независимо для всех <math>M' \subseteq M</math>
• <math>M</math> линейно зависимо <math>\Rightarrow</math> <math>M'</math> линейно зависимо для всех <math>M' \supseteq M</math>

Значение

Линейные системы уравнений

Линейная система <math>n</math> уравнений, где <math>n</math> — количество переменных, имеет однозначное решение тогда и только тогда, когда столбцы её основной матрицы являются линейно независимыми.

Ранг матриц

Ранг матрицы равен числу её линейно независимых строк или столбцов.

Геометрический смысл

• Векторы <math>\vec{a}</math> и <math>\vec{b}</math> линейно зависимы тогда и только тогда, когда они коллинеарны (лежат на параллельных прямых).
• Векторы <math>\vec{a},\;\vec{b},\;\vec{c}</math> линейно зависимы тогда и только тогда, когда они компланарны (лежат в одной плоскости).

Базис

Базис линейного пространства является в частности множеством линейно независимых векторов.

См. также

• Базис
• Ранг матрицы
• Система линейных уравнений
• Аффинная независимость

Отрывок, характеризующий Линейная независимость

Совершается противодвижение с востока на запад с замечательным сходством с предшествовавшим движением с запада на восток. Те же попытки движения с востока на запад в 1805 – 1807 – 1809 годах предшествуют большому движению; то же сцепление и группу огромных размеров; то же приставание серединных народов к движению; то же колебание в середине пути и та же быстрота по мере приближения к цели.
Париж – крайняя цель достигнута. Наполеоновское правительство и войска разрушены. Сам Наполеон не имеет больше смысла; все действия его очевидно жалки и гадки; но опять совершается необъяснимая случайность: союзники ненавидят Наполеона, в котором они видят причину своих бедствий; лишенный силы и власти, изобличенный в злодействах и коварствах, он бы должен был представляться им таким, каким он представлялся им десять лет тому назад и год после, – разбойником вне закона. Но по какой то странной случайности никто не видит этого. Роль его еще не кончена. Человека, которого десять лет тому назад и год после считали разбойником вне закона, посылают в два дня переезда от Франции на остров, отдаваемый ему во владение с гвардией и миллионами, которые платят ему за что то.


Движение народов начинает укладываться в свои берега. Волны большого движения отхлынули, и на затихшем море образуются круги, по которым носятся дипломаты, воображая, что именно они производят затишье движения.
Но затихшее море вдруг поднимается. Дипломатам кажется, что они, их несогласия, причиной этого нового напора сил; они ждут войны между своими государями; положение им кажется неразрешимым. Но волна, подъем которой они чувствуют, несется не оттуда, откуда они ждут ее. Поднимается та же волна, с той же исходной точки движения – Парижа. Совершается последний отплеск движения с запада; отплеск, который должен разрешить кажущиеся неразрешимыми дипломатические затруднения и положить конец воинственному движению этого периода.
Человек, опустошивший Францию, один, без заговора, без солдат, приходит во Францию. Каждый сторож может взять его; но, по странной случайности, никто не только не берет, но все с восторгом встречают того человека, которого проклинали день тому назад и будут проклинать через месяц.
Человек этот нужен еще для оправдания последнего совокупного действия.
Действие совершено. Последняя роль сыграна. Актеру велено раздеться и смыть сурьму и румяны: он больше не понадобится.
И проходят несколько лет в том, что этот человек, в одиночестве на своем острове, играет сам перед собой жалкую комедию, мелочно интригует и лжет, оправдывая свои деяния, когда оправдание это уже не нужно, и показывает всему миру, что такое было то, что люди принимали за силу, когда невидимая рука водила им.
Распорядитель, окончив драму и раздев актера, показал его нам.