Овал Кассини
Овал Кассини — кривая, являющаяся геометрическим местом точек, произведение расстояний от которых до двух заданных точек (фокусов) постоянно и равно квадрату некоторого числа <math>a</math>.
Частным случаем овала Кассини при фокусном расстоянии равном <math>2a</math> является лемниската Бернулли. С другой стороны, сам овал является частным случаем лемнискаты.
Кривая была придумана астрономом Джованни Кассини. Он ошибочно считал, что она точнее определяет орбиту Земли, чем эллипс[1]. Хотя эту линию называют овалом Кассини, она не всегда овальна (см. ниже — Особенности формы).
Кривая постоянной суммы расстояний до двух заданных точек — эллипс, постоянного отношения — окружность Аполлония, постоянной разности — гипербола.
Содержание
Уравнения
Расстояние между фокусами <math>2c</math>.
- <math>\textstyle (x^2+y^2)^2-2c^2(x^2-y^2)=a^4-c^4</math>
Вывод |
---|
Фокусы — <math>F_1(-c;0)</math> и <math>F_2(c;0)</math>. Возьмём произвольную точку <math>M(x;y)</math>, найдём расстояние от фокусов до неё и приравняем его к <math>a^2</math>:
Возводим в квадрат обе части равенства:
Раскрываем скобки в левой части:
Раскрываем скобки, свёртываем новый квадрат суммы и выносим общий множитель:
|
- Явное уравнение в прямоугольных координатах:
- <math>\textstyle y=\pm\sqrt{\sqrt{a^4+4c^2x^2}-x^2-c^2}</math>
Вывод |
---|
Возводим в квадрат и раскрываем скобки:
Приводим к виду
Это квадратное уравнение относительно <math>y^2</math>. Решив его, получим
Взяв корень и отбросив вариант с отрицательным вторым слагаемым, получим:
где положительный вариант определяет верхнюю половину кривой, отрицательный — нижнюю. |
- В полярной системе координат:
- <math>\rho^4-2c^2\rho^2\cos{2\varphi}=a^4-c^4</math>
Вывод |
---|
Используя формулы перехода к полярной системе координат <math>x=\rho\cos\varphi,\,y=\rho\sin\varphi,</math> получим:
Выносим общие множители и используем тригонометрическое тождество <math>\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1</math>:
Используем ещё одно тождество: <math>\cos^2 \alpha - \sin^2 \alpha = cos 2\alpha</math>:
|
Особенности формы
В уравнении кривой содержатся два независимых параметра: <math>c</math> — половина расстояния между фокусами и <math>a</math> — произведение расстояний от фокусов до любой точки кривой. С точки зрения формы наиболее существенно отношение параметров, а не их величины, которые при неизменном отношении определяют лишь размер фигуры. Можно выделить шесть разновидностей формы в зависимости от величины отношения <math>\textstyle\frac{c}{a}</math>:
- <math>\textstyle\frac{c}{a}=\infty</math>, то есть <math>\textstyle a=0</math> при <math>\textstyle c\neq 0</math>.
- Кривая вырождается в две точки, которые совпадают с фокусами. При <math>c\to\infty</math> форма кривой стремится к двум точкам.
- <math>\textstyle 1<\frac{c}{a}<\infty</math>, то есть <math>\textstyle 0<a<c</math>
- Кривая распадается на два отдельных овала, каждый из которых вытянут в направлении другого и по форме напоминает яйцо.
- <math>\textstyle\frac{c}{a}=1</math>, то есть <math>\textstyle a=c</math>
- Правая часть уравнения в прямоугольных координатах (см. выше) обращается в ноль, и кривая становится лемнискатой Бернулли.
- <math>\textstyle \frac{1}{\sqrt{2}}<\frac{c}{a}<1</math>, то есть <math>\textstyle c<a<c\sqrt{2}</math>
- У кривой появляются четыре симметричные точки перегиба (по одной в каждой координатной четверти). Кривизна в точках пересечения с осью <math>OY</math> стремится к нулю, когда <math>a</math> стремится к <math>c</math> и к бесконечности, когда <math>a</math> стремится к <math>c\sqrt{2}</math>.
- <math>\textstyle 0<\frac{c}{a}\leqslant\frac{1}{\sqrt{2}}</math>, то есть <math>\textstyle a\geqslant c\sqrt{2}</math>
- <math>\textstyle\frac{c}{a}=0</math>, то есть <math>\textstyle c=0</math> при <math>\textstyle a\neq 0</math>
- По мере увеличения <math>a</math> (то есть стремления отношения <math>\textstyle\frac{c}{a}</math> к нулю) кривая стремится к окружности радиуса <math>a</math>. Если <math>c=0</math>, то отношение <math>\textstyle\frac{c}{a}</math> достигает нуля, и в этом случае кривая вырождается в окружность.
Свойства
- Овал Кассини — алгебраическая кривая четвёртого порядка.
- Она симметрична относительно середины отрезка между фокусами.
- При <math>0<a< c\sqrt{2}</math> имеет два абсолютных максимума и два минимума:
- <math>\begin{cases}x=\pm\frac{\sqrt{4c^4-a^4}}{2c} \\ y=\pm\frac{a^2}{2c}\end{cases}</math>
- Геометрическое место точек абсолютных максимумов и минимумов — окружность радиуса <math>c</math> с центром в середине отрезка между фокусами.
- При <math>c<a\leqslant c\sqrt{2}</math> кривая имеет четыре точки перегиба. Их полярные координаты:
- <math>\begin{cases}\rho=\sqrt[4]{\frac{a^4-c^4}{3}} \\ \cos 2\varphi =-\sqrt{\frac{1}{3}\left (\frac{a^4}{c^4}-1\right )}\end{cases}</math>
- Геометрическое место точек перегиба — лемниската с вершинами <math>\left (0;\pm c\right )</math>.
- Радиус кривизны для представления в полярных координатах:
- <math>R=\frac{a^2\rho}{\rho^2+c^2\cos{2\varphi}}=\frac{2a^2\rho^3}{c^4-a^4+3\rho^4}</math>
Применение
При двухпозиционной радиолокации областью обнаружения цели является фигура, ограниченная овалом Кассини, если принять в качестве одного его фокуса позицию источника излучения, а другого — позицию приёмника. Аналогично, в астрономии при наблюдении, например, астероидов, светящих отражённым светом Солнца, условия их обнаружения при заданной чувствительности телескопа описываются формулой овала Кассини. В этом случае границей обнаружимости будет поверхность, образованная вращением овала вокруг оси, соединяющей Солнце и наблюдателя.
См. также
- Лемниската Бута
- Лемниската Бернулли
- Плоская кривая
- Алгебраическая кривая
- Многофокусная алгебраическая кривая
- Овал Декарта
Напишите отзыв о статье "Овал Кассини"
Литература
- Математическая энциклопедия (в 5-и томах), Москва, «Советская Энциклопедия», 1982, т. 2 Д-Коо, стр. 759.
- Маркушевич А. И. [ilib.mirror1.mccme.ru/plm/ann/a04.htm Замечательные кривые], [ilib.mccme.ru/plm/ Популярные лекции по математике], выпуск 4, Гостехиздат 1952 г., 32 стр.
Примечания
- ↑ [ezhe.ru/ib/issue26.html Космические овалы Кассини] Е. Скляревский
|